全品高考备战2027年数学一轮学生用书05增分微课4构造法在解决函数、导数问题中的应用【答案】听课手册

增分微课4构造法在解决函数、导数问题中的应用例1(1)B(2)A[解析](1)构造函数g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以g(x)在R上单调递增,且g(1)=f(1)-1=1.由f(2x)-4x2-1>0可得f(2x)-(2x)2>1,即g(2x)>g(1),所以2x>1,解得x>12.故选B(2)令g(x)=f(x)x则g'(x)=x2f'(x)-2xf(x)x4=xf'(x)-2f(x)x3<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减解得-2027<x<-2026.故选A.变式题A[解析]设g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=-2,∵对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,∴g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由(x+1)f(x+1)>-2可得g(x+1)>g(2),∴x+1<2,解得x<1,故所求解集为(-∞,1).故选A.例2D[解析]构造g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为当x>0时,f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,g(x)单调递增,则f(x)=e-xg(x)的正负符号由g(x)决定.又因为f(2)=0,所以g(2)=0.因为g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当0<x<2时,g(x)<0,所以此时f(x)=e-xg(x)<0;当x>2时,g(x)>0,所以此时f(x)=e-xg(x)>0.又因为f(x)为R上的奇函数,所以当-2<x<0时,-x∈(0,2),则f(x)=-f(-x)>0,当x<-2时,-x∈(2,+∞),则f(x)=-f(-x)<0,且f(-2)=-f(2)=0.若(x-1)f(x)<0,则x-1>0,f(x解得1<x<2或-2<x<0.综上,(x-1)f(x)<0的解集为(-2,0)∪(1,2).故选D.变式题B[解析]令g(x)=f(x)e2x,则g'(x)=f'(x)e2x-2e2x·f(x)(e2x)2=f'(x)-2f(x)e2x,因为例3-π3,π3[解析]因为当0≤x所以由f(x)tanx+f'(x)>0可得f(x)sinx+f'(x)cosx>0,令g(x)=f(x)cosx,-π则当0≤x<π2时,g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x>0,故g(x)在0,π2上单调递增.因为f(x)是定义在-π2,π2上的函数且满足f(-x)=f(x),则g(-x)=f(-x)cos(-x)=f(x)cosx=g(x),则g(x)为-π2,π2上的偶函数.又fπ3=2,所以gπ3=fπ3cosπ变式题BC[解析]令g(x)=f(x)cosx,对于任意的x∈0,π2,g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx>0,所以g(x)=f(x)cosx在0,π2上单调递增,所以gπ6<gπ4,即fπ6cosπ6<fπ4cosπ4,即3fπ6<2fπ4,故A错误;由gπ4<gπ3,得fπ4cosπ4<fπ3cosπ3,即2fπ4<fπ3,故B正确;由g得f(0)cos0<fπ3cosπ3,即2f(0)<fπ3,故D错误例4(1)A(2)D[解析](1)构造函数f(x)=xex,则f'(x)=1-xex,当x=1时,f'(1)=0,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f因为a=1e=f(1),b=ln33=ln3eln3=f(ln3),c=e-2+ln2=2e2=f(2),且1<ln3<2,所以f(1)>f(ln3)>(2)由lnx5=x-5可得lnx-x=ln5-5,同理lny-y=ln4-4,lnz-z=ln3-3.令f(t)=lnt-t(t>0),则有f(x)=f(5),f(y)=f(4),f(z)=f(3),因为f'(t)=1t-1=1-tt,所以当0<t<1时,f'(t)>0,当t>1时,f'(t)<0,所以f(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(t)max=f(1)=-1,且当t→0+时,f(t)→-∞,当t→+∞时,f(t)→-∞.由单调性知,f(x)=f(5)<f(4)=f(y)<f(3)=f(z),且0<x<5,0<y<4,0<z<3,所以x,y,z∈(0,1),即f(x)<f(y)<f(z),再由单调性知,x<变式题(1)D(2)A[解析](1)将α+β-π2>sinβ-cosα,整理得β-sinβ>π2-α-sinπ2-α,令f(x)=x-sinx,x∈0,π2,因为f'(x)=1-cosx>0,所以f(x)在0,π2上单调递增,所以β>π2-α,又α,β均为锐角,所以cosβ<cosπ2-(2)因为cb=4tan14,当x∈0,π2时,sinx<x<tanx,所以tan14>14设f(x)=cosx+12x2-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f14>f(0)=0,即cos14-3132>0,所以b>a.所以c>b例5(1)C(2)A[解析](1)由xex-x-lnx-a≥0,得elnx+x-(lnx+x)-a≥0,令t=lnx+x,则et-t-a≥0恒成立,则a≤et-t恒成立.令φ(t)=et-t,则φ'(t)=et-1,当t∈(-∞,0)时,φ'(t)<0,当t∈(0,+∞)时,φ'(t)>0,所以φ(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以φ(t)min=φ(0)=1,所以a≤1,故实数a的取值范围为(-∞,1].故选C.(2)由f(x1)=g(x2),可得x1+ex1=x2+lnx2,所以x1+ex1=elnx2+lnx2,又因为f'(x)=1+ex>0,所以f(x)在R上单调递增,因为f(x1)=f(lnx2),所以x1=lnx2,所以x1ex1-x2=lnx2x2-x2=lnx2-x22x2.令h(x)=lnx-x2x,x>0,则h'(x)=1-2x2-lnx+x2x2=1-x2-lnxx2,x>0,令m(x)=1-x2-lnx,x>0,则m'(x)=-2x-1x,x>0,可得m'(x)<0,所以m变式题(1)e(2)C[解析](1)因为x1>0,x2>0,所以ex2>1,由题意可得1x1-lnx1=e-x2-x2,整理可得1x1-lnx1=1ex2-lnex2,即f(x1)=f(ex2).因为y=1x,y=-lnx在(0,+∞)上均单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,可得x1=ex2,则x1x2=ex2x2.构造函数h(x)=exx,x>0,则h'(x(2)∵f(x)=aex+lnax+2-2>0,∴ex+lna+lna>ln(x+2)+2,且两边加上x得ex+lna+(x+lna)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln(x+2).设g(x)=x+ex,则g'(x)=1+ex>0,∴g(x)单调递增,∴x+lna>ln(x+2),即lna>ln(x+2)-x.令k(x)