广东省2021届高三二模数学试卷解析

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等{言息2、请将答案正确填写在答题

卡上

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合人={»2、＞4},集合8={dxva},若AU8=R,则实数。的取值范围为（）

A.（-oo,4）B.（1,+8）C.（9,2）D.（2,+00）

2.已知复数2=—+i（i为虚数单位），则|z|=（）

2+i

A.75B.72c.75+1D.Vio

3.2020年12月4口是第七个“国家宪法口”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛

活动，甲同学答对第一道题的概率为1•，连续答对两道题的概率为工•用事件A表示“甲同学答对第一道题”,

32

事件4表示“甲同学答对第二道题”，则P（用4）=（）

11-23

A.—B.—C.—D.—

3234

4.某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一

次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）

A.15B.20C.25D.30

—r4-1

5.函数—大致图象为（）

6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小

鼠亦口一尺，大鼠口白倍，小鼠口白半.问何口相逢？'‘题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对而

打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后

每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的同•个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为（）

32,T〜

A.324B.——C.10〃D.24乃

3

8.已知椭圆。：乂+==1（。>〃>0）的短轴长为4,焦距为2及.过椭圆。的上端点4作圆f+），2=2

a~b-

的两条切线，与椭圆C分别交于另外两点M，N.则的面积为（）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.正方体A8CO—人耳的棱长为2,E，F,G分别为BC,CC,,B用的中点,则（）

A.直线8］C与直线Ab垂直

9

B.平面A所截正方体所得的截面面积为不

2

C.三棱锥厂一AGE的体积为2

D.点A与点G到平面AE尸的距离相等

10.将函数/（x）=sinx的图象向右平移看个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的

得到函数g（x）的图象.若g（x）在［0,句上的值域为一;J,则（）

A.g（x）在［0,布卜有两个零点

B.g(x)在[0,句上有两个极值点

C.g(x)在区间0段上单调递增

一.「24一

D.①的取值范围为—

11.已知a>0,b>0,a+2b=\,贝1()

A.a2+b2>-B.-+->3+2V2

5ab

C.2“+”>2I).log267+log2/?<-3

12.函数/(x)的定义域为R,且1)与/(尢+1)都为奇函数，则下列说法正确的是()

A./(力是周期为2周期函数B./(x)是周期为4的周期函数

C./(工+2)为奇函数D./'(x+3)为奇函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=1-Inx在x=1处的切线在x轴上的截距为__________.

x

14.已知。为第二象限角，且sii4,+&]=豆叵，则〔an〃=_________.

[24)1()

15.已知□人〃。中，AB=1，AC=3,cosA=-,点七在宜线8c上，且满足：BE=AB+IAC(1aR)t

贝通|=.

16.已知抛物线C：元2=4y的焦点为尸，直线/过点尸且与抛物线。交于A,B两点,分别过A,B两点、

作抛物线c的切线4，4,设直线4与乙交于点夕(天,%)，则.%=，面积的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知[ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且3sinC+26sin2,=G，o=26，

,求LM8C的周长.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2福・祝=〃c；

条件②：SABC=6a，条件③：a(acosC+ccosA)=彳廿.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知数列｛。〃｝满足q=1,%=4,aft+2=4atl+］-4%.

(1)证明：｛a〃+i—2%｝为等比数列；

(2)求数列｛/｝的前〃项和S..

19.如图，A3是半圆£直径，。是半圆七上异于A3的一点，点。在线段AC上，满足DEJLAB,且

PA±PC,N8AC=NPAC=3(r，A6=4，PB=布.

(1)证明：BCA-PA,

(2)求二面角。一PE—区的余弦值.

20.已知双曲线C:二-二=1(。>0力>0)的离心率为3,过双曲线。的右焦点尸作渐近线的垂线，垂足为

a-b-2

N,且□/ON(O为坐标原点)的面积为百.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若尸，。是双曲线C上两点，旦尸，。关于原点对称，”是双曲线上异于尸，。的点.若直线

和直线MQ的斜率均存在，则右,P/MQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21.城市大气中总悬浮颗粒物(简称7SP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》

规定，TS尸日平均浓度(单位：|^m,)在［0,120］时为一级水平，在(120,300］时为二级水平.为打赢蓝天保

卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系

统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据

扬尘监测仪的7sp日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：

75P日平均浓度X<8()80<X<120120<X<2(X)2(X)<X<3(X)X>3(X)

X/(gg/m-)

喷雾头个数y/个205080110150

根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSPH平均浓度X不高于8()pg/m',120pg/m3,200pg/m3,

300%/nT的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.

