高中数学第九章　§9.2　9.2.3　总体集中趋势的估计

9.2.3总体集中趋势的估计学习目标1.能够正确计算平均数、中位数、众数.(重点)2.掌握利用样本的平均数、众数、中位数估计总体的集中趋势的方法，从而解决相关的实际问题.3.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.(难点)导语在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.一、众数、中位数、平均数问题1现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，其结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？提示三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年.知识梳理1.众数：一组数据中出现次数最多的数.2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数.3.平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么x=1n(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数例1(课本例4)已知某市通过简单随机抽样获取的100户居民用户的月均用水量数据(单位：t)如下：9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6利用上述100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.解根据题中100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得y=y1+即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8t.因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.8t.例1(多选)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列说法正确的是()A.这10天中PM2.5日均值的众数为33B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D.这10天中PM2.5日均值前4天的平均数大于后4天的平均数答案AB解析由题中折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，把这10个数据从小到大排列为17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，所以中位数为31+332=32，平均数为110×(36+26+17+23+33+128+42+31+30+33)=39.9，中位数小于平均数，故A，B正确，C错误；前4天的平均数为36+26+17+234=25.5，后4天的平均数为42+31+30+334=34反思感悟平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的个数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数.跟踪训练1(多选)小华所在的班级共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是()A.1.65米是该班学生身高的平均水平B.班上比小华高的学生人数不会超过25C.这组身高数据的中位数不一定是1.65米D.这组身高数据的众数不一定是1.65米答案ACD解析由平均数所反映的意义知A选项正确；由中位数与平均数的关系知C选项正确；由众数与平均数的关系知D选项正确；由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误.二、总体集中趋势的估计问题2我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能得到平均数和中位数的大小存在什么关系吗？提示一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.问题3什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？提示一般地，对数值型的数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.例2(课本例5)某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示.校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.解为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据(如图).可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.例2某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9乙7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的最终得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？解甲选手的最终得分为18×(7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4)=8乙选手的最终得分为18×(7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5)=8.062若直接用10位评委评分的平均数作为选手的最终得分，则甲选手的最终得分为110×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9)=8.14乙选手的最终得分为110×(7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)去掉最高分与最低分时，甲的最终得分小于乙的最终得分，即乙的排名靠前；若直接用10位评委评分的平均数作为最终得分，则甲的最终得分大于乙的最终得分，即甲的排名靠前.两种评分下，甲、乙两位选手的排名不同，去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数作为选手的最终得分更好，这是因为平均数对样本数据的极端值比较“敏感”.反思感悟众数、中位数、平均数的意义(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.跟踪训练2某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级)的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是()A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，4答案C解析由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为3+42=3.5，乙成绩等级的众数为三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势例3(多选)某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是()A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有10人B.这100名学生成绩的众数为85C.估计全校学生成绩的平均分数为75D.这100名学生成绩的中位数为811答案ABD解析由频率分布直方图知成绩在区间[90，100)内的学生有100×0.01×10=10(人)，成绩在区间[80，90)内的频率最大，则众数为85，因此A，B正确；全校学生成绩的平均分数为[(55+95)×0.01+65×0.015+75×0.02+85×0.045]×10=78，故C错误；由(0.01+0.015+0.02)×10<0.5<(0.01+0.015+0.02+0.045)×10，可得中位数在区间[80，90)内，设中位数为x，则(0.01+0.015+0.02)×10+0.045×(x-80)=0.5，可得x=8119，因此D正确反思感悟利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法(1)众数：取最高小矩形底边中点的横坐标作为众数；中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标为中位数；平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数、平均数不一定是样本中的具体数.跟踪训练3根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数.解在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数约为125.5.中位数左边和右边的直方图的面积相等，设中位数为x，则由图可知x在区间[124.5，126.5)内，则(x-124.5)×0.2+2×0.075+2×0.05=0.5，解得x=125.75，即中位数约为125.75.使用组中值求平均数，则x=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8.即平均数约为125.8.1.知识清单：中位数、众数、平均数的计算及应用.2.方法归纳：数据分析统计.3.常见误区：求中位数时未对数据进行排序.1.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是()A.众数是83 B.中位数是83C.极差是30 D.平均数是83答案D解析由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66，83，87，83，77，96按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B说法正确；极差是96-66=30，故C说法正确；由于平均数为(66+83+87+83+77+96)÷6=82，故D说法错误.2.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是()A.中位数可以准确地反映出总体的情况B.平均数可以准确地反映出总体的情况C.众数可以准确地反映出总体的情况D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况答案ABC3.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为()A.8 B.9C.12 D.18答案C解析样本数据2，8，14，16，20的平均数为2+8+14+16+2054.某天文社团随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到样本数据的频率分布直方图，如图所示，则这100位天文爱好者的平均年龄约为岁.

