高中数学第六章　§6.1　平面向量的概念

学习目标1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义.2.理解平面向量的几何表示，掌握向量的模、零向量和单位向量的概念.3.掌握平行向量、相等向量、共线向量等概念.导语2024年5月8日10时12分，经过约5天数十万公里的星际航行，嫦娥六号探测器在制导导航与控制(GNC)系统的全自主操控下，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，投入月亮的“怀抱”.近月制动是嫦娥六号探测器在飞行过程中的一次关键轨道控制.嫦娥六号探测器飞临月球附近时，实施“刹车”制动，使其相对速度低于月球逃逸速度，从而被月球引力捕获，实现绕月飞行.这一脚“刹车”可不是普通的刹车.想要做到精准无误，可谓“难于上青天”，我们既要控制速度的大小，又要控制速度的方向.两者的完美结合展现了我国航天事业的辉煌成就！今天，我们也将开启探究之旅，去寻找一种既有大小又有方向的量——向量.一、向量的概念及其表示问题1物理上，我们已经学习了“位移”“速度”等概念，它们的共同特征是什么？你还能举出具有这种特征的量吗？提示既有大小又有方向.力、加速度等.问题2我们知道数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，那么我们用什么表示这样既有大小又有方向的量呢？提示具有方向的线段.知识梳理1.向量的概念(1)向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.2.向量的表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度.如图所示，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.(2)向量的表示方法①几何表示：向量可以用有向线段AB来表示，记作向量AB，有向线段的长度|AB|表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a，b，c).3.零向量、单位向量向量名称定义方向零向量长度为0的向量，记作0方向任意单位向量长度等于1个单位长度的向量平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量注意点：(1)书写向量时要带箭头.(2)有向线段是表示向量的一种方法，是向量的直观表示，但二者不能划等号.从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素，因此这是两个不同的概念.(3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小.(4)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|=0.(5)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同.例1(1)(多选)下列说法错误的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小答案ABC解析A项，向量不能比较大小，不正确；B项，同向的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确.(2)(多选)下列说法正确的是()A.零向量是没有方向的B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量的长度都为0D.两个单位向量的长度相等答案CD解析零向量的方向是任意的，故A错误；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误；零向量的模都是0，故C正确；单位向量的长度都是1个单位长度，故D正确.反思感悟有关向量概念问题的解决方法(1)向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的模(长度)是一个数量，可以比较大小.(2)解决此类问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是长度都是1个单位长度，不同方向上的单位向量不相等；零向量的核心是长度是0，其方向都是任意的.跟踪训练1下列说法正确的是()A.身高是一个向量B.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量C.温度含零上和零下温度，所以温度是向量D.物理学中的摩擦力、重力都是向量答案D解析A中的身高，C中的温度都是数量，不是向量，故AC错误；B中平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，也不是向量，故B错误；D中的物理学中的摩擦力、重力都既有大小，又有方向，是向量.二、向量的简单应用例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求AD的模.解(1)作出向量AB，BC，CD，如图所示.(2)连接AD，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.所以四边形ABCD为平行四边形.所以|AD|=|BC|=200km，故AD的模为200km.反思感悟用有向线段表示向量的步骤跟踪训练2在如图所示的坐标纸中(每一个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量.(1)|OA|=3，点A在点O正西方向；(2)|OB|=32，点B在点O北偏西45°方向.解三、相等向量与共线向量问题3如图所示，在平行四边形ABCD中，向量AD与BC有什么关系？提示长度相等，方向相同.问题4如图所示，在梯形ABCD中，向量AD与BC有什么关系？提示长度不等，方向相同.知识梳理平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a与b相等，记作a=b注意点：(1)若a∥b，b∥c，则a与c未必共线.(2)两向量共线，则两向量所在的直线平行或重合.例3(课本例2)如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心.(1)写出图中的共线向量；(2)分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量.解(1)OA，CB，DO，FE是共线向量；OB，DC，EO，AF是共线向量；OC，AB，ED，FO是共线向量.(2)OA=CB=DO；OB=DC=EO；OC=AB=ED=FO.例3(1)(多选)给出下列四个命题，其中正确的是()A.平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量B.若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b，b=c，则a=cD.若a∥b，b∥c，则a∥c答案BC解析对于A，平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，不是向量，故A错误；对于B，因为A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC，所以AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB=DC，所以“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，故B正确；对于C，根据相等向量的定义，由a=b，b=c可得，a=c，故C正确；对于D，当b=0时，a与c不一定是平行向量，故D错误.(2)如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.①写出与EF共线的向量；②写出模与EF的模相等的向量；③写出与EF相等的向量.解①因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF=12BC又因为D是BC的中点，所以与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.