(1)若单个喷雾头能实现有效降尘8m，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.

(2)若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间75。日平均浓度X不高于80度/0?,120图/11?,

200ng/m3,300陷/0?的概率均相应提升了5%,求：

①该工地在未来10天中至少有2天7sp日平均浓度能达到一级水平概率；(0.6°=0.006,结果精确到

O.(K)l)

②设单个喷雾头出水量一样，如果75P日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平

时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.

22.已知函数/(x)=-^X2+(«-l)x-ainx(a0).

(1)当时，证明：/(-v)>0

2;

(2)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合人={42、>4},集合3={x|x<〃},若A(J8=R,则实数〃的取值范围为()

A.(—,4)B.(1,+8)C.(-<»,2)D.(2,+oo)

答案：D

思路：由)，=2、单调递增，解出指数不等式2、>4的解集得集合A,因AU8=R,结合数轴可求得。的取

值范围.

解：解：二k2'>4}=12'>2?}={小>2},8={x|x<a},

又AU8=R,

.•.结合数轴可得。>2,所以。的取值范围为(2,+8).

故选：D.

2.已知复数2=七+，(1为虚数单位)，则忖=()

A.6B.72C.6+1D.V10

答案：B

17

思路：根据复数运算整理得到2二三十三九由模长运算可求得结果.

JJ

Mi.《2一').2/4-1.17...fl―49

解：・・・2=丁二+1=小\小.、+/="+?7，.••Z=J—+—=近r

2+1(2+/)(2-<)55511\2525

故选:B.

3.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛

2I

活动，甲同学答对第一道题的概率为一，连续答对两道题的概率为<.用事件A表示“甲同学答对第一道题”,

32

事件8表示“甲同学答对第二道题”，则「(8|A)=()

I123

A.-B.—C.—D.一

3234

答案：D

思路：由条件概率公式直接计算可得结果.

解：・・・P（M=；,P（A）=|,,「（即力=镭2=尹*

故选：D.

4.某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一

次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（）

A.15B.20C.25D.30

答案:C

思路：利用组合数首先求出每小组中各队进行比赛次数,再求出各小组的第•名单循环比赛次数即可求解.

解：由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为5C；=15,

各小组的第一名再进行单循环比赛次数为=10,

先后比赛的总次数为15+10=25.

故选：C

5.函数），="人；+1的大致图象为（）

yy

7

1

A.・，・，.................B.

-4-3-2-\O1234V-4-3-2-\Oi234x

y

4V

7

2

1

c•一•-_...D

-4-3-2-\O1234Ki，-4-3-2-10i234A-

—i为

-2

-rx

4

答案：D

思路：选将函数表达式分离后运用基本不等式求出值域就可以选出答案.

X2-X+\+（A-1）+11]

，一丁厂—一二1一——D十苕+1，

当工>1时，=(x-l)+—+l>2J(x-l)x—+1=3(1=2等号成立)；

>Jx-1Vx-1

当上<1时，y=(x-l)+——+1=-[(1-x)+—!—]+<-2.(1-x)x—+1=-1(x=0等号成立)；

工一11-xV1-x

从而可知选项D正确.

故选:D.

点评：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小

鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？''题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面

打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后

每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢()

A.3B.4C.5D.6

答案：B

思路：依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解.

解：大鼠从第一天起打进尺数依次为：1,2,4,8,…，

小鼠从第一天起打进尺数依次为：1,"，…，

35135

前3天两鼠完成量的总和为二<16,前4天两鼠完成量的总和为丁>16,

48

所以第4天两鼠相逢.

故选:B

7.已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为2G的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为()

327

A.32乃B.——C.104D.244

3

答案:A

思路：设圆柱底面圆半径为，高为〃，利用勾股定理可构造方程，利用〃表示出，从而将圆柱体积表示

为关于〃的函数的形式，利用导数求最值的方法即可求得圆柱体积的最大值.

