中考复习专题：八类最值问题汇 总模块五（解析版）

【分析】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点M,，连接DM，可证得即M在M,点位置时，即有CN=BM,，利用BD∥AC，证得△BDM,~△CAM,，得到【详解】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点M,，连接DM，如图：此时CN=BM,，解得x=3-1返型”对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而日拱一卒,功不唐捐求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 【例题1】三种处理策略如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60o，得到P’，EP’的最小值AEPEPBDCP' PP始P'始P'始P末CBEPDC定点A手结构，通过全等证明.答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的60o，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便．DP'ABDP'ABEPCBC'P'APDE第四层：分析∠CAP和∠CBP’B30°DB30°DBAEPCP'EEPCAP'答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现.大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求将点EC绕点C顺时针旋转60o，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值BP'BP'AEPDCGEPEPDCGBP'AABDHBDHEPCP'∵△ABC是等边三角形，BEPBEPDCGAP'∴△ECG是等边三角形，EG＝2∴∠PCG=∠ECP’过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求．BHBHEGPDCAP'2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题已知点A(2,0)，点B是直线y2上一个动点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.AABCyAAOECxByAABCy【简析】2BC+OC=AC+OC，求出C点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点M(2,-2)，构造旋转相似，易知LCAN=90°,可知C点轨迹为y=-x-2，作O'(-2,-2)，yAyAOO'NMCxBANMCBy（3）记D(0,2)，①求DC+OB的最小值；②求2OB+OC的最小值yyDOCABxBBCyDOAyDOO'CABPPQAMOAQAQPO【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？【小结】根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对【例题1】如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为．【答案】42【分析】连接AC，与BD相交于点H,取BE中点I，连接HG、IG，由正方形ABCD的边长是8得到7BAD=90O,AB=AD=8，BH=DHBD，AHTBD，由中位线定理得到HGDE，IG聂DE,则G、H、I三点共线，即点G的运动轨迹是线段HI，由AHTBD，当点G和点H重合时，线段值AG最小，由勾股定理求出BD=82，即可得到AHBD得到线段AG的最小值．【详解】解：连接AC，与BD相交于点H,取BE中点I，连接HG、IG，∵正方形ABCD的边长是8，∴7BAD=90O,AB=AD=8，BH=DHBD，AHTBD，∴HGDE，IG聂DE,∴点G的运动轨迹是线段HI，∵AHTBD，∴AHBD，即线段AG的最小值为4·2【例题2】如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为．【答案】42【分析】连接AC，与BD相交于点H,取BE中点I，连接HG、IG，由正方形ABCD的边长是8得12则G、H、I三点共线，即点G的运动轨迹是线段HI，由AH丄BD，当点G和点H重合时，线段值AG最小，由勾股定理求出BD=82，即可得到AHBD，得到线段AG的最小值．【详解】解：连接AC，与BD相交于点H,取BE中点I，连接HG、IG，∵正方形ABCD的边长是8，∴点G的运动轨迹是线段HI，∴AHBD，即线段AG的最小值为4·2上的一个动点，过点P作◎M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为【答案】27【分析】记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ，由QM=2，则当PM最小时，PQ最小，点P与点K重合，此时PM最小值为KM，由勾股定理求得PM的最小值，从而求得结果．【详解】解：记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM，解得：x=-4，∵QP与◎M相切，∴当PQ最小时即PM最小，即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KMRt△COD中，7COD=90°,OD=43，7D=30°,连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△CODA．3B．62-4C．213-2D．2【答案】A【分析】如图所示，延长BA到E，使得AE=AB，连接OE，CE，根据点A的坐标为(-6，4)得到BE=8，再证明AM是△BCE的中位线，得到AMCE；解Rt△COD得到OC=4，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，据此求出CE的最小值，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长BA到E，使得AE=AB，连接OE，CE，∵将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，∴CE的最小值为10-4=6，日拱一卒,功不唐捐【巩固练习3】如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB长的取值范围为．【答案】4-22≤PB≤4+22【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E．使AF=EF，连接EP,BE．