高中数学第六章　§6.2　6.2.1　向量的加法运算

6.2.1向量的加法运算学习目标1.理解并掌握向量加法的概念.2.了解向量加法的几何意义及运算律，掌握向量加法的运算法则，能熟练地进行向量的加法运算.3.能用向量的加法解决实际问题.导语我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.一、向量的加法运算问题1如图所示，小明上午从家(点A)到达了公司(点B)，下午从公司(点B)到达了舅舅家(点C).小明这一天的位移与上午、下午的位移有什么关系？提示小明两次位移AB，BC的结果，与从点A直接到点C的位移AC结果相同，因此位移AC可以看作位移AB与BC合成的，即AC可以看作AB与BC的和.问题2物理上，我们进行力的合成时，应用了什么运算法则？请你画出如图力F1和F2的合力F.提示力的合成应用了平行四边形法则.求F1和F2的合力F如图所示.问题3通过阅读课本，向量的加法运算和力的合成运算规则一样吗？提示规则一样.知识梳理1.已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”.2.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.归纳口诀为“共起点、对角线”.3.对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a.注意点：(1)向量加法运算的结果仍然是一个向量.(2)从平行四边形的性质可知向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则是一致的.(3)运用向量加法的三角形法则作图时，要“首尾相连连首尾”.运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同，其和也与这两个向量共起点.例1(课本例1)如图所示，已知向量a，b，求作向量a+b.解方法一在平面内任取一点O(图(1))，作OA=a，AB=b.则OB=a+b.方法二在平面内任取一点O(图(2))，作OA=a，OB=b.以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC=OA+OB=a+b.例1如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b+c.解方法一如图，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，BC=c，则OC=a+b+c.方法二如图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，作平行四边形AOBC，则OC=a+b；再作向量OD=c，作平行四边形CODE，则OE=OC+c=a+b+c，故向量OE即为所求.反思感悟(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和.(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量即为两个向量的和.跟踪训练(1)已知平面四边形ABCD，则AB+BC+CD等于()A.AD B.BD C.AC D.0答案A解析AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)在矩形ABCD中，设|AB|=4，|BC|=2，则AB+AD的模为()A.25 B.45 C.12 D.6答案A解析已知在矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2，因为AB+AD=AB+BC=AC，根据勾股定理得，|AC|=|AB|2+|所以AB+AD的模为25.二、共线向量的加法与向量加法的运算律问题4如果向量a，b共线(注意分同向和反向两种情况)，作出它们的和向量后，思考它们的运算结果与数的加法(从同号和异号两种情况)的运算结果有什么关系？提示两个向量相加仍是一个向量，两个数相加是一个数量.当两向量同向时，和向量的模等于两向量模的和，当两向量反向时，和向量的模等于两向量模的差的绝对值，这与数的运算相似，当两个数同号时，和的绝对值等于绝对值的和，当两个数异号时，和的绝对值等于绝对值差的绝对值.问题5结合问题4，请探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系.提示||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时右边取等号，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量时左边取等号.问题6数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？请结合图(1)，(2)，验证你的想法.提示向量的加法满足交换律：a+b=b+a，结合律：a+(b+c)=(a+b)+c.由图(1)知，在▱ABCD中，设AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，故AC=AB+BC=a+b.又AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a.由图(2)知，设AB=a，BC=b，CD=c，则a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD，(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD，所以a+(b+c)=(a+b)+c.知识梳理1.一般地，我们有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，右边取等号；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量时，左边取等号.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反.2.(加法交换律)a+b=b+a；(加法结合律)a+(b+c)=(a+b)+c.例2(1)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为，.答案204解析当a，b共线且同向时，|a+b|=|a|+|b|=8+12=20，当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4.当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20，综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4.(2)设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：①AB+CD+BC；②DB+AC+BD+CA；③AB+DF+CD+BC+FA.解①AB+CD+BC=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD.②DB+AC+BD+CA=(DB+BD)+(AC+CA)=0+0=0.③AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0.反思感悟向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.三、向量加法的实际应用例3(课本例2)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).解(1)如图所示，AD表示船速，AB表示江水速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则AC表示船实际航行的速度.(2)在Rt△ABC中，|AB|=6，|BC|=15，于是|AC|=|AB|2+|因为tan∠CAB=|BC||AB|=因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°.