2026年幂函数课后测试题及答案

2026年幂函数课后测试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.幂函数$y=x^{\alpha}$的图象过点$(2,\sqrt{2})$，则$\alpha$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$-\sqrt{2}$2.幂函数$y=x^3$的图象是（）A.直线B.抛物线C.双曲线D.不过原点的曲线3.下列函数中，是幂函数的是（）A.$y=2x$B.$y=x^2+1$C.$y=x^{\frac{1}{2}}$D.$y=3^x$4.幂函数$y=x^{-1}$在区间$[1,2]$上的最小值是（）A.$1$B.$\frac{1}{2}$C.$2$D.$-1$5.已知幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象过点$(4,2)$，则$f(9)$的值为（）A.$3$B.$-3$C.$\frac{1}{3}$D.$-\frac{1}{3}$6.幂函数$y=x^{\frac{3}{2}}$的定义域是（）A.$R$B.$[0,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$7.幂函数$y=x^n$的图象在第一象限内，当$n>0$时，图象（）A.上升B.下降C.与坐标轴相交D.是一条直线8.若幂函数$f(x)$的图象过点$(3,\frac{1}{9})$，则$f(x)$的解析式是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=x^{-2}$C.$f(x)=x^3$D.$f(x)=x^{-3}$9.幂函数$y=x^{\frac{2}{3}}$的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数10.幂函数$y=x^{\alpha}$，当$\alpha<0$时，在区间$(0,+\infty)$上是（）A.增函数B.减函数C.常函数D.有时增有时减二、填空题(总共10题，每题2分)1.幂函数$y=x^{\frac{5}{3}}$的图象关于____对称。2.已知幂函数$y=x^{\alpha}$的图象过点$(3,81)$，则$\alpha=$____。3.幂函数$y=x^{-2}$的值域是____。4.幂函数$y=x^{\frac{1}{3}}$的图象与$y=x^3$的图象的交点坐标是____。5.幂函数$y=x^n$，当$n=-3$时，其图象在第____象限。6.若幂函数$f(x)=x^{\alpha}$满足$f(2)=4$，则不等式$f(x-3)>f(1-x)$的解集为____。7.幂函数$y=x^{\frac{4}{5}}$的单调递增区间是____。8.幂函数$y=x^{\alpha}$，若$\alpha$是正偶数，则函数是____函数（填奇偶性）。9.已知幂函数$y=x^{\alpha}$的图象过点$(16,4)$，则$\alpha=$____。10.幂函数$y=x^{\frac{3}{4}}$的图象与坐标轴____（填“有”或“无”）交点。三、判断题(总共10题，每题2分)1.幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$与$y=x^2$都是幂函数，它们的图象形状相同。（）2.幂函数$y=x^{-1}$在定义域内是减函数。（）3.幂函数$y=x^{\alpha}$，当$\alpha=0$时，函数图象是一条直线。（）4.幂函数$y=x^{\frac{3}{2}}$的图象与$y=x^{\frac{2}{3}}$的图象关于直线$y=x$对称。（）5.幂函数$y=x^{\alpha}$，若$\alpha>0$，则函数在第一象限内单调递增。（）6.幂函数$y=x^{\frac{1}{3}}$是奇函数。（）7.幂函数$y=x^{\alpha}$，当$\alpha<0$时，函数图象过点$(0,0)$。（）8.幂函数$y=x^{\frac{2}{3}}$的值域是$[0,+\infty)$。（）9.幂函数$y=x^{\alpha}$，若$\alpha$是奇数，则函数是奇函数。（）10.幂函数$y=x^{\frac{3}{4}}$的定义域是$R$。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述幂函数的定义。2.幂函数$y=x^{\alpha}$的图象有哪些特点？3.如何判断幂函数的单调性和奇偶性？4.已知幂函数$y=x^{\alpha}$的图象过点$(4,2)$，求该幂函数的解析式，并指出其定义域、值域、单调性。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.幂函数$y=x^{\alpha}$，当$\alpha$在不同取值范围时，函数图象有何不同？讨论$\alpha>1$，$0<\alpha<1$，$\alpha<0$三种情况。2.比较幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$与$y=x^{\frac{1}{3}}$在区间$(0,+\infty)$上的大小关系。3.讨论幂函数$y=x^{\alpha}$与指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）的区别与联系。4.已知幂函数$y=x^{\alpha}$，若其图象在第一象限内上升，且过点$(2,8)$，讨论满足条件的$\alpha$的取值范围以及函数的性质。答案1.单项选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.B7.A8.B9.B10.B2.填空题1.原点2.43.$(0,+\infty)$4.$(0,0)$，$(1,1)$5.一、三6.$(2,+\infty)$7.$[0,+\infty)$8.偶9.$\frac{1}{2}$10.无3.判断题1.×2.×3.×4.×5.√6.√×8.√9.√10.×4.简答题1.一般地，形如$y=x^{\alpha}$（$\alpha$为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。2.幂函数$y=x^{\alpha}$的图象特点：当$\alpha>0$时，图象过点$(0,0)$和$(1,1)$，在第一象限内单调递增；当$\alpha<0$时，图象过点$(1,1)$，在第一象限内单调递减，且以两坐标轴为渐近线。3.判断单调性：当$\alpha>0$时，幂函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当$\alpha<0$时，幂函数在$(0,+\infty)$上单调递减。判断奇偶性：若$\alpha$为偶数，则幂函数为偶函数；若$\alpha$为奇数，则幂函数为奇函数；若$\alpha$为非整数，则幂函数为非奇非偶函数。4.因为幂函数$y=x^{\alpha}$的图象过点$(4,2)$，所以$4^{\alpha}=2$，即$2^{2\alpha}=2^1$，可得$\alpha=\frac{1}{2}$。解析式为$y=x^{\frac{1}{2}}$。定义域是$[0,+\infty)$，值域是$[0,+\infty)$，在定义域$[0,+\infty)$上单调递增。5.讨论题1.当$\alpha>1$时，幂函数图象在第一象限内上升且较陡；当$0<\alpha<1$时，幂函数图象在第一象限内上升且较缓；当$\alpha<0$时，幂函数图象在第一象限内下降，以两坐标轴为渐近线。2.当$0<x<1$时，$x^{\frac{1}{2}}<x^{\frac{1}{3}}$；当$x=1$时，$x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{3}}$；当$x>1$时，$x^{\frac{1}{2}}>x^{\frac{1}{3}}$。3.区别：幂函数是底数为自变量，指数为常数；指数函数是底数为常