高一数学周测卷7　(范围：§8.6)

周测卷7(范围：§8.6)(时间：50分钟满分：100分)一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能使a⊥b成立的是()A.a⊥c，b⊥c B.α⊥β，a⊂α，b⊂βC.a⊥α，b∥α D.a⊥α，b⊥α答案C解析由a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵α⊥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥α，b∥α，∴由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D错误.2.如图，把等腰Rt△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则直线AC与平面ABD所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3) C.1 D.eq\r(2)答案A解析由题意知，CD⊥平面ABD，∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，又CD＝AD，∴sin∠CAD＝eq\f(\r(2),2).3.如图，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，则MA与BD的位置关系是()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直答案C 解析因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为MC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.因为MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.4.若P为△ABC所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析设△ABC为直角三角形，过一锐角顶点A作PA⊥平面ABC，则构成的4个三角形都是直角三角形.5.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥DC，则在平面PBC内()A.一定存在与CD平行的直线B.一定存在与AD平行的直线C.一定存在与AD垂直的直线D.不存在与CD垂直的直线答案C解析由题意知，选项A中，∵CD∩平面PBC＝C，∴在平面PBC内没有直线与CD平行，故A错误；选项B中，∵底面ABCD为梯形，∴AD与BC相交，即与平面PBC相交，∴在平面PBC内没有直线与AD平行，故B错误；选项C中，∵AD与平面PBC相交，∴在平面PBC内一定存在与AD垂直的直线，故C正确；选项D中，∵CD∩平面PBC＝C，∴在平面PBC内一定存在与CD垂直的直线，故D错误.6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC答案D解析因为AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AB，所以∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°.又因为∠BCD＝45°，所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD.若平面ABC⊥平面ABD，那么CD⊂平面ABC，显然不成立，故A错误；因为CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ADC，所以AB⊥平面ADC.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故D正确；因为平面ABD⊥平面BCD，如图，过点A作平面BCD的垂线AE，垂足落在BD上，显然垂线不在平面ABC内，所以平面ABC与平面BDC不垂直，故C错误，同理B也错误.二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)7.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的有()A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB.如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β答案ABC解析如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正确；如果m⊂α，α∥β，那么由面面平行的性质可得m∥β，故B正确；如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么由线面平行的性质定理可得m∥l，故C正确；如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么平面α，β平行或相交，故D错误.8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的有()A.A1C1⊥BDB.异面直线B1C与BD所成的角为60°C.二面角A1－BC－D的大小为45°D.AC1与平面ABCD所成的角为45°答案ABC解析如图，对于A，连接AC，则AC⊥BD.∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确.对于B，连接A1D，A1B，∵B1C∥A1D，∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角(或其补角).∵△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确.对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B.∵AB⊥BC，∴∠ABA1是二面角A1－BC－D的平面角.∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确.对于D，∵C1C⊥平面ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角.∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)9.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.答案4解析∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β.∴V＝eq\f(1,3)S△A′BB′·AA′＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A′B′·BB′))·AA′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上.当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析连接CD(图略).由已知得△A1B1C1是等腰直角三角形，A1B1＝B1C1，D是A1C1的中点，∴B1D⊥A1C1.∵平面A1B1C1⊥平面A1ACC1，平面A1B1C1∩平面A1ACC1＝A1C1，∴B1D⊥平面A1ACC1.又∵CF⊂平面A1ACC1，∴B1D⊥CF.若CF⊥平面B1DF，则CF⊥DF.设AF＝x(0≤x≤3a)，则CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x)2，CD2＝10a2，在Rt△CDF中，10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或x＝2a.11.如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，动点P在表面上运动，并且总保持PB⊥SC，则动点P从点B出发再回到点B，其路程为________.答案2eq\r(3)＋2eq\r(2)解析四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，则AB＝BC＝CD＝AD＝SA＝SB＝SC＝SD＝2，如图，取SC的中点E，连接BE，DE，则有BE⊥SC，DE⊥SC，又BE∩DE＝E，BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以SC⊥平面BDE.因为动点P在表面上运动，并且总保持PB⊥SC，所以点P的运动轨迹为线段BE，DE，DB.在正方形ABCD中，AB＝2，则BD＝2eq\r(2)，在等边三角形SBC中，BE＝eq\r(3)，同理DE＝eq\r(3)，故动点P从点B出发到再回到点B，其路程为BE＋DE＋BD＝2eq\r(3)＋2eq\r(2).四、解答题(本题共3小题，共43分)12.(13分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AC，CD1的中点.求证：(1)PQ∥平面ADD1A1；(2)PQ⊥A1C.证明(1)连接AD1，如图所示.∵P，Q分别为AC，CD1的中点，∴PQ∥AD1，又PQ⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴PQ∥平面ADD1A1.(2)连接A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴CD⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面CDA1，又A1C⊂平面CDA1，∴A1C⊥AD1.由(1)知，PQ∥AD1，故PQ⊥A1C.13.(15分)如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥CE，所以DF⊥EC，所以DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(5)a.又因为BD∥CE，所以DB⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以DB⊥AB，所以DA＝eq\r(DB2＋AB2)＝eq\r(5)a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉eq\f(1,2)CE綉DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以EC⊥BN，所以EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.因为AE，EC⊂平面AEC，AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，又DM⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.14.(15分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，M为PC的中点.(1)求证：平面PAC⊥平面BDM；(2)求二面角C－MD－B的正切值.(1)证明因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDM，所以平面PAC⊥平面BDM.(2)解设AC与BD交于点O，连接OM，过点O作OH⊥MD于点H，连接HC，如图.因为M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM∥PA.因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，则OM⊥AC.因为平面PAC⊥平面BDM，OM为两个平面的交线，所以AC⊥平面BDM.又MD⊂平面BDM，所以OC⊥MD.因为OH⊥MD，OH∩OC＝O，OH，OC⊂平面OHC，所以MD⊥平面OHC.又HC⊂平面OHC，所以MD⊥HC，则∠OHC为二面角C－