利用等腰直角三角形的性质得出ΔABC∽ΔFBD利用相似三角形的性质求出DF=2，再利用三角形中位线的性质求出PE=22，由ΔABF是等腰直角三角形，AF=FE，得出BF垂直平分AE，进而求出BE=4，继而利用三角形的三边关系即可求出答案．【详解】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABF，延长AF至点E．使AF=EF，连接EP、BE．∵ΔCBD和ΔABF都是等腰直角三角形，LCBD=LABF=45O，∴LCBD-LCBF=LABF-LCBF，即LFBD=LABC，∵AD=DP，AF=FE，∵ΔABF是等腰直角三角形，AF=FE，∴BF垂直平分AE，故答案为：4-22≤PB≤4+22．【题型2】直线型轨迹（三种解题策略）ADFGFGBEC 现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目迹，再作垂线CH得到最小值.AABDCABDCABDCHEEEEE进一步得到△MBG1为等腰三角形后，求CH就不难了，可得CHA60°A60°MG1BEDCHADHMG1NCBEA60°A60°MG1BEDCHN44GEDMGEDMCAFBHNEDMCABI或GEDMCAFB【简证】EM=AE→EN=1→LNEC=120°→IC则CH对B点旋转得到∠EMG=∠FBE＝90o，相对来说要容易一些.MBMBECDGAFAMEHIDCB讲点C逆时针旋转60o，得到点H，易证△CGE≌△HFE，则有CG＝HF，作MH⊥即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很DDHGBENCAMFAADMGFBECH【例题2】如图，已知点A(3,0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7,h)，则h=．23【答案】233【分析】△AON∽△ABM32=3故h,M(3.5,M(3.5,a)N在Rt△CEF中，LCEF=180O-LAEC=60O,CF=h,∴∴LCAE=LABD在Rt△BOD中，LBDO=180O-LADB=60O,23解得h=233【巩固练习1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为36【答案】25【分析】策略一：得到G点轨迹直线后，画出起点G1和终点G2策略2：旋转相似:【解析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于∴∠HDF=∠DAH=∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90o，∠FHC+∠FHD＝90°,【巩固练习2】如图，在平行四边形ABCD中，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60O得到BF，连接AF，AB=12，7ABC=45O，求AF的最小值．【思路点拨】将AB顺时针旋转60o，作等边△ABK，根据手拉手模型可知AF=EK，根据垂线段最短可知，当EK丄AD时，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解．【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T使得AT=TK，丫BE=BF，BK=BA，LEBF=LABK=60O，：LABF=LKBE，：△ABF≌△KBE(SAS)，：AF=EK，根据垂线段最短可知，当EK丄AD时，KE的值最小，丫四边形ABCD时平行四边形，：，：2-2，：【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段P【答案】2 ,3【巩固练习4】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45O到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45O得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45O得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．:LBEF=LTEG:△EBF≌△ETG（SAS:LB=LETG=90°:点G在射线TG上运动，:当CG丄TG时，CG的值最小，:LCED=LBET=45°:LTEJ=90°=LETG=LJGT=90°:四边形ETGJ是矩形，:CJ丄DE:JE=JD:CG的最小值为2+32,AB=AC=2，LBAC=120°,对称轴AD交BC于点D，点E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转30°得FC，连接DF，则DF长【答案】求出LDCF=LGCE，根据旋转的性质可得CE=CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，然后根据垂线段最短可得EG丄AD时最短，再根据LCAD=60°求解即可．【详解】解：如图，在AC上取一点G，使CG=CD，连接EG，:LACB=30°:CD=3，:LECF=30°:LECF=LACB,:LGCE=LDCF,又丫CE旋转到CF，:CE=CF,:DF=EG根据垂线段最短，EG丄AD时，EG最短，即DF最短，如图所示：丫LCADAG=AC-C3，EECFGBAD【分析】策略一：反向构造＋伸缩如图从主动点F到从动点G可以理解为，将线段FE绕定点E顺时针旋转了45o再缩短为原来的 反向构造则需要把CE绕点E逆时针旋转45o，再扩大变为原来的2倍，得到EH，显然△ECH为等腰直角三角形，进一步得到△FEH∽△GEC，相似比为2，所以CGFHAADHFGBECAD主动点FBE定点CAADHFGBEC值为22ADADFGHBECBECADHFG 1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，F为AB边上一点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则AG的最小值为．FFADGBEC【分析】策略一：代换所求线段，取AH＝AF，易知△AFGHGHGEAFBDCHGEAFBDCFFHBECADBNECADMFGBECADHF【题型3】线段和【例题1】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C日拱一卒,功不唐捐顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．【答案】3+33【分析】根据题意，证明△CBE≌△CAF，进而得出F点在射线AF上运动，作点C关于AF的对称点∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．