答案21.4解析根据频率分布直方图，这100位天文爱好者的平均年龄约为5×0.16+15×0.36+25×0.28+35×0.1+45×0.08+55×0.02=21.4(岁).课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，则该组数据的平均数、中位数和众数的大小关系是()A.平均数>中位数>众数B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数D.平均数=中位数=众数答案D解析平均数为18×(20+30+40+50+50+60+70+80)=50，中位数为12×(50+50)=50，众数为50，所以它们的大小关系是平均数=中位数=2.某书店新进了一批书籍，下表是某月中连续6天的销售情况记录：日期6日7日8日9日10日11日当日销售量(本)304028443842根据上表估计该书店该月(按31天计算)的销售总量是()A.1147本 B.1110本C.1340本 D.1278本答案A解析从表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为30+40+28+44+38+426=37(本)，该月共31天，故该月的销售总量约为37×31=1147(本)3.数据x1，x2，x3，…，xm的平均数为x，数据y1，y2，y3，…，yn的平均数为y，则数据x1，x2，x3，…，xm，y1，y2，y3，…，yn的平均数为()A.xn+ym B.xC.nx+答案D解析由题意得x1+x2+x3+…+xm=mx，y1+y2+y3+…+yn=ny，所以x=mx4.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A.平均数 B.极差C.中位数 D.以上都不对答案C解析判断能否进入决赛，只要判断他是否在前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩按从小到大(或从大到小)的顺序排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.5.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间答案C解析对于A，根据频数分布表可知，6+12+18=36<50，所以亩产量的中位数不小于1050kg，故A错误；对于B，亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34，所以低于1100kg的稻田占比为100-34100×100%=66%，故B对于C，稻田亩产量的极差最大为1200-900=300，最小为1150-950=200，故C正确；对于D，由频数分布表可得，平均值为1100×(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)=1067，故D错误6.(多选)某中学举行了一次知识竞赛.学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩，整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有()A.样本的众数为75B.样本的平均数为68.5C.样本的中位数为75D.估计该校学生中得分不低于80分的占20%答案AB解析依题意，(0.015+0.025+0.035+0.005+2a)×10=1，解得a=0.010，∵最高小矩形的中点的横坐标为75，∴众数是75，故A正确；平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，故B正确；∵10×(0.010+0.015+0.025)=0.5，∴样本的中位数为70，故C错误；估计该校学生中得分不低于80分的占(0.010+0.005)×10×100%=15%，故D错误.7.某校在劳动基地开展“开垦菜地、种植蔬菜”的实践活动.某班级统计其负责菜地连续八周的蔬菜周产量(单位：斤)，并制作折线图如图所示.根据折线图信息，下列结论中不正确的是()A.这八周周产量的众数为19B.共有4周周产量超过周产量的平均数C.这八周周产量的中位数小于周产量的平均数D.前四周周产量的极差大于后四周周产量的极差答案C解析根据折线图可知，众数为19，A选项正确；平均数为19+20+15+14+16+19+18+178=17.25，所以共有4周周产量超过周产量的平均数，B选项正确；中位数为17+182=17.5，所以中位数大于平均数，C选项错误；根据折线图可知，前四周周产量的极差大于后四周周产量的极差，D8.(5分)从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如下：甲：797880x859296乙：728181y919196其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x=，y=.

答案8585解析由数据知，乙班学生成绩的中位数是y=85.由甲班学生成绩的平均分为85，得79+78+80+x+85+92+96=85×7，解得x=85.9.(5分)某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们某天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下，根据条形图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为h.

答案0.9解析由题中的条形图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为5×0+20×0.5+10×因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9h.10.(10分)有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.0×10-6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在100条鱼的样本中发现的汞含量(乘以百万分之一)统计得到频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值；(2分)(2)请估计该样本数据的平均数和中位数(假设各组数据在组内均匀分布)；(4分)(3)从实际情况看，许多鱼汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.0×10-6大吗？请说明理由.(4分)解(1)(0.2+0.8+0.6+a+0.1)×0.5=1，解得a=0.3.(2)x=0.1×0.25+0.4×0.75+0.3×1.25+0.15×1.75+0.05×2.25=1.075.估计该样本数据的平均数为1.075.由0.5×(0.2+0.8)=0.5，所以估计该样本数据的中位数为1.0.(3)不一定(不能).理由：①不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同；②样本指标只能作为估计值.(理由说明一点就可以)11.如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下列说法正确的是()A.M>N B.M<NC.M=N D.不确定答案B解析平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数，平均数和中位数的大小关系与数据分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，如图(1)，中位数与平均数应该大体上差不多，如图(2)，中位数小于平均数，如图(3)，中位数大于平均数，结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数N更大一些，即M<N.12.(多选)2025年是中国共产主义青年团成立103周年.为庆祝建团103周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生的成绩进行统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.直方图中x的值为0.030B.成绩在区间[90，100)内的学生最多C.估计全校学生的平均成绩为84分D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93答案ABC解析对于A，∵(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1，∴x=0.030，A正确；对于B，∵成绩在区间[90，100)内的学生对应频率最大，∴成绩在区间[90，100)内的学生最多，B正确；对于C，估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84，C正确；对于D，由图可知80%分位数在区间[90，100)内，∴80%分位数约为90+0.20.4×10=95，D错误13.(5分)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现用按产量比例分配的分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为小时.

答案501015解析由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%=50(件).由样本的平均数估计总体的平均数，估计这个企业生产的电子产品的平均使用寿命为1020×50%+980×20%+1030×30%=1015(小时).14.(13分)甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示.(1)请填写表格.(6分)平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？(2分)②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？(2分)③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？(3分)解(1)由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，