第3章 计算机控制系统的数学描述

12026/6/1第3章计算机控制系统的数学描述3.1差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述附：

应用实例时域复域频域22026/6/1第3章计算机控制系统的数学描述3.1差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述附：

应用实例差分定义连续信号一阶向前差分二阶向前差分n阶向前差分32026/6/1采样信号第k个采样时刻的幅值简写为一阶向后差分二阶向后差分n阶向后差分差分方程差分方程是反映离散时间信号之间关系的方程2026/6/1二阶离散系统差分方程52026/6/1离散系统差分方程一般表示向前差分向后差分62026/6/1线性常系数差分方程迭代求解差分方程的解分为通解与特解通解是与方程初始状态有关的解，描述系统在初始状态下的自由运动特解与外部输入有关，描述系统在外部输入作用下的强迫运动例：

已知差分方程，试求解：采用递推迭代法，有：72026/6/1采用MATLAB程序求解解序列为：k=0，1，…，9时，n=10;%定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%绘输出响应图，每一点上用o表示MATLAB程序：c=0，1.0000，1.5000，1.7500，1.8750，

差分方程解序列图示1.9375，1.9688，1.9844，1.9922，1.996182026/6/1迭代求解方法优缺点92026/6/1优点：算式简单，编程计算方便缺点：难于写出输出信号的通式，手算费事解决途径：z变换102026/6/1第3章计算机控制系统的数学描述3.1差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述附：

应用实例连续信号经周期为T的理想采样开关后，采样信号为：z变换定义进行拉氏变换：令，上式变为：112026/6/1采样信号的z变换s的超越函数z的幂级数时域采样信号的不同表示s域z域122026/6/1拉氏变换复域变换z变换z-1：信号滞后一个采样周期采样信号z变换的不同写法：控制工程中，多数信号z变换表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭合形式z的有理分式z-1的有理分式零极点形式132026/6/1z变换的闭合形式z变换求取方法三种常用方法：级数求和法、部分分式展开法、留数计算法级数求和法：根据z变换定义计算级数和，写成闭合形式例

求指数函数的z变换142026/6/1当时部分分式展开法拉氏反变换z变换采样

152026/6/1z变换求取方法部分分式展开A(s)=0没有重根162026/6/1部分分式展开过程A(s)=0有重根，s1为r阶重根，其它为单根例

试求的z变换。解：172026/6/1z变换求取方法例已知，求相应采样函数的z变换解：182026/6/1192026/6/1利用MATLAB工具箱进行部分分式展开F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)；

%传递函数F(s)进行符号定义[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分子转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分母转化为一般多项式[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开MATLAB程序：运行结果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=[]（表示整数部分，此题无K值）分解结果：202026/6/1注意对应关系z变换基本定理线性定理场景：求取形式复杂采样函数的Z变换时方法：将复杂采样函数分解成若干简单采样函数的和，分别求取简单采样函数的z变换后再求和好处：降低问题求解的难度212026/6/1z变换基本定理右位移（延迟）定理实域位移定理（时移定理）222026/6/1左位移（超前）定理初值定理存在的全部极点均在z平面的单位圆内，或最多有一个极点在z=1处z变换基本定理232026/6/1终值定理复域位移定理验证采样信号z变换是否正确求稳态误差，了解稳态特性z变换基本定理应用242026/6/1例已知，求f(t)的初值和终值的极点为z=1和z=e-T<1，满足终值定理条件存在例

已知f(t)=sin

t的z变换为的z变换解：利用复域位移定理试求252026/6/1z变换基本定理应用262026/6/1上次课程回顾1采用零阶保持器进行信号恢复的思想是什么？零阶保持器的时域、复域和频域表达式是什么？幅频和相频具有什么特点？2后置滤波器的作用是什么？3常用的量化方法有哪些？产生的量化误差在什么范围内？计算机控制系统的时域描述采用什么工具？采用迭代法求解差分方程的优缺点是什么？5为什么要研究理想采样信号的z变换？6有哪些求采样信号z变换的方法？这些方法的思想是什么？7z变换的基本定理有哪些？应用在什么场合？z变换方法查表法实际应用时会遇到各种复杂函数，不可能采用上述方法推导计算前人已通过各种方法针对常用函数进行了计算，求出了相应的F(z)并列出表格，工程人员应用时，根据已知函数直接查表即可

部分分式展开查表

求和

部分分式展开查表

求和272026/6/1z反变换求与z变换对应采样信号的过程，称为z反变换z反变换唯一，对应的是采样信号或采样序列值z变换只反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为282026/6/1z反变换求取方法292026/6/1三种常用方法：幂级数展开法、部分分式展开法、留数计算法幂级数展开法（长除法）：