△ABC是边长为6的等边三角形，作点C关于AF的对称点C¢,连接DC¢,设在Rt△AOC中，7CAO=30°,则COAC=3，【巩固练习1】如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90O得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG的【答案】13【分析】将△FBE绕点E逆时针旋转90O得到△GHE，延长GH交BC于点M，延长CB至点N，使CM=NM，连接DN，由矩形的条件和旋转的性质可得EH【详解】解：将△FBE绕点E逆时针旋转90O得使CM=NM，连接DN，∴四边形EBMH是矩形，∴GM是CN的垂直平分线，∵F是直线BC上一动点，∴当点N，G，D三点共线时，CG+DG取最小值ND，故答案为：13．E连接AE、BE，则AE＋BE的最小值为ECFDCFDABBB’FGEHDCGEHDCAB设垂足为H，则AH＝BHAB【题型4】圆弧型轨迹O为AB的中点，◎O的半径为O为AB的中点，◎O的半径为1，点P是◎O上一动点，以PB为直角AABPOC【解答】解：AABKCPO\ΔAKB是等腰直角三角形，丫LOBK=LPBC，\LOBP=LKBC，\KC=2，\点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK=2OA=22，\AC的最大值为3/2，AC的最小值2，\2„AC„32．CAPOAPOBD日拱一卒,功不唐捐DCCAB分析：旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形【答案】8+36【解析】EE法二：将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BD，BE，DE．EEDDCCABEBD=∠ABC，∴DE＝2AC＝36．日拱一卒,功不唐捐【巩固练习1】如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．【答案】210-1到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，可求ME=/2BM=2·10，从而可求解．【详解】解，如图，连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90°,M点的对应点为E，丫P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，:Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，:CD=AB=BC=4，7C=90°,丫M是CM的中点，:CM=2:BM=CM2+BC2由旋转得：BM=BE，:ME=2BM=210，:MQ=ME-EQ=210-1，:MQ的值最小为210-1日拱一卒,功不唐捐【巩固练习2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是◎A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段DF，连接AF，则AF的最小值是．【答案】25-1三边关系求AF的最小值即可；【详解】解：如图，取CD中点T，连接AE、FT、AT，∵四边形ABCD是正方形，∴AF³AT-TF，∴AF³25-1，∴AF的最小值为25-1日拱一卒,功不唐捐ADPQPQBC【答案】13＋1AADQQPPBCME【题型5】加权线段和12AEAEDFBC【答案】37FG,FABHABHCGED1212QQAPxyO【答案】221【解析】解：连接AO，将线段AO绕点A逆时针旋转120°得到AR，连接RQ，QQA,ARGPHxyO过点A作AG丄x轴于点G．丫LOAR＝LPAQ＝120°,：LOAP＝LRAQ．：OP＝RQ，LAOP＝LARQ．：tanLAOPLARQ＝LAOP＝60°.丫AP＝AQ，LPAQ＝120oPQ＝3AQ，【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)，点C的坐标是(0,-2)，点B(x,0)12【答案】C点D的坐标，然后证明△BAO丝△PAD得到LPDA=LBOA=90°,则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，APPC=GP+PF，则当G、P、F三点共线时，GP+PF有最小值，即AP+PC有最小值，再:OA=OD=2，:OE=AE=1，；:AB=AP，LBAP=60°,AO=AD，LOAD=60°,:LBAP+LPAO=LDAO+LPAO，即LBAO=LPAD，:△BAO丝△PAD（SAS:LPDA=LBOA=90°,:点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，:AO=PO=2，:此时点P的坐标为（0，-2:直线PD的解析式为yx-2；:点H的坐标为，:LOCH=30O，121∴当点P运动到H点时，GP+PF有最小值，即AP+PC有22【题型6】路径长度类问题GFGFADEBC【答案】32，42日拱一卒,功不唐捐【解析】而GE³GH，由12345模型可知tan7AGH=tan7BAG=,故AHAG=1，则GH=3故AF的最小值为32，又因为故F的路径为点E路径的2倍，故F的路径为42HHGFFDPGCAB∴点F运动的路径长为2AD＝42．\DH=AE=x,\SΔCEF=SDHFC+SΔCED-SΔEHF日拱一卒,功不唐捐【巩固练习2】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边ABEFPE中点，则当点P从点A运动到点B时，作GH丄AD交AD于点G，交BC于点H，证明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，故点M的运动【详解】解：过F作FK丄AD交AD延长线于点K由题意可得：AEAD=2又∵LPEA+LAPE=90。∴LAPE=LKEF过M作GH丄AD交AD于点G，交BC于点H，如下图故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，=LBEF1∴M1M即点M运动的路径长为16【巩固练习3】【题型7】取到最值时求其它量【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△AB∴∠PP’C=∠BP’C-∠BP’P＝135°-60°=75°【巩固练习1】如图，线段AB=8，点C是线段A到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使LDCE=90o,LE=30o，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．【答案】3平分CF，LABF=60。为定角，可得点F在射线BF上运动，当AF丄BF时，AF最小，由含30度日拱一卒,功不唐捐∴点F在射线BF上运动，此时LFAB=90°-LABF=30°