②模与EF的模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD.③与EF相等的向量有DB，CD.反思感悟相等向量与共线向量的区别与联系：(1)相等向量是指长度相等且方向相同的向量.共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量.(2)向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性.(注意0)(3)相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等.1.知识清单：(1)向量的概念及其表示.(2)向量的应用.(3)相等向量与共线向量.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆.1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.其中，不是向量的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析因为速度、力和加速度既有大小又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.2.(多选)在下列四个命题中，正确的是()A.单位向量都共线B.长度相等的向量都相等C.共线的单位向量不一定相等D.任意向量与零向量都共线答案CD解析对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误；对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定相等，B错误；对于C，共线的单位向量方向可能相反，C正确；对于D，任意向量与零向量都共线，D正确.3.如图，点A，B，C是以O为圆心的圆周上的三等分点，则向量OB，OC，AO是()A.方向相同的向量 B.共线向量C.模相等的向量 D.相等的向量答案C解析由题图可知，三个向量OB，OC，AO方向均不同，也没任何两个向量方向相反，所以它们不共线，由于它们到点O的距离相等，所以模相等.4.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量ED相等的向量为；(2)若|AB|=3，则向量EC的模等于.答案(1)AB，DC(2)6解析(1)在平行四边形ABDE和ABCD中，∵AB=ED，AB=DC，∴ED=DC=AB.(2)由(1)知，ED=DC，且有公共点D，∴E，D，C三点共线，∴|EC|=|ED|+|DC|=2|AB|=6.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.下列说法不正确的是()A.向量的模是一个非负实数B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同答案D解析两个有共同起点且共线的向量的方向不一定相同、长度不一定相等，故终点不一定相同，故D错误.2.在下列判断中，正确的是()A.长度为0的向量不都是零向量B.零向量的方向是唯一的C.单位向量的方向都是相同的D.以平面直角坐标系中的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆答案D解析长度为0的向量都是零向量，A错误；零向量的方向是任意的，B错误；单位向量的方向不一定相同，C错误；由于|AP|=1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点，D正确.3.汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A.汽车的速度大于摩托车的速度B.汽车的位移大于摩托车的位移C.汽车走的路程大于摩托车走的路程D.以上都不对答案C解析向量不能比较大小.4.(多选)下列说法正确的是()A.|CD|=|DC|B.若e1，e2是单位向量，则|e1|=|e2|C.共线向量一定在同一条直线上D.△ABC中，∠A=90°，若该三角形的外接圆的半径长为12，则BC答案ABD解析对于A，CD与DC的长度相等，方向相反，A正确；对于B，所有的单位向量的模相等，均等于1个单位长度，B正确；对于C，共线向量不一定在同一条直线上，C错误；由于Rt△ABC的斜边BC是其外接圆的直径，所以|BC|=12×2=1，D正确5.在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB与AC共线 B.DE与CB共线C.AD与AE相等 D.AD与BD相等答案B解析如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以DE与CB共线.6.“向量AB，CD共线”是“直线AB∥CD”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析充分性：向量AB，CD共线⇒直线AB，CD平行或重合；必要性：直线AB∥CD⇒向量AB，CD共线，因此“向量AB，CD共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件.7.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法正确的是()A.与AB相等的向量只有1个(不含AB)B.与AB的模相等的向量有8个(不含AB)C.BD的模恰为DA的模的3倍D.CB与DA不共线答案AC解析由于AB=DC，则与AB相等的向量只有DC，而与AB的模相等的向量有DA，DC，AC，CB，AD，CD，CA，BC，BA，共9个，因此A正确，B错误；在Rt△AOD中，因为∠ADO=30°，所以|DO|=32|DA|，又|DO|=12|DB|，故|DB|=3|DA|，因此C正确；由于CB=DA，所以CB与DA共线，因此D8.(5分)在四边形ABCD中，若AB∥CD，且|AB|≠|CD|，则四边形ABCD的形状是.答案梯形解析在四边形ABCD中，因为AB∥CD，所以AB∥CD，又|AB|≠|CD|，所以四边形ABCD的形状是梯形.9.(5分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.答案2解析已知CD∥AB，则△OCD∽△OAB，所以OCOA=ODOB，所以OCAC因为MN∥AB，所以OCAC=ONAB，ODBD所以ONAB=OMAB，所以OM=又M，O，N三点共线，所以OM=NO，MO=ON，故相等向量有2对.10.(10分)在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示.(1)写出与向量FC共线的向量；(4分)(2)求证：BE=FD.(6分)(1)解与向量FC共线的向量有CF，AE，EA.(2)证明在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，因为E，F分别是CD，AB的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故BE=FD.11.下列命题正确的是()A.若|a|=|b|，则a=bB.若|a|>|b|，则a>bC.若a=b，则a∥bD.若|a|=0，则a=0答案C解析对于A，由|a|=|b|可得a与b的长度相等，但方向不一定相同，所以a与b不一定相等，所以A错误；对于B，由|a|>|b|可得a的长度大于b的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误；对于C，由a=b可得a与b的长度相等，方向相同，所以有a∥b，所以C正确；对于D，由|a|=0，可得a=0，而不是0，所以D错误.12.(多选)如图，在同一平面内，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A.|AB|=|EF|B.AB与FH共线C.BD与EH共线D.CD=FG答案ABD解析因为四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，所以|AB|=|EF|，故A正确；由题图可知，