高中数学 第三章《数系的扩充与复数的引入》复习教案（新人教A版选修2-2）

数系的扩充与复数的引入【专题要点】1理解复数的概念:即复数是由实数与虚数构成的,2理解复数相等的条件是:若a+bi=c+di当且仅当a=c,b=d.3.掌握复数的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。【考纲要求】⑴加强数学思想方法的训练：转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想；⑵突破关键知识：①理解复数、实数、虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示；②熟练应用复数相等的条件；③掌握复数的运算法则，及复数加减法的几何意义及应用；④复数问题实数化方法【知识纵横】复数复数的概念复数与复数分类复数复数的概念复数与复数分类复数相等的充要条件共轭复数复数的模复数的运算复数的加法法则复数的减法法则复数的乘法法则复数的除法法则（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）（b＋d）i复数加法的几何意义（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）（b－d）i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝｜z1－z2｜（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）ieq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ab,c2＋d2)i复数的概念是解题的重要手段，应在理解、掌握复数概念上下功夫，如实数、虚数、纯虚数、复数相等等概念要切实掌握好．例1.（2009江西卷）若复数为纯虚数，则实数的值为A．B．C．D．或解析：由复数为纯虚数，得，解得，故选A．点评：本题主要考查了复数的基本概念，掌握基本复数的概念是解决复数问题的关键．２.若复数()是纯虚数，则=.〖解析〗由,所以=2.〖答案〗.2二、复数的基本运算复数的最本质的运算方式是代数形式的运算，所以代数形式运算是试题考查的重点，其试题难度一般，试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力．例2.（2009重庆卷）已知复数的实部为，虚部为2，则=（）A．B．C． D．解析：由题意知，则，所以选A．点评：本题主要考查了复数的基本运算，复数的四则运算是复数的一个重点考查热点，也是掌握复数的基础.配套练习：１．已知zi+z=2，则复数z=（） A．1－i B．1+i C．2i D．－2i〖解析〗由zi+z=2得Z=,所以选A项.〖答案〗A２．已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于()A．1 B．-1 C．i D．-i〖解析〗由=是纯虚数,得m=2,所以=.〖答案〗A３.若z1=a＋2i，z2=3－4i，且为纯虚数，则实数a的值是▲．〖解析〗＝，则由条件可得3a－8=0,得a=.〖答案〗４.已知，且（为虚数单位），则z=_______;=_______.〖解析〗设Z=a+bi,则,所以由条件得:,所以,即z=2i,=.〖答案〗2i，．三复数相等例3、已知其中是实数，是虚数单位，则()A．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-〖解析〗由已知，得，则，解得，故选C．〖点评〗在两个复数相等的条件中，注意前提条件是、、、，即当、、特别地：．【警示】两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小四开方运算例4:的平方根是．〖解析〗设，其中，所以解得或，故的平方根是．〖练习〗的平方根是．五、复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．例5.（2009潍坊调研）复数，，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限A提示：本题考查了复数的几何意义，，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.点评：理解掌握复数与复平面内点之间的一一对应关系，研究复数对应复平面内点的位置，只要看复数的实部与虚部的正与负．六、复数中的方程思想例6、设复数满足，则（）A B C D〖解析〗，选C．〖点评〗视为未知数，解关于的方程——是好招．〖练习〗①(2004辽宁—理4)设复数z满足,则︱1+z︱=()A．0B．1C．D．2②（2006上海—理5）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝七、复数方程例7：(2008上海—文7)若是实系数方程的一个虚根，且，则．〖解析〗设（），则方程的另一个根为,且若关于的实系数方程的根不是实数，则两个虚根互为共轭复数，根据这一特点可以简化运算。，由韦达定理，得：若关于的实系数方程的根不是实数，则两个虚根互为共轭复数，根据这一特点可以简化运算。所以〖点评〗本题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等知识．变式1．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（）变式Ａ ＢＣ Ｄ2.设关于的方程有实根，求锐角及这个实根．〖解析〗设实数根为，则，即∵，，引入实根，进入方程，利用复数相等复数问题化实数问题求解。∴引入实根，进入方程，利用复数相等复数问题化实数问题求解。∴且，又∴〖点评〗这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．八．复数的待定系数法例8.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于（）A．2iB．iC．-iD．-2i〖解析〗设（）,代入由于其为实数，b=-2,故选D.〖练习〗（2004广东14）已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=－2i.九、复数中的创新试题对于复数的创新试题的考查题型主要为新定义与新运算，或与函数等其他知识点相交汇型的试题.主要考查学生收集信息、加工信息的能力.例9.(1)定义:复数是的转置复数,记为;复数是的共轭复数,记为.给出下列三个命题:①;②;③;其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3解析:,①正确;,②正确;=,=,∴,③错,故选C.点评:本题考查了学生收集信息、加工信息和运用信息的能力.将新信息与已学信息联系在一起运用,是解这类题的关键.（2)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（）A．B．C．D．【解析】因为为实数，所以，故，则可以取1、26，共6种可能，所以.〖练习〗①复数z+i在映射f下的象为·i,则-1+2