解：设圆柱底面圆半径为〃，高为6,则产+（义）=（26）2,..,2=122>0,

0v/2<，••・圆柱体积V=7trh=127rh--h\

4

3

;.\7，=\171一一7Th\令V'=O,解得：〃=4,

4

当〃«o,4）时，r>o；当〃<4,4百）时，r<o,

.-.V=一?/在/?£（（）,4）时单调递增，在力W（4,473）时单调递减，

/.Kwx=48万一2x64=32W

max4

故选：A.

点评：关键点点睛：本题考查立体几何中几何体体积最值的求解问题，解题关键是能将圆柱体积表示为关

于圆柱的高力的函数的形式，从而利用导数求得最值.

22

8.己知椭圆C:乌+与=1（。>〃>（））的短轴长为4，焦距为2夜.过椭圆。的上端点8作圆f+）,2=2

a"b"

的两条切线，与椭圆。分别交于另外两点M,N.则口32帽的面积为（）

答案：B

思路：根据椭圆的短轴长为4,焦距为20，求得椭圆方程，再设直线BN的方程，利用直线与圆相切,

求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M,N的坐标即可.

解：因为椭圆C:二十二=1（。〉力>0）的短轴长为4,焦距为2拉，

a~b~

b=2、c=5/2,a'=6»

所以椭圆方程为二十£=1，

64

如图所示:

V

设直线8N的方程为），=依+2,

则原点到直线BN的距离为1=，

J1j_+公?

又因为直线“N与圆/+/=2相切,

所以不缶=&，解得&=±1'

则直线BN的方程为_y=一工+2,

\y=-x+2X=—

由'225

xty_,解得，2,即N（±1}

）'=一二

（122、

同理求得M,

II24（2\144

所以口8乂0的面积为5=^M八8。=3乂彳、2+三卜年

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.正方体ABC。-AMGA的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC,,B4的中点，则（：）

A.直线4c与直线A尸垂宜

B.平面4所截正方体所得的截面面积《

C.三棱锥方一AGE的体积为2

D.点A与点G到平面AEF的距离相等

答案：BD

思路：A.建立空间直角坐标系，由正•配是否为零判断；B.根据E/〃AR,由平面的基本性质得到截面

是等腰梯形求解判断；C.由％求解判断；D.根据AG〃平面AEF。，即AG〃平

面AEF判断.

解：如图所示：

A.建立如图所示空间直角坐标系，则4(2,0,0),尸(0,2』)山(222),。(0,2,0),/=(-2,21),即=(—2,0,—2),

而而•配=200,所以直线4c与直线人/不垂直，故错误；

B.如图所示；因为石尸〃人A,所以截面为等腰梯形AEFD,,所以截面面积为

S=g(EF+42)•加+BE、j=/&+2旬.卜+12_闺=?故正确；

c=匕-皈=:X；BG>4B用XA8=?,故错误；

3乙j3

D.因为AG//。/7,AG//平面AEFA，即AG//平面AEF,所以点A与点G到平面AEb的距离相

等，故正确；

故选：BD

点评：方法点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定,

作图时充分利用儿何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置..

10,将函数/(x)=sinx的图象向右平移£个单位长度，再将曲线.上各点的横坐标变为原来的,(①>0)，

6CO

得到函数g(x)的图象.若g(x)在［0,句上的值域为-3，1,则()

A.g(x)在［0,句上有两个零点

B.g(x)在［0,句上有两个极值点

C.g(x)在区间0,|上单调递增

—'24'

D.①的取值范围为

答案：CD

思路：先由图象的平移和伸缩变换得到函数g(x)=sin0工一£，再根据正弦函数的图像，单调性，值域

6)

逐一判断可得选项.

解：将函数/*)=sinx的图象向右平移看个单位长度后，函数的解析式为产sin卜71

再将曲线上各点的横坐标变为原来的得到函数g&)=sin(5—j］,

coko7

又、e［0,司，所以一2^一刍工防一勺，乂g(x)在［0,句上的值域为一：,1

666L2

,G/I

所以一GG)冗---«---,解得一<69<一,故D正确;

26633

当©=2时，则一巳—土，此时g(x)在［0,4］上只有一个零点，故A不正确;

3662

并且公一时，g(x)单调递增，故B不正确：

八7171,冗717171,717c

xe0,—,——<CDX------<—(0-------，当一W6yW一时,—<cox------<—，

2662633666

jr

所以函数g(x)在区间。，5上单调递增，故C正确.