如果z变换式用幂级数表示，z-1前的加权系数即为采样时刻的值例

已知，求z反变换求取方法302026/6/1优点：计算不难，编程实现不复杂，工程上只需计算有限项即可缺点：难以得到采样信号的通式

部分分式展开法312026/6/1z反变换求取方法

部分分式展开查表

求和部分分式展开法例子求z反变换322026/6/1采用MATLAB程序求解MATLAB程序：Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%进行符号定义F=Fz/′z′；[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分子转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分母转化为一般多项式[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开332026/6/1求z反变换差分方程z变换求解例

用z变换法求差分方程利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程求解转换为代数方程求解342026/6/1，初始状态为c(0)=0,c(1)=1优点：将差分方程简化为代数方程求解，能自动考虑初始条件，写出输出信号的通式352026/6/1信号（输入信号、输出信号）362026/6/1第3章计算机控制系统的数学描述3.1差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述附：

应用实例脉冲传递函数定义在初始条件为零时，已知系统的脉冲传递函数，系统输出量的z变换为:脉冲传递函数图示称为离散系统脉冲传递函数，又称z传递函数

372026/6/1输出量z变换输入量z变换传递函数与脉冲传递函数传递函数单位脉冲响应的拉氏变换382026/6/1系统类型连续控制系统离散控制系统脉冲传递函数传递特性定义离散时间单位脉冲响应的z变换对采样，求得离散时间单位脉冲响应脉冲传递函数求取脉冲传递函数，可看作离散时间单位脉冲响应的z变换对G(s)拉氏反变换，求得单位脉冲响应

对离散系统脉冲响应z变换，得脉冲传递函数392026/6/1已知连续传递函数G(s)，当输出端加入虚拟开关变为离散系统时，脉冲传递函数求取方法为：脉冲传递函数本质脉冲传递函数表示方法脉冲传递函数本质：完全表征系统或环节的输入与输出之间的特性由系统或环节结构和参数决定，与输入信号无关402026/6/1脉冲传递函数特性脉冲传递函数的极点当G(z)是G(s)通过z变换得到时，极点是G(s)的极点按z=esT映射得到G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期密切相关当采样周期足够小时，G(s)的极点密集地映射在z=1附近412026/6/1脉冲传递函数的零点G(z)的零点是采样周期的复杂函数，采样过程会增加额外零点若G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，G(z)出现不稳定零点，变成非最小相位系统有不稳定零点的G(s)，只要采样周期合适，离散后也可得到没有不稳定零点的G(z)差分方程与脉冲传递函数计算机控制系统422026/6/1差分方程脉冲传递函数时域复域差分方程与脉冲传递函数由差分方程求脉冲传递函数已知差分方程，初始条件为零。z变换脉冲传递函数系统的特征多项式

432026/6/1差分方程与脉冲传递函数由脉冲传递函数求差分方程z反变换442026/6/1差分方程452026/6/1第3章计算机控制系统的数学描述3.1差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述附：

应用实例462026/6/1一个环节采样系统中连续部分的结构形式472026/6/1连续输入连续输出连续输入离散输出离散输入离散输出离散输入连续输出采样系统中连续部分的结构形式482026/6/1连续输入、连续输出采样系统中连续部分的结构形式492026/6/1连续输入、离散输出采样系统中连续部分的结构形式502026/6/1离散输入、离散输出采样系统中连续部分的结构形式512026/6/1离散输入、连续输出采样系统中连续部分的结构形式522026/6/1所有结构均可写出输出表达式，但不一定能写出脉冲传递函数当输入及输出信号均有采样开关，或者说，均为离散信号时，才能写出脉冲传递函数532026/6/1两个环节串联环节的脉冲传递函数542026/6/1串联环节之间有采样开关串联环节之间无采样开关串联环节的脉冲传递函数552026/6/1串联环节之间有采样开关串联环节的脉冲传递函数562026/6/1串联环节之间无采样开关n个串联环节之间均有采样开关572026/6/1串联环节的脉冲传递函数n个串联环节之间均无采样开关582026/6/1串联环节的脉冲传递函数极点相同，仅零点不同592026/6/1两个环节，其中一个为零阶保持器602026/6/1串联零阶保持器的脉冲传递函数z变换延迟定理并联环节的脉冲传递函数根据叠加定理：612026/6/1采样开关设在总的输入输出端，相当于在每个环节的输入输出端分别设置一个采样开关622026/6/1闭环系统闭环系统脉冲传递函数632026/6/1在计算机控制系统中，两个相邻采样开关之间的环节，称为一个独立环节如果误差信号被采样，输入、输出信号均有采样信号如果输入信号未被采样，写不出闭环系统的脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数642026/6/1闭环系统脉冲传递函数652026/6/1分子：前向通道所有独立环节z变换的乘积分母：1+闭环回路所有独立环节z变换的乘积闭环系统脉冲传递函数662026/6/1闭环系统脉冲传递函数672026/6/1分子：前向通道所有独立环节z变换的乘积分母：1+闭环回路所有独立环节z变换的乘积闭环系统脉冲传递函数682026/6/1前向通道所有独立环节z变换的乘积1+闭环回路所有独立环节z变换的乘积输入R(s)作为一个连续环节看待若R(z)存在，可写出闭环系统的脉冲传递函数；否则，写不出来常见采样系统结构输出表达式692026/6/1702026/6/1常见采样系统结构输出表达式712026/6/1常见采样系统结构输出表达式例