例3一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.解如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC=AB+BC.在Rt△ABD中，|DB|=20km，|AD|=203km，则|DC|=|DB|+|BC|=20+40=60(km)，在Rt△ACD中，|AC|=|AD|2+|DC∠CAD=60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403km处.反思感悟应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.1.知识清单：(1)向量加法的三角形法则.(2)向量加法的平行四边形法则.(3)向量三角不等式.(4)向量加法的运算律.(5)向量加法的实际应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：使用向量加法的三角形法则时要注意向量首尾相接，使用平行四边形法则时要注意把向量移到共同起点.1.下列等式错误的是()A.a+0=0+a=aB.AB+BC+AC=0C.AB+BA=0D.CA+AC=MN+NP+PM答案B解析AB+BC+AC=AC+AC≠0，故B错误.2.如图所示，在四边形ABCD中，AC=AB+AD，则四边形ABCD为()A.矩形 B.正方形C.平行四边形 D.菱形答案C解析∵AC=AB+AD，∴DC=DA+AC=DA+AB+AD=DA+AD+AB=AB，即DC=AB.∴DC=AB且DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形.3.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，若|AB|=3，则|DE+BA|=.答案2解析在AB上取点G，使AG=13AB因为DE+BA=AG+BA=BG，又|BG|=23|BA|=2，故|DE+BA4.若a，b满足|a|=2，|b|=3，则|a+b|的最大值为，最小值为.答案51解析由向量加法的几何意义可知，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，即1≤|a+b|≤5，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|=5，当a，b方向相反时，|a+b|=|b|-|a|=1，故|a+b|的最大值为5，最小值为1.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共30分1.化简OP+PS+SQ的结果等于()A.QP B.OQ C.SP D.SQ答案B解析根据向量的三角形法则，可得OP+PS+SQ=OS+SQ=OQ.2.AB+MB+BO+BC+OM等于()A.BC B.AB C.AC D.AM答案C解析AB+MB+BO+BC+OM=(AB+BO)+(MB+BC)+OM=AO+MC+OM=(AO+OM)+MC=AM+MC=AC.3.(多选)在▱ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，BD=d，则下列等式成立的是()A.a+b=c B.a+d=bC.b+d=a D.|a+b|=|c|答案ABD解析由向量加法的平行四边形法则，知a+b=c成立，故|a+b|=|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a+d=b成立，b+d=a不成立.4.若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行1km”，则向量a+b表示()A.向东北方向航行2kmB.向东北方向航行2kmC.向正北方向航行2kmD.向正东方向航行2km答案B解析如图，易知tanα=11=1，所以α故a+b的方向是东北方向.又|a+b|=2km，故向量a+b表示向东北方向航行2km.5.(多选)设a=(AB+CD)+(BC+DA)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有()A.a∥b B.a+b=aC.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|答案AC解析由条件得，a=(AB+CD)+(BC+DA)=AB+BC+CD+DA=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确.6.在矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2，则向量AB+AD+CB的长度为()A.2 B.4 C.25 D.6答案B解析因为AB+AD=AC，所以AB+AD+CB=AB，所以向量AB+AD+CB的长度为4.7.(多选)下列结论中不正确的是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a，b之一的方向相同B.在△ABC中，必有AB+BC+CA=0C.若AB+BC+CA=0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点D.若a，b均为非零向量，则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等答案ACD解析对于A，当a与b的长度相等，方向相反时，a+b=0，而零向量的方向是任意的，故A错误；对于B，在△ABC中，AB+BC+CA=0，故B正确；对于C，当A，B，C三点共线时，满足AB+BC+CA=0，但不能构成三角形，故C错误；对于D，若a，b均为非零向量，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a与b同向时等号成立，故D错误.8.(5分)如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.(1)OA+OC=；(2)BC+FE=；(3)OA+FE=.答案(1)OB(2)AD(3)09.(5分)某人在静水中游泳，速度为43km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成的方向前进，速度的大小为km/h.答案60°8解析如图所示，设水流速度为OA，静水中游泳速度为OB，则实际游泳速度为OC，因为|OA|=4，|OB|=43，∠AOB=90°，所以|OC|=8，∠COA=60°.所以此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度的大小为8km/h.10.(12分)如图，按下列要求作答.(1)以A为始点，作出a+b；(4分)(2)以B为始点，作出c+d+e；(4分)(3)若图中小正方形的边长为1，求|a+b|，|c+d+e|.(4分)解(1)将a，b的起点同时平移到点A，利用向量加法的平行四边形法则作出a+b，如图.(2)先将共线向量c，d的起点同时平移到点B，计算出c+d，再平移向量e与之首尾相接，利用向量加法的三角形法则即可作出c+d+e，如图.(3)由图中小正方形的边长为1，根据作出的向量利用勾股定理可知，|a+b|=12+2|c+d+e|=22+311.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|AB+FE+CD|等于()A.1B.2C.3D.23答案B解析由正六边形知FE=BC，所以AB+FE+CD=AB+BC+CD=AD，所以|AB+FE+CD|=|AD|=2.12.(多选)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的有()A.FD+DA+DE=0B.AD+BE+CF=0C.FD+DE+AD=ABD.AD+EC+FD=BD答案ABC解析FD+DA+DE=FA+DE=FA+FC=0，故A正确；AD+BE+CF=AD+DF+FA=0，故B正确；FD+DE+AD=FE+AD=DB+AD=AB，故C正确；AD+EC+FD=AD+0=AD=DB≠BD，故D错误.1