故选：CD.

点评：关键点睛：本题考查三角函数的图像变换和正弦函数的性质，关键在于由公r-h的范围.运用整体

6

代换的思想，得以解决问题.

11.已知〃>0,Z?>0,«+2/?=1,则()

1

2>3+2

A.a2+b2>-^+--

5力

a+b

C.2>2D.log2e7+log2/?<-3

答案：ABD

思路：利用〃=1-2〃将/+〃化为关于〃的二次函数形式，结合〃的范围可求得A正确;

\1

由一十1二―+―（a+2b）,利用基本不等式可知B正确;

abI。b)

由〃+匕=1—bvl可知C错误;

利用基本不等式可求得向4,结合对数函数单调性可求得D正确.

O

解：对于A,丁。〉。，/?＞（）,4+26=1,.•.々=1-2〃＞（）,解得：

2

.•./+/=（1-2匕）2+〃2=56一4"1,

22

当力=2时，(56一4〃+1):.a+b>-tA正确;

5\为in5555

…r妨11(11、/c2ba__12ba__/r

对于B,—+—=—+—(a+2Z?)=3+—+—>3+2J-----=3+2V2

ab\ab)ab\ab

2ba

当且仅当~a~~b即Q=时取等号，B正确;

对于C,,//?>0,a+2b=1,=,「.2""<2，C错误:

对干D,・.・。+2人=122亿^（当且仅当。=功时取等号）,ab<-,

8

/.loga+logb=logub<log,—=—3,D正确.

2228

故选：ABD.

点评：易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题：利用基本不等式求最值时,

要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12.函数/(X)的定义域为R,且/(工一1)与/(R+1)都为奇函数，则下列说法正确的是()

A./(x)是周期为2的周期函数B.7(x)是周期为4的周期函数

C./(x+2)为奇函数D./(x+3)为奇函数

答案：BD

思路：AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合/(工一1),/(X+1)为奇函数判断.

解：因为函数/(X)的定义域为R,且/(五-1)与/(X+1)都为奇函数，

所以/(_无_1)=_/(%_1)，/(_工+1)=_/(%+1)，

所以/(1)=—/(—X—2),/(x)=-/(-x+2),

所以2)=/(—x+2),BP/(x+4)=/(x),故B正确A错误;

因为/(X+3)=/(X+3—4)=/(X—1),且为(％—1)为奇函数,所以/(R+3)为奇函数，故D正确；

因为/(x+2)与/(无+1)相差1,不是最小周期的整数倍，且/(工+1)为奇函数，所以/(3+2)不为奇函

数，故c错误.

故选:BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y='-In_r在工=1处的切线在x轴上的截距为___________.

x

3

答案：T

2

思路：根据导数的几何意义，求得曲线在x=l处的切线方程，进而求得切线在工轴上的截距.

解：由题意，函数y='-lnx,可得)/=--,所以y'L=i=-2,

XXX

由当x=l时，y=l-lnl=l,即切点坐标为(1,1),

所以切线方程为丁-1=一2(工一1),即2x+)，-3=0,

33

令y=0,可得X=一，即切线在不轴上的截距为一.

22

3

故答案为：一.

2

14.已知。为第二象限角，且sin[2+工]=独0,则tan®=_________.

[24)10

4

答案：一；

3

思路：根据。的范围可求得且+石的范围，结合sin-+4可确定9+巳为第二象限角，结合同角三

24U4J24

角函数关系求得cos-+-，利用二倍角公式和诱导公式可求得cos。，由同角三角函数关系可求得结果.

1247

解：为第二象限角，.•.2Qr+]<8<2Qr+7r(ZwZ),

,7T07T.34乙.八

k兀H---V----1---Vk,7TH-----(Aw/),

2244'7

p.(e7ry3V10-riore3万，、

又sin—+—=------>0,/.IkoT/T+—<—+—<2k/r+—\keZ),

U4J1()2244'7

.八R-------TT4„sin/94

/.sin^=vl-cos0tan0=------=——.

5cos。3

故答案为：一§.

点评：易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值

时出现符号错误.

