2026版高考数学复习专题突破：专题一 集合、常用的逻辑用语及复数专题归纳总结及测试（解析版）

专题一集合、常用的逻辑用语及复数专题归纳总结及测试

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1．（2025·云南·模拟预测）已知全集UAB1,2,3,4,A1,2,3,AB3，则B（）

A．1,2,3B．3,4C．1,2,4D．1,2,3,4

【答案】B

ð

【解析】由UAB1,2,3,4,A1,2,3，得(UA)B{4}，而AB3，

ð

所以B[(UA)B](AB)3,4.

故选：B

2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数zxi12ixR，则“z25”是“x2”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】zxi12ix2(12x)i，z(x2)2(12x)25x21.

z5x2125，x23，x3或x3，

“z25”是“x2”的必要不充分条件.

故选：C.

3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合Mx3x2,Nxax4，若MNx3x4，则

实数a的取值范围为（）

A．3,2B．3,2C．3,2D．2,4

【答案】A

【解析】因为Mx3x2,Nxax4，MNx3x4，

所以3a2.

故选：A.

4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知“p：2k2”是“q：yxk与y1x2表示的曲线有两个不同交

点”的（）条件.

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

22

【解析】∵y1x2，∴xy1y0，

yxk22

联立方程组22得2y2kyk10y0，

xy1y0

即方程2y22kyk210在y0时有两个不同的解，

f00

2

设函数fy2y22kyk21，则Δ2k42k210，

2k

0

22

k210

22

即4k8k10，解得1k2，

k0

∴p是q的必要不充分条件.

故选：A.

2

5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2x20的两个根分别为x1，x2，则x12x2（）

A．1B．5C．7D．10

【答案】D

2

【解析】根据题意可得x11i2，

x1i，即x1i，

当x11i，x21i时，x12x23i，

22，

x12x21310

当x11i，x21i时，x12x23i，

22，

x12x21310

综上，x12x210.

故选：D.

6．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合Ax|1log2x2，Bx|axa1，若AB，则a的取

值范围是：（）．

A．,14,B．,14,C．1,4D．1,4

【答案】C

【解析】】因为Ax|1log2x2x|2x4，

Bx|axa1，AB，

所以a12且a4，解得：a1,4，

故选：C

2xa

7．（2025·广东佛山·二模）已知函数fxaR，命题p：fx是奇函数，命题q：fx在0,上

2x1

是减函数，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

2xa1a2x2xa

【解析】若fx的奇函数，则fxf(x)，即恒成立，

2x112x12x

2x12

所以a1，则fx1，y2x1在0,上单调递增，

2x12x1

所以fx在0,上是减函数，充分性成立；

2xa1a

若fx1在0,上是减函数，y2x1在0,上单调递增，

2x12x1

所以1a0，故a1，此时不一定有a1，必要性不成立；

所以p是q的充分不必要条件.

故选：A

1x2

8．（2025·北京门头沟·一模）“k”是“直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点”的（）

24

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

ykx3

2222

【解析】法一：由题意，联立方程x2可得14kx24kx36k40，

y21

4

1

当14k20时，即k时，方程有一解，即只有一个公共点；

2

当14k20时，80k2160，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.

x21

所以，直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点时，k.

42

1x2

所以“k”是“直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点”的充要条件.

24

法二：因为直线ykx3过定点D3,0，双曲线的右顶点为A2,0，如图，

1

根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线yx平行时，直线与双曲线只有交点.

2

1x2

所以“k”是“直线ykx3与双曲线y21只有一个公共点”的充要条件.

24

故选：C.

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）下列说法正确的是（）

1

3

A．若110.5，则abc

alog6,b,c4

76

B．命题“x0，都有3x3x6”的否定是“x0，使得3x3x6”

4

C．“1”是“x4”的必要不充分条件

x

D．关于x的不等式ax26xc0的解集为{x∣2x1}，则ac6

【答案】ACD

1

0

3

【解析】对于A，1110.50，故A正确；

alog6log610,0b1,c441,abc

766

对于B，“x0，都有3x3x6”的否定是“x0，使得3x3x6”，故B不正确；

444x

对于C，由1，可得10，所以0，所以x4x0，

xxx

4

所以xx40，解得x0或x4,“1”是“x4”的必要不充分条件，故C正确；

x

对于D，由题意知2和1是关于x的方程ax26xc0的两个根，

6

21

a

，解得a6,c12，ac6，故D正确.

c

21

a

故选：ACD.

