2020-2021学年上海市静安区高考一模数学试卷

2020-2021学年上海市静安区高考一模数学试卷一、填空题命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”的逆否命题为．2x2−如图所示，弧长为π2，半径为1的扇形（及其内部）绕OB所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为设i是虚数单位，若1+ai2−i是纯虚数，则实数a=在△ABC中，AB=2，AC=1，D是BC边上的中点，则AD⋅BC的值为某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元．要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天．（结果取整）某校开设9门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有种不同的选修方案．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒π2的角速度从点A出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B，再以每秒π3的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为二、选择题若a>b，c>d，则下列不等式中必然成立的一个是   A．a+d>b+c B．ac>bd C．d−a<c−b D．ac下列四个选项中正确的是   A．关于x，y的方程x2+y B．设复数z1，z2是两个不同的复数，a>0，则关于复数z的方程 C．设A，B为两个不同的定点，k为非零常数，若∣PA∣−∣PB∣=k，则动点P的轨迹为双曲线的一支 D．双曲线x225−在平面直角坐标系xOy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点．若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且cosα−β≤0，则a+b的最大值为 A．1 B．2 C．2 D．不存在三、解答题如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABC和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB=1，CF=2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E−BC−G(1)求四棱锥G−ABCE的体积；(2)求异面直线AE与BG所成角的大小．设fx=a+(1)设a=0，D=1,+∞，求函数y=f(2)求证：当且仅当a=1时，函数y=fx如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30∘，∠CAB=75∘，又选择了相距100米的B(1)请你根据张明的测量数据求出塔CD高度；(2)在完成（1）的任务后，张明测得∠BAE=90∘，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α，β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）②他是如何用α，β表示出DF的？（写出过程和结论）n2n≥5个正数排成n行n列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数q的等比数列．已知a12=1，a11(1)设bn=a(2)设Sn=a(3)设Tn=a如图所示，定点F到定直线l的距离MF=3．动点P到定点F的距离等于它到定直线l距离的2倍．设动点P的轨迹是曲线Γ．(1)请以线段MF所在的直线为x轴，以线段MF上的某一点为坐标原点O，建立适当的平面直角坐标系xOy，使得曲线Γ经过坐标原点O，并求曲线Γ的方程；(2)请指出（1）中的曲线Γ的如下两个性质：①范围；②对称性．并选择其一给予证明．(3)设（1）中的曲线Γ除了经过坐标原点O，还与x轴交于另一点C，经过点F的直线m交曲线Γ于A，B两点，求证：CA⊥CB．

答案一、填空题1.【答案】若a=0或b=0，则ab=0．2.【答案】60【解析】C63.【答案】3π【解析】所成几何体为半球，r=1，所以S表4.【答案】2【解析】1+ai所以2−a=0，a=2．5.【答案】−3【解析】AD⋅6.【答案】14【解析】由题意为等差数列，a1=15，所以Sn解得，n≥−1+221或n≤−1−因为n∈N所以n≥14．7.【答案】75【解析】两种情况，从A，B，C中选1门或0门，所以C38.【答案】y=2【解析】①当点P在半径为2的上半圆AB上，即t∈0,2时，旋转角α=所以yP②当点P在半径为1的下半圆BO上，即t∈2,5时，旋转角β=所以yP二、选择题9.【答案】C【解析】因为a>b，c>d，所以a+c>b+d，移项得d−a<c−b，选项C正确．选项A，B，D的反例可以是a=2，b=1，c=−1，d=−2，排除A，B，D．10.【答案】D【解析】选项A需满足D2选项B需满足2a>2c（2c为复数z1选项C需满足∣k∣<2c（2c为A，B两点的距离）；选项D正确，焦点均为34,0，−11.【答案】B【解析】由题意，a=sinα>0，b=sinβ>0，所以不妨设α∈π2,因为cosα−β所以π2即图中π2≤∠AOB<π，设β+易得yA≤y所以a+b=三、解答题12.【答案】(1)由已知得：GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG=60连接DG，由CD=AB=1，CG=CF=2，∠ECG=60∘得：由BC⊥EF，BC⊥CG得：BC⊥平面所以DG⊥BC, ⋯⋯②由①②知：DG⊥平面所以DG就是四棱锥G−ABCE的高，在Rt△CDG中，DG=2×所以V=1(2)取DE的中点H，连接BH，GH，则BH∥所以∠GBH即是AE与BG所成角或其补角，在△BGH中，BH=BG=5，GH=则cos∠GBH=所以异面直线AE与BG所成角的大小为arccos313.【答案】(1)由已知，设y=2x1−又y=2所以函数y=fx所以f−1x=(2)（i）函数fx=a+若a=1，fx=1+2x所以y=fx（ii）方法1：由y=fx是奇函数，有f−1=−f方法2：若a≠1，则f−1=a+f−1≠−f1（否则a=1方法3：若fx为奇函数，则对于任意的x∈−∞,0∪0,+∞，有即a−12x−114.【答案】(1)在△ABC中，∠ACB=180由正弦定理得：ACsin所以AC=100×CD=ACtan(2)由（1）得：AD=1002测得∠ABF=α，∠DAF=β，由已知得：AB⊥EF，AB⊥AE，所以AB⊥平面AEF，得所以AF=ABtan在△ADF中，由余弦定理得：DF=【另解1】测得∠ABF=α，∠DBF=β，解得：BF=100secα，BC=503在△BDF中，由余弦定理得：DF=506+2【另解2】测得∠ABE=α，∠EAF=β，由已知得：AB⊥EF，AB⊥AE，所以AB⊥平面AEF，得所以AE=100tan在△ACE中，由余弦定理得：EC=10000EF=100tan截取EG=CD，则DF=【另解3】测得∠ABE=α，∠EBF=β，由已知得：AB⊥EF，AB⊥AE，所以AB⊥平面AEF，得所以BE=100sec在△ACE中，由余弦定理得：EC=10000EF=100sec截取EG=CD，则DF=15.【答案】(1)由题意，数列bn是等差数列，设首项为a1，公差为由a12=1，a14=2得：a1所以数列bn的通项公式为b(2)由（1）可得：a15=52，再由已知解得：q=12或所以Sn由指数函数的性质得：Sn(3)（i）当n=1时，T1（ⅱ）假设当n=k时等式成立，即Tk当n=k+1时，Tk+1等式成立，根据（i）和（ⅱ）可以断定，Tn=2−n+216.【答案】(1)在线段MF上取点O，使得OF=2MO，以点O为原点，以线段MF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，设动点P的坐标为x,y，则有M−1,0，F由题意得：x−22整理得：3x(2)①范围：x≥0或x≤−4，曲线Γ位于直线x=0与x=−4两侧；②对称性：曲线Γ关于y=0成轴对称；曲线Γ关于x=−2成轴对称；曲线Γ关于−2,0成中心对称；范围证明：3x+22−对称性证明：在方程①中，把y换成−y，方程①不变，所以曲线Γ关于y=0成轴对称；在方程①中，把x换成−4−x，方程①不变，所以曲线Γ关于x=−2成轴对称；在方程①中，把y换成−y，或把x换成−4−x，方程①不变，所