15.已知LJA3C中，AB=1，AC=3,cosA=(,点E在直线8c上，且满足：BE=AB^lAC{l^R),

则|荏|=.

答案：M

思路：设而=4祝=2(前一;而+//，得丽=一死,由余弦定理解得BC,再利用向量线

性运算得女二丽-肥，则|通|=J（而一网2展开即可得结果.

解：设荏=4方心=几（前一而）=丽+/正，所以/=几=-1

故荏=-对则解:丽+屁=丽-前

由余弦定理的cosA=A8-+AC--8C-=L,又A§=I，AC=3

2ABAC4

所以=2^1,贝ij2sA•6C•cos6=BAy+6C‘一AC’二’

22

由1福=J（而—硝2二J丽：2福•肥+就=/i+l+12=Vio

故答案为：JI6

点评：关键点点睛：本题的关键先求解/=-1,得丽=-阮，然后再由向量模计算方法运算.

16.已知抛物线C:/=4,，的焦点为产，直线/过点尸且与抛物线。交于A,B两点,分别过A,B两点

作抛物线。的切线4，%,设直线乙与4交于点「（七，%），则.％=，AE45面积的最小值为

答弗(1).-1；(2).4

思路:设A,B工2,号,先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交

点坐标尸（2玄-1）.因为SMB所以将弦长M网和点P到直线A8的距离Q带入即可求得面积

的最小值.

解：解：•・•抛物线方程为V=4），，

抛物线的焦点/（。』）

由题意，直线A3的斜率存在，设/八8：）'=心1+1，AX，

X-=4y,、

联立，得J-4米-4=0»

y=o4-1

二.石+占=4%,x^x2=-4,

由f=4y,得），二:，求导得y="|，

^=A（x_Xi）,即）,=5犬_今①

同理/,:y=Xx-三②

-24

...由g得5号m%=扛_a什一白年一

*222

,/\AB\=>J\+k|x)-x2|=J]+k?yj(X]+1『-你/=V1+kyj\6k+16=40+/)

2二+1+1公=2荷

点P到直线AB的距离d=I/

VuF

____3

2

PAB=^\AB\jl=^l+k)[2^+F=4(1+公>,

易知公=0，即攵=0时，（S%Jmin=4，

故△B4B面积的最小值为4.

故答案为：—1;4.

点评：思路点睛：设出4,B两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P坐标：设

出直线48方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得|A8|,由点到直线距离公式可得点P到直线AB的距

离，从而求得进而易得面枳的最小值.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知LMBC的内角4,B,C的对边分别为%b,J且3sinC+26sin2,=JLc=26，

,求［ABC的周长.

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2通•正=〃c；

2

条件②：SABC=\/3a»条件③：a(acosC+ccosA)=——b.

2

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案：条件选择见解析：口48。周长为66+6.

思路：由题设条件，求出角C,选条件①：由向量数最积求出角4,由正弦定理求解即得；选条件②：由三

角形面积公式求出边〃，再由余弦定理求解即得；选条件③：由正弦定理边化角，再用余弦定理求解.

解：rti3sinC+2Gsir|25=6，得3sinC+G(l—cosC)=百，

即3sinC—6cosc=0,所以tanC=立，因为Cw(0,乃)，所以。=工.

30

选择条件①：由2丽•X？ic，得2Z?c-cosA=0c,所以cosA=；,

因为A£(0,〃)，所以A=工，期以4A—。=工，

32

所以Z?=2c=4\/5，ci=>//?2-c2=6»所以口A8C的周长为6JJ+6；

选择条件②：由5,席=岛，得;〃〃sinC=&,所以力=46，

由余弦定理，得="2+〃2一2rz6cosC,所以12=48+/—12。,即/—12a+36=0，

解得。=6,所以EMBC的周长为66+6；

选择条件③：由a(acosC+ccosA)=b~及正弦定理得：

(7(sinAcosC+sinCeosA)=——bsinB，所以asin(A+C)=bsinB，

22

an

所以asinB二——bsinB，即。=——b，由余弦定理，得d=/+从一2他cosC,

22

所以12=:匕〜+。"—b：所以b=4>/5，ci=--=6»所以口ABC的周长为6A/^+6.

422

18.已知数列｛a,｝满足4=1,4=4,an+2=4an+l-4an.

