2020-2021学年天津市南开区天津市高一上期末数学试卷

2020-2021学年天津市南开区天津市高一上期末数学试卷（2021·天津南开区·期末）将210∘化为弧度制的结果是   A．4π3 B．7π6 C．−5（2021·天津南开区·期末）已知cosA=32，则sin A．−12 B．12 C．−32（2021·天津南开区·期末）已知tanπ4+α=2，则 A．−13 B．1 C．13 （2021·天津南开区·期末）已知tanα=3，则sinα−2cos A．−13 B．17 C．−53（2021·天津南开区·期末）函数y=log3x的图象与函数y= A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称（2021·天津南开区·期末）已知a=log24.1，b=20.8，c=0.5−2.7，则a A．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．a<b<c（2021·天津南开区·期末）已知函数fx=2x+2x−5的零点属于区间m−1,m，其中m∈ A．16 B．34 C．53 （2021·天津南开区·期末）已知函数fx=log5x2+ax+a+7 A．−4,−2 B．−4,−2 C．−∞,−2 D．−∞,−2（2021·天津南开区·期末）放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A的半衰期为7.5小时，则物质B的半衰期为   A．10小时 B．8小时 C．12小时 D．15小时（2021·天津南开区·期末）若关于x的方程m+2x−2=mx2−x A．0,1∪1,4 B． C．−∞,−2∪0,1 D．（2021·天津南开区·期末）已知角α的终边过点P−5,12，则cosα=（2021·天津南开区·期末）lg58+（2021·天津南开区·期末）已知函数y=sinωx+φω>0,0≤φ<2π的部分图象如图所示，则ω=，（2021·天津南开区·期末）已知cosπ4+α=3（2021·天津南开区·期末）已知函数fx=x2−ax+2在区间1,3（2021·天津南开区·期末）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期为π，将fx的图象向左平移π6个单位长度后对应的函数是奇函数，函数gx=1+3（2021·天津南开区·期末）已知tanα+β=12，cosβ=(1)求cos2(2)求sin2α+β（2021·天津南开区·期末）已知函数fx=3(1)求fx(2)求fx(3)求fx在0,π2（2021·天津南开区·期末）设函数fx的定义域为I，区间D⊆I．如果存在常数M>0，对任意x∈D，都有fx≤M成立，则称fx是D上的有界函数，其中M称为fx(1)当a=−1时，求函数fx的值域，并判断函数fx在(2)若函数fx是−∞,0上的以3为边界的有界函数，求实数a(3)若m>0，求函数gx在0,1上的边界M

答案1.【答案】B【解析】因为180∘是π360∘是2所以210∘是7【知识点】弧度制2.【答案】D【解析】sin5【知识点】诱导公式3.【答案】C【解析】因为tanπ所以tanπ所以1+tan所以1+tan所以tanα=【知识点】两角和与差的正切4.【答案】B【解析】sinα−2故选B．【知识点】同角三角函数的基本关系5.【答案】D【解析】y=3x关于x轴对称为y=3x关于y轴对称为y=3x关于原点对称为y=3x关于直线y=x对称为【知识点】函数的对称性6.【答案】A【解析】因为y=lg2x所以lg2所以3>a>2，因为y=2x在所以20所以1<b<2，c=0.5所以c>a>b．【知识点】指数函数及其性质7.【答案】C【解析】因为y=2x在y=2x在R上单增，所以fx=2f1f2所以f1所以零点x0所以m=2，41【知识点】零点的存在性定理8.【答案】A【解析】因为fx=log又因为y=log5x所以y=x1≤−aa≤−2，又因为x2+ax+a+7>0对又因为y=x所以12所以a≥−4，综上−4≤a≤−2，故A．【知识点】函数的单调性9.【答案】B【解析】由题意，物质A经过316个半衰期，没开始记录时容器中物质A的质量是2m，物质B的质量为m，则2m×1所以物质B经过了15个半衰期，则物质B的半衰期为12015【知识点】函数模型的综合应用10.【答案】A【解析】（1）当−1≤x≤1，此时x2m+2x−2=mm+1xm+1x−1x=1是方程的一个根，（2）当x>1或x<−1，此时x2m+2x−2=m所以m−1xm−1x−3因为x≠1，所以m−1x=3若m+1=0或m−1=0，原方程至多2个根，与3个根矛盾，所以x1=1，x2所以−1≤1①若m>1，−m−1≤1<m+1,3>m−1所以m>0,m<4所以1<m<4，②若m<−1，−m−1≥1>m+1,3<m−1所以m<−2,m>4所以m无解，③若−1<m<1，−m−1<1<m+1,3<m−1所以m>0,m>4所以0<m<1，综上m∈0,1【知识点】函数的零点分布11.【答案】−5【解析】角α的终边上的P−5,12到原点的距离为r=故cosα=【知识点】任意角的三角函数定义12.【答案】92【解析】lg5【知识点】对数的概念与运算13.【答案】2；π6【解析】3434T=π2π所以ω=2．因为x=π所以2×πφ=π因为0≤φ<2πφ=π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14.【答案】725【解析】因为cosπ所以cosπ所以22所以cosα−所以1−2sin所以1−sin所以sin2α=【知识点】二倍角公式15.【答案】[22【解析】因为fx=x所以∃x∈1,3使得x2x2因为x∈1,3所以a=x+2因为x∈1,3，x+所以a∈2【知识点】零点的存在性定理16.【答案】24【解析】因为T=π所以2π所以ω=2，所以fxfx向左平移π6，得因为y=2sin所以π3+φ=kπ又因为φ<所以φ=−π所以fx因为fx+gx=−1所以2sin所以2sin所以sin2x+所以2sin所以sin2x+所以sin2α+π4设sinθ=所以sin2α+π4所以2α+π4=所以2α−2β=2θ−π所以α−β=θ−πcosα−β【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17.【答案】(1)因为β∈0,又因为cosβ=所以sinβ=所以cos2(2)因为sinβ=210所以tanβ=又因为tanα+β所以tanα+所以2tan157tanα=又因为α∈0,所以sinα=1010所以sin2αcos2αsin2α+β【知识点】二倍角公式、两角和与差的正弦18.【答案】(1)fxT=2(2)−π所以−π所以递增区间为−π3+k(3)因为0≤x≤π所以0≤2x≤π所以π6所以−1所以−3当2x+π即x=π6时取得最大值当x=π2时取得最小值【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19.【答案】(1)fx∈34,+∞(2)因为fx是−∞,0上的以3所以fx≤3在所以−3≤1+a⋅2令t=2−3≤1+at+t2≤3所以−t−4因为y=−t在0,1上单减，y=2t在所以y=−t+2t在所以−t+2由对勾函数知y=t+4t在所以t+4所以−t−4所以−5≤a≤1．(3)方法一：y=1−m⋅2x因为m>0，x∈0,1，所以2所以m≤1−y因为1−2m1+2m所以1−2m1+2m①当1−m1+m≥1−2mgx≤1−2m②当1−m1+m<1−2mgx≤1−2m综上所述，当m∈0,22时，M当m∈22,+∞时，M方法二：