2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-微专题(一) 函数性质的综合应用

第三章函数与基本初等函数微专题(一)

函数性质的综合应用重点解读函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等是高考的必考内容，常与函数的图象、不等式等内容相结合进行考查．解决此类问题的关键是充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．(1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解．类型二奇偶性与周期性结合已知y＝f(x)为R上的奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2025)＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2解析：∵f(x)为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故选C.(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期．(2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化．3.(2025·贵州六盘水模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(31)＝(

)A．e＋1 B．e－1C．1－e D．－e解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－f(x－4＋3)＝－f(1－(x－4))＝－f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)的周期为8，因为当x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(0)＝m－1＝0，所以m＝1，所以f(31)＝f(－1)＝－f(1)＝1－e.故选C.类型三函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合已知定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(

)A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12)解析：∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A.综合应用函数性质的解题技巧(1)根据奇偶性、对称性推得周期性．(2)利用周期性转化自变量所在的区间．(3)利用单调性解决相关问题．一是利用函数的类周期性，找到各段值域之间的关系，如涉及精细分析，则需要将函数各段的解析式求出来；二是对函数各段分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题．类型五利用函数的性质解决抽象函数问题(多选)(2025·河南师大附中模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(xy＋1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋x，则(

)A．f(0)＝0 B．f(1)＝0C．f(x＋1)为奇函数 D．f(x)单调递增解析：解法一：令x＝0，y＝1，则f(1)＝f(1)[f(0)＋1]，则f(1)＝0或f(0)＝0.若f(0)＝0，则f(1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋x＝x，由x的任意性可得f(1)＝x不恒成立，故f(0)＝0不成立，故f(1)＝0，故A错误，B正确；令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(1)＋f(1)＋x＝x，故f(x＋1)为奇函数，且f(x)＝x－1，它为R上的增函数，故C，D正确．故选BCD.解法二：由条件f(xy＋1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋x，得f(xy＋1)＝f(y)f(x)＋f(x)＋y⇒f(y)＋x＝f(x)＋y⇒f(y)－y＝f(x)－x，由x，y的任意性，得f(x)＝x＋c，c为常数，故代回去f(xy＋1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋x，得xy＋1＋c＝(x＋c)(y＋c)＋y＋c＋x⇔(c＋1)(x＋y＋c－1)＝0，所以由x，y的任意性只能c＝－1，即f(x)＝x－1，为增函数，所以f(0)＝－1，f(1)＝0，f(x＋1)＝x为奇函数，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，只给出了一些体现函数特征的式子．赋值法是解决此类问题的常用思路．6.(2025·重庆南开中学高三期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)＝f(2－x)，f(x)＝f(x＋4)，则下列结论一定正确的是(

)A．f(1)＝0 B．f(1－x)＋f(1＋x)＝0C．f(3＋2x)＝f(3－2x)

D．f(x)的图象关于直线x＝2k(k∈Z)对称解析：根据f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1－x)－f(1＋x)＝0，故B错误；由f(x)＝f(x＋4)可得f(x)为周期函数，且周期为4.对于A，无法确定f(1)的值，故A错误；对于C，f(3＋2x)＝f(2－(3＋2x))＝f(－1－2x)＝f(－1－2x＋4)＝f(3－2x)，故C正确；对于D，由于f(x)的图象关于直线x＝1和直线x＝3对称且f(x)的周期为4，故f(x)的图象关于直线x＝2k＋1(k∈Z)对称，故D错误．故选C.7．(多选)(2025·新疆喀什地区模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)＝0，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则下列说法正确的是(

)A．f(－1)＝－4 B．f(x)有最大值C．f(2026)＝4048 D．函数f(x)＋2是奇函数解析：对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝－2，令x＝1，y＝－1，则f(1－1)＝f(－1)＋f(1)＋2，解得f(－1)＝－4，所以A正确；对于B，令x＝x1，y＝x2－x1，且x1<x2，则f(x1＋x2－x1)＝f(x1)＋f(x2－x1)＋2，可得f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＋2，若x>0，f(x)>－2，则f(x2)－f(x1)>0，此时函数f(x)为增函数；若x>0，f(x)<－2，则f(x2)－f(x1)<0，此时函数f(x)为减函数，所以函数f(x)不一定有最大值，所以B错误；对于C，令y＝1，可得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋2＝f(x)＋2，即f(x＋1)－f(x)＝2，所以f(2026)＝[f(2026)－f(2025)]＋[f(2025)－f(2024)]＋…＋[f(3)－f(2)]＋