高中数学 导数复习提纲

导数学习提纲一、考试要求(1)了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。二、基础知识梳理1.导数的有关概念。(1)定义：函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2.求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C为常数）；(xm)/=mxm-1(m∈Q);(sinx)/=cosx;(cosx)/=-sinx;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)两个函数的四则运算的导数：(3)复合函数的导数：3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如果f/(x)<0，则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)<f(x0)（或f(x)>f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。三、例题讲解：【例1】(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2)若f(x)在R上可导，且f(x)=-f(x)，求f/(0)。(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。(2)解法一：∵f(x)=f(-x)，则f(△x)=f(-△x)∴当时，有∴∴。解法二：∵f(x)=f(-x)，两边对x求导，得∴∴。评析：本题旨在考查对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数。【例2】设f(x)在点x0处可导，a为常数，则等于()A.f/(x0)B.2af/(x0)C.af/(x0)D.0解：故选(C)评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。【例3】一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系（如图），t时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，则两汽车和气球的距离令t=1,故1h后它们彼此分离的速度为。yx汽车气球评析：本题考查对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。yx汽车气球【例4】设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（）答案：（C）评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。令，【例5】设函数，其中a>0。求f(x)的单调区间；解不等式f(x)≤1。解：(1)当a≥1时，有，此时f/(x)<0，∴函数f(x)在区间上是单调递减函数。当0<a<1时，解不等式f/(x)<0得，∴f(x)在区间上是单调递减函数。解不等式f/(x)>0得，∴f(x)在区间上是单调递增函数。(2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间上是单调递减函数,由f(0)=1,∴当且仅当x≥0时f(x)≤1.当0<a<1时，∵f(x)在区间上是单调递减函