2020-2021学年上海市浦东新区实验学校高二下期中数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区XX实验学校高二下期中数学试卷（2021·上海浦东新区·期中）若一个圆锥的底面面积为4π，母线长为3，则它的侧面积为（2021·上海浦东新区·期中）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的条件．（填“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既非充分也非必要”）（2021·上海浦东新区·期中）平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u=−1,0,5，v=t,5,1，则（2021·上海浦东新区·期中）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，∠ABC大小为．（2021·上海浦东新区·期中）如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△AʹBʹCʹ，已知AʹCʹ=6，BʹCʹ=4，则AB边的实际长度是．（2021·上海浦东新区·期中）若直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与（2021·上海浦东新区·期中）地球（地球半径为R）表面上从A地（北纬45∘，东经120∘）到B地（北纬45∘，东经30（2021·上海浦东新区·期中）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+R2=3R（2021·天津河东区·模拟）已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为（2021·上海浦东新区·期中）在三棱锥D−ABC中，已知AB=AD=2，BC=1，AC⋅BD=−3，则CD=（2021·上海浦东新区·期中）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是   A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β （2021·上海浦东新区·期中）以下说法正确的是   A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱（2021·上海浦东新区·期中）正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为面BB1C A．一条线段 B．一段圆弧 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分（2021·上海浦东新区·期中）如图，ABCD−AʹBʹCʹDʹ为正方体，任作平面α与对角线ACʹ垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则   A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值（2021·上海浦东新区·期中）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C(1)求该正四棱柱的表面积和体积；(2)求异面直线A1D与（2021·上海浦东新区·期中）如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段(1)求证：AC⊥BE；(2)当DE长为多少时，BE与平面ABCD所成角的大小为30∘（2020·上海虹口区·模拟）如图，在圆柱OO1中，它的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形，点C为棱(1)异面直线OC与A1(2)直线CC1与圆柱(3)三棱锥C1（2021·上海浦东新区·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG=4，AG=13GD，BG⊥CG，GB=GC=2(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；(2)求点D到平面PBG的距离；(3)若T点是侧棱PB上一动点，设CT与平面PBG所成的角为θ，求θ的取值范围．（2021·上海浦东新区·期中）空间中有四个球，它们的半径分别是2，2，3，3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径．（2021·上海浦东新区·期中）某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地面所成角的大小为60∘，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得AB+BM

答案1.【答案】6π【知识点】圆锥的表面积与体积2.【答案】必要非充分【知识点】直线与平面垂直关系的性质3.【答案】5【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题4.【答案】π3【解析】几何体复原如图所示：则△ABC是正三角形，所以∠ABC=π【知识点】棱柱的展开图5.【答案】10【知识点】直观图6.【答案】平行或异面【知识点】直线与平面平行关系的性质7.【答案】π3【知识点】球面距离8.【答案】S1【知识点】球的表面积与体积9.【答案】6π【解析】在△PAC中，设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，x>0，y>0，因为点E，点F分别是PA，AB的中点，所以EF=12PB=x在△PAC中，cosθ=在△EAC中，cosθ=整理得x2因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=3又因为∠CEF=90所以x2由x2解得x=2所以PA=PB=PC=2x=2又因为△ABC是边长为2的正三角形，所以PA所以PA⊥PB，所以PA，PB，PC两两垂直，则球O为以PA为棱的正方体的外接球，则外接球直径为d=3∣PA所以球O的体积为：V=【知识点】余弦定理、球的表面积与体积10.【答案】7【解析】设∠BAC=α，∠DAC=β，因为AC−所以AC即AC又因为AC⋅所以AC⋅即2ACcos所以CD所以CD=7【知识点】平面向量的数量积与垂直11.【答案】D【解析】由题知垂直于同一平面的两条直线平行．【知识点】直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系12.【答案】B【知识点】空间几何体的结构特征13.【答案】C【知识点】轨迹与轨迹方程14.【答案】B【解析】将正方体切去两个正三棱锥A−AʹBD与Cʹ−DʹBʹC后，得到一个以平行平面AʹBD与DʹBʹC为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AʹBʹ剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形AʹBʹB而多边形W的周界展开后便成为一条与AʹA1平行的线段（如图中EʹE1），显然当Eʹ位于AʹBʹ中点时，多边形W为正六边形，而当Eʹ移至Aʹ处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为324l2与3【知识点】棱柱的截面分析15.【答案】(1)由题意得AA则该正四棱柱的表面积为S全体积为V=2(2)连接A1则AC∥所以直线A1D与A1C1在△A1DC1由余弦定理得cos∠D则得∠DA所以，异面直线A1D与AC所成的角的大小【知识点】异面直线所成的角、棱柱的表面积与体积16.【答案】(1)连接BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又因为SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，由AC⊥BD,AC⊥SD,又因为BE⫋平面所以AC⊥BE．(2)设ED=t，因为SD⊥平面所以BE与平面ABCD所成角为∠EBD，在Rt△EDB中，由tan∠EBD=所以，当ED=63a时，BE与平面ABCD【知识点】线面角17.【答案】(1)以点O为原点，直线OB，OO1分别为y，则相关点的坐标为O0,0,0，B0,1,0，B10,1,2，C0,1,1，A于是OC=0,1,1，从而cos<因此，异面直线OC与A1C1(2)由于OO1=0,0,2是圆柱设直线CC1与圆柱OOsinθ于是，直线CC1与圆柱OO(3)由于三棱锥C1−OA1C的顶点C而S△O故VC【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、异面直线所成的角、棱锥的表面积与体积18.【答案】(1)异面直线GE与PC所成的角的余弦值为1010(2)点D到平面PBG的距离为32(3)θ∈arccos【知识点】线面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角19.【答案】以四个球的球心为顶点作四面体ABCD，则AB=6，CD=4，AC=AD=BC=BD=5，设AB，CD的中点分别为E，F，设小球的球心为O，半径为r，因为BC=BD，AC=AD，所以BE⊥CD，AE⊥CD，所以面ABE是线段CD的中垂面，又因为OC=OD=2+r，所以O在平面ABE上，同理，O也在线段AB