3.4　二次函数与幂函数

第三章3.4二次函数与幂函数函数、导数及其应用复习目标1．了解幂函数的概念及图象特征．2．理解二次函数的概念并能熟练应用二次函数解决有关问题．内容索引核心体系活动方案核心体系活动方案活动一

基础引入A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪[3，＋∞)BA．[0，＋∞)

B．(－∞，1]C．(0，1)

D．[0，1]D3(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的有 (

)A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数BC9活动二

典例悟法题组一求二次函数的最值

求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上的值域．1【解析】当0＜m≤1时，函数在区间[0，m]上单调递减，所以y的值域为[m2－2m＋3，3]；当1＜m≤2时，函数在区间[0，1]上单调递减，在区间(1，m]上单调递增，且m2－2m＋3≤3，所以y的值域为[2，3]；当m＞2时，函数在区间[0，1]上单调递减，在区间(1，m]上单调递增，且m2－2m＋3＞3，所以y的值域为[2，m2－2m＋3]．

1

若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．【解析】由题意，得函数在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．令y＝3，即x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2；令y＝2，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1．因为函数在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，所以实数m的取值范围是[1，2]．

2

求函数y＝x2－2ax＋3(a∈R)在区间[0，1]上的值域．【解析】当a≤0时，函数在区间[0，1]上单调递增，函数的值域为[3，4－2a]；当a≥1时，函数在区间[0，1]上单调递减，y的值域为[4－2a，3]；

3

求函数y＝ax2－2x＋3(a∈R)在区间[0，1]上的最大值．【解析】当a＝0时，y＝－2x＋3在区间[0，1]上单调递减，则y的值域为[1，3]；若a＜0，则函数在区间[0，1]上单调递减，则y的值域为[a＋1，3]．综上，当a∈(－∞，2)时，y的最大值为3；当a∈[2，＋∞)时，y的最大值为a＋1．求二次函数最值的关键是要把握对称轴与已知区间的位置关系．题组二幂函数的应用2【解析】由题意，得函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．因为f(a＋1)＜f(10－2a)，所以0≤a＋1＜10－2a，解得－1≤a＜3，故实数a的取值范围是[－1，3)．

已知幂函数f(x)＝x－1

，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围．【解析】由题意，得函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上单调递减．因为f(a＋1)＜f(10－2a)，所以a＋1＞10－2a＞0或0＞a＋1＞10－2a或a＋1＜0＜10－2a，解得3＜a＜5或a＜－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，5)．把握幂函数的图象与性质的重点是把握图象在第一象限的性质及其奇偶性．题组三二次函数的综合应用(1)求f(x)的解析式；(2)已知t＜2，g(x)＝[f(x)－x2－13]·|x|，求函数g(x)在区间[t，2]上的最大值和最小值；(3)函数y＝f(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．3因为函数f(x)的图象过点(1，3)，所以1＋b＋c＝3，所以c＝1，所以f(x)＝x2＋x＋1．所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在区间[0，2]上单调递减．当0≤t＜2时，g(x)max＝g(t)＝t2－12t，g(x)min＝g(2)＝－20；(3)不存在，理由如下：当m∈N*时，m2＜m2＋m＋1＜(m＋1)2．因为m2＋m＋1不是完全平方数，所以不存在满足题意的点．

[2025南通期中]已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－a|，g(x)＝－x2＋2ax＋4a，其中a≥1．(1)当a＝1，x∈[－2，2]时，在指定直角坐标系中，画出函数f(x)的图象；4(2)用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则当x＞0时，求函数M(x)的解析式；(3)用m(x)表示f(x)，g(x)中的最小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，若min{f(x)，g(x)}≤8恒成立，求实数a的取值范围．(2)当0＜x≤a时，f(x)＝2a，g(x)单调递增，g(x)＞g(0)＝4a＞f(x)，则有max{f(x)，g(x)}＝g(x)＝－x2＋2ax＋4a．当x＞a时，f(x)＝2x单调递增，g(x)单调递减，令f(x)＝g(x)，得2x＝－x2＋2ax＋4a，即x2＋2(1－a)x－4a＝0．解得x＝2a或x＝－2(舍去)．因为a≥1，所以f(0)＝2a＜g(0)＝4a．画出函数f(x)和g(x)的图象如图，由图可知，当a＜x＜2a时，max{f(x)，g(x)}＝g(x)＝－x2＋2ax＋4a；当x＞2a时，max{f(x)，g(x)}＝f(x)＝2x．当x＜x1时，g(x)单调递增，所以g(x)＜g(x1)＝2a．当x＜－a时，f(x)＝－2x，则f(x)单调递减，所以f(x)＞f(－a)＝2a；当－a＜x＜x1时，f(x)＝2a，所以当x＜x1时，min{f(x)，g(x)}＝g(x)＜2a．当x≥x1时，由(2)，知f(2a)＝g(2a)＝4a．若x∈(x1，2a)，则f(x)＜g(x)，所以min{f(x)，g(x)}＝f(x)≤f(2a)＝g(2a)＝4a；当x∈(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，所以min{f(x)，g(x)}＝－x2＋2ax＋4a．综上，min{f(x)，g(x)}在x＝2a取得最大值，即min{f(x)，g(x)}≤g(2a)＝4a．由min{f(x)，g(x)}≤8恒成立，得4a≤8，解得a≤2．又a≥1，所以1≤a≤2，即实数a的取值范围为[1，2]．

则当0＜x≤2a时，m(x)≤m(2a)＝4a；当x＞2a时，m(x)＜m(2a)＝4a，所以当x＞0时，m(x)