求计算机控制系统闭环脉冲传递函数，T=1s

解：722026/6/1闭环系统脉冲传递函数例子T=1s732026/6/1闭环系统脉冲传递函数例子利用Matlab求含有保持器环节脉冲传递函数c=[00.6321]d=[1.0000-0.3679]MATLAB命令：num=[1];den=[1,1];[c,d]=c2dm(num,den,1,'zoh')742026/6/1存在干扰作用时闭环系统输出根据叠加定理，分别计算指令信号和干扰信号作用下的系统输出R(s)单独作用时的系统输出（N(s)=0）干扰单独作用时的系统输出（R(s)=0）共同作用时的系统输出752026/6/1存在干扰作用时闭环系统输出R(s)单独作用时的系统输出（N(s)=0）干扰单独作用时的系统输出（R(s)=0）762026/6/1R(s)和N(s)作用点不同，输出响应也不同它们的分母相同，原因：作用于同一回路，闭环系统的特征多项式不变772026/6/1第3章计算机控制系统的数学描述3.1差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述附：

应用实例连续系统频率特性定义在连续系统中，一个系统或环节的频率特性是指：在正弦信号作用下，系统或环节稳态输出与输入的复数比随输入正弦信号频率变化的特性描述输出相对输入的幅值和相位与输入信号频率之间的关系782026/6/1连续系统频率特性G(jω)随ω变化，相当于考察G(s)随s沿虚轴jω变化的特性离散系统频率特性定义在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在离散正弦信号作用下，系统或环节稳态输出与输入的复数比随离散输入正弦信号频率变化的特性792026/6/1离散系统频率特性G(ejωT)，相当于考察G(z)随z沿单位圆变化的特性离散系统频率特性表示802026/6/1指数形式幅频相频实频虚频代数形式离散系统频率特性计算数值计算法：按G(ejωT)表达式，逐点计算它的幅相频率特性或实频、虚频特性连续环节：离散环节：例

已知绘制它们的频率特性曲线812026/6/1离散系统频率特性Matlab实现Gs=sym(′1/(s+1)′)；%传递函数F(s)T=0.5；[numGs,denGs]=numden(Gs)；%提取分子分母%将分子分母转化为一般多项式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z变换[pnumGz,pdenGz]=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,′zoh′)；w=0:0.1:19；[mag,pha]=bode(pnumGs,pdenGs,w)；[dmag,dpha]=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；fori=1:1:190ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,′blue′);holdon;plot(w,dmag,′red′);gridon;axis([0,19,0,1.2]);figure(2);plot(w,pha,′blue′);holdon;plot(w,dpha,′red′);gridon;axis([0,19,-200,200])822026/6/1832026/6/1离散系统频率特性离散环节频率特性与连续环节差别很大连续环节：ω从0→∞时，幅频趋于0，相频趋于-90°离散环节：低频段与连续环节相似

当ω从0→∞时，幅频及相频周期性重复，周期为ωs

离散系统频率特性计算几何作图法842026/6/1脉冲传递函数零极点表示：频率特性零点极点离散系统频率特性计算852026/6/1零点到ejωT的距离极点到ejωT的距离由零极点指向ejωT的向量的相角确定由零极点指向ejωT的向量幅值确定ejωT绕单位圆一周12离散系统频率特性计算862026/6/1几何作图法：当ejωT绕单位圆移动时，根据r1

,l1,l2的变化，估算幅频特性；根据ψ，ϕ1,ϕ2的变化，估算相频特性优点：容易看出零极点对系统频率特性的影响，能说明离散系统频率特性的特点缺点：很难精确绘制频率特性曲线12离散系统频率特性的特点872026/6/1周期性：

G(ejωT)是ω的周期函数，周期为ωs连续系统的频率特性不具有周期性12离散系统频率特性的特点882026/6/1偶函数：

|G(ejωT)|是ω的偶函数当ω=-ω时，r1

,l1,l2不变12离散系统频率特性的特点892026/6/1奇函数：

∠G(ejωT)是ω的奇函数当ω=-ω时，ψ’=-ψ，ϕ1’=-ϕ2,ϕ2’=-ϕ112离散系统频率特性的特点离散环节频率特性不是

的有理分式函数，不能像连续环节那样，使用渐近对数频率特性当采样周期较大和频率较高时，离散环节频率特性与连续环节差别较大：高频会出现多个峰值可能出现正相位在较小的采样周期或低频段，离散环节频率特性与连续环节接近902026/6/1