42ai

10．（2025·河南·模拟预测）已知z，i为虚数单位，aR，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是

1i

（）

A．若z为纯虚数，则a2

B．若z在复平面内所对应的点位于第一象限，则a3,3

C．z的最小值为22

D．zz为定值

【答案】AC

42ai42ai1i

【解析】z2ai1i2aa2i；

1i1i1i

2a0

对于A，z为纯虚数，，解得：a2，A正确；

a20

2a0

对于B，z在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：2a2，

a20

即a2,2，B错误；

22

对于C，z2aa22a2822，C正确；

222

对于D，zz2aa2i2aa2i2aa22a8，不是定值，D错误.

故选：AC.

*

11．（2025·江苏南通·二模）设有限集合Ua1,a2,a3,,am，其中m4，mN，非空集合MU，MCUM，

若存在集合M，使得M，M中的所有元素之和相等，则称集合U是“可拆等和集”，则（）

A．集合U1,2,4,,22025不是“可拆等和集”

B．若集合U1,2,5,k是“可拆等和集”，则k的取值共有6个

C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列an，使得集合U是“可拆等和集”

*

D．若m4k3，kN，数列an是等差数列且公差da1，则集合U是“可拆等和集”

【答案】ABD

【解析】对于A项，1,2,4,,22025构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列，

122025

且1242202422025122025.

12

20252024

所以，当M2时，M1,2,4,,2中所有元素之和也小于22025，不满足要求；

当M含有22025以及22025之外的其余元素时，也不满足要求.

综上，集合U1,2,4,,22025不是“可拆等和集”，故A正确；

对于B项，若M1，则由“可拆等和集”的定义，有25k1，解得k8；

若M2，则由“可拆等和集”的定义，有15k2，解得k2；

若M5，则由“可拆等和集”的定义，有21k5，解得k4；

若M1,2，则由“可拆等和集”的定义，有5k12，解得k4；

若M1,5，则由“可拆等和集”的定义，有2k15，解得k2，

此时因集合U1,2,5,k已含有元素2，故舍去；

若M2,5，则由“可拆等和集”的定义，有1k25，解得k=8

若M1,2,5，则由“可拆等和集”的定义，有k1256.

综上可知：k可取8，2，4，6，4，8共6个值，故B正确；

2m1

对于C项，将U中所有元素同时除以a1后可得U11,q,q,,q，

1qm1qm11

根据等比数列前n项和公式，可得1qq2qm2.

1qq1

m1

1q1

因为q2，所以q11，01，所以有0qm11qm1.

q1q1

m1ð2m2m1

所以，当M1q时，UM11,q,q,,q中所有元素之和也小于q，

1

不满足要求，显然同时乘以a1后仍然不满足；

m1m1

当M1含有q以及q之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以a1后仍然不满足.

综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列an，使得集合U是“可拆等和集”，故C错误；

对于D项，易知集合U中的元素个数为4k3，kN*，

*

根据等差数列的性质可知，a1a4k3a2a4k2a3a4k1a2k1a2k3，kN，

4k31

共有2k1组（剩余元素为a2k2），从中剔除aa之后，剩余2k组.

2k13k3

从这2k组相同的数据中任意选出k组，将对应的元素分到集合M中；

又da1，则ak1a2k2a1kda12k1da1ka1a12k1a13k3a1，

而a3k3a13k2d3k3a1ak1a2k2，

不妨将ak1,a2k2这两个元素也分到集合M中，则可满足M,M中的元素之和相等.故D正确.

故选：ABD.

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

y3

12．（24-25上海·阶段练习）已知集合A{(x,y)|ykx1},B{(x,y)|1}}，若AB，则k的值为.

x2

【答案】1或2

y3

【解析】由题意，集合B中，1可整理成yx5x2，

x2

所以，集合A表示直线ykx1上的点集，集合B表示直线yx5x2上的点集.

因为AB，所以直线ykx1与直线yx5平行或有一个交点2,3，

当两直线平行时，k1；当两直线交点为2,3时，k2.

故答案为：1或2.

13．（2024·北京昌平·二模）已知p：设函数fx在区间0,上的图象是一条连续不断的曲线，若f1f20，

则fx在区间1,2内无零点．能说明p为假命题的一个函数的解析式是．

2

3

【答案】fxx（答案不唯一）

2

2

3

【解析】解析式为fxx.

2

函数的定义域为R，所以函数fx在区间0,上的图象是一条连续不断的曲线，

11

因为f1，f2，所以f1f20，

44

3

又f0，fx在区间1,2内有零点，

2

所以为假命题.

2

3

故答案为：fxx（答案不唯一）.

2

14．（23-24浙江绍兴·阶段练习）已知zC，且|zi|1，i为虚数单位，则z35i的最大值是．

【答案】6

【解析】设zxyi(x,yR)，由zi1x(y1)i1，

则x2(y1)21x2(y1)21，表示的是圆心为(0,1)，半径为1的圆，

而z35i(x3)(y5)i(x3)2(y5)2，表示的是圆上一点到(3,5)的距离，

如图所示，显然最大距离是(3,5)与圆心(0,1)的连线加上半径长，

即最大值为(30)2(51)21516.

故答案为：6

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各

15分，18、19题各17分

**

15．（24-25江苏苏州）已知Ax1log2x3,xN，Bxx63,xN．试问：

(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点?

(2)从AB中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个?

【答案】(1)34

(2)20

**

【解析】（1）由题意可得Axlog22log2xlog28,xN，Bx3x9,xN，

所以A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8，

A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5525个，

B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5525个，

其中重复的有4416，

所以不同的点有25251634个；

（2）因为A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8，

所以AB3,4,5,6,7,8，

要满足从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字逐渐减小，

即从6个元素中选3个元素的组合数，

654

所以C320，所以满足要求的三位数有20个.

6321

16．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数z,z,z2，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象

限，且原点O是ABC的外心.

(1)求|z|.

A

(2)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(bc)2a24bcsin2.

2

（i）证明：ABC是直角三角形；

（ii）求ABC的面积.

【答案】(1)1

3

(2)（i）证明见解析；（ii）

2

【解析】（1）O是ABC的外心，即|OA||OB||OC|，

zzz2.只需考虑zz2，即|z||z|2，

又A在第一象限，|z|0，|z|1.

A

（2）（i）(bc)2a24bcsin2，

2

b2c22bca22bc(1cosA)，a2b2c22bccosA

由余弦定理知a2b2c22bccosA，两式相加可得a2b2c2，

π

A，ABC是直角三角形.

2

（ii）设zmni，m,nR，则z=m-ni，z2m2n22mni，

可知A(m,n)，B(m,n)，Cm2n2,2mn.

π

易知AB与复平面的实轴垂直，又A，

2

1

AC与复平面的虚轴垂直，n2mn，m，

2

3

又|z|m2n21，点A在第一象限，n.

2

131313

A(,)，B(,)，C(,)，|AB|3，|AC|1，

222222

113

ABC的面积为|AB||AC|31.

222

17．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合Ax∣2x64,Bx∣x24mx2m12m10.

(1)若p:xA,q:xB，且p是q的必要不充分条件，求m的取值范围；

2

(2)若函数ylog2ax3ax2的定义域为C，且AC，求a的取值范围.

【答案】(1)1,2

13

(2),

25

【解析】（1）由题意知Ax|2x641,5，

解不等式x24mx2m12m10，解得2m1x2m1，

所以B2m1,2m1，

因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

2m11

所以且等号不同时成立，

2m15

解得1m2，即m的取值范围是1,2；

（2）因为AC，所以ax23x20在x1,5上有解，

23

所以a，

x2x

2

112339139

令t,1，则2，

22t3t2t,

x5xx48258

1313

所以a，即a的取值范围是,.

2525

18．（2025湖南）对于定义在R上的函数yf(x)，如果存在一组常数t1，t2，…，tk（k为正整数，且

0t1t2tk），使得xR，f(xt1)f(xt2)f(xtk)0，则称函数f(x)为“k阶零和函数”．

(1)若函数f1(x)x1，f2(x)sinx，请直接写出f1(x)，f2(x)是否为“2阶零和函数”；

(2)判断“f(x)为2阶零和函数”是“f(x)为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条

件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；

【答案】(1)f1(x)不是，f2(x)是；

(2)充分不必要条件，证明见解析；

【解析】（1）函数f1(x)x1，f1xt1f1xt2xt11xt212x2