(1)证明：｛。二-2%｝为等比数列;

(2)求数列｛4｝的前〃项和S“.

答案：(1)证明见解析；(2)S“二(-l)2〃+1.

思路：（1）由%.2=4。向—4%,化简得到幺色一等■=2,结合等比数列的定义，即可求解.

a

n+l~肛

（2）由（1）求得。用一2Q“=2X2"T=2"，得到察一条=1,根据等差数列的定义和通项公式，求得

nl

an=nx2-,结合“乘公比错位相减法”，即可求解.

解：⑴因为。“+2=4《川一4。“，所以4+2-24川=〃川一4%=2（q+|-2。〃），

又由生一2q=2,所以｛q用一2/〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知也用一2。〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以。川一2凡=2乂2”|=2"，可得当一券=1

又由参=1,所以'券，是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以券=1+（〃-1）x1=〃，即=/?x2"-1

所以S.=lx20+2x2i+3x22+L+〃x2”“，

所以2s“=1x21+2x2?+3X23+・♦・+〃X2",

12

两式相减，司.得~Sn=2°+2+2H---F1"।x2"=----（----）—〃x2"，

1-2

所以S.二（〃—l）2"+l.

点评：错位相减法求解数列的前八项和的分法：

（1）适用条件：若数列｛4｝为等差数列，数列他,｝为等比数列，求解数列｛《2｝的前〃项和S”；

（2）注意事项：

①在写出5〃和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S”-〃S“；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；

③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.

19.如图，是半圆E的直径，C是半圆石上异于的一点，点。在线段AC上，满足且

PAA.PC,N84C=NPAC=30°，A4=4,PB=4i.

p

（l）证明：BCA.PA,

（2）求二面角。一尸E—8的余茂值.

答案：（1）证明见解析；（2）一亘2.

259

思路：（1）由圆的性质和勾股定理可证得AC_L6C,PCA.BC,由此可得6C_L平面尸AC,由线面垂直

的性质可证得结论；

（2）以。为原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

解：（1）•・•AB是半圆E的直径，C是半圆E上异于的一点，AC_L8C.

•・・/BAC=30。，4?=4，「.6C=2，AC=』AB?・BC?=2八

vPAYPC,CAC-30。，「

*/P3=疗，PC2+BC2=PB2，二PCIBC.

vPCnAC=C,0C,ACu平面PAC,.•.8CJ_平面PAC,

又叫u平面PAC，

（2）以。为原点，C4,C8所在直线分别为x轴、V轴，过点C且垂直于平面ABC的宜线为z轴，建立

空间直角坐标系C-入yz如图所示,

p

则C(0,0,0),A(26,(),()),*0,2,0),E(V3,l,0),oj半,0,()],

I\o/\乙乙

/.PE=-J,--,DE=—,1,0,而二(G,T0),

\/\/

拒工3c

in-PE=~x\+y1~-z\=°

设平面POE法向量为正=(x，y,zj,贝।卜

m•DE=—r4-v=0

3

令y=I，得：Xj=-A/3,Z[=-；，tn

H-PE=^X2+v2-|z2=0

设平面尸8石的法向量为〃=（X2，）’2，Z2），得“

n-BE=—y>=0

令々=1,得：%=百，22=\^3，A?=(1,73,5/3j;

-6+声一*_>/777

mn

V7259

结合图可知，二面角O—PE—A为钝二面角，，二面角。一PE—A的余弦值为一工亘

259

点评：方法点睛：空间向屈法求解二面角的基本步骤是：

（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；

（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；

（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.

r223

20.已知双曲线CJ-2v=1（。>0力>0）的离心率为一，过双曲线C的右焦点尸作渐近线的垂线，垂足为

a2b22

N,且口/077（。为坐标原点）的面积为JL

（1）求双曲线。的标准方程；

（2）若尸，Q是双曲线。上的两点，且P,。关于原点对称，M是双曲线上异于尸，。的点.若直线用产

和直线MQ的斜率均存在，则右炉火畋是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.

V2V25

答案：（1）---L=i；（2）定值，定值为一.

454

思路：（1）先求得点尸（。,0）到渐近线的距离，再根据口方区（。为坐标原点）的面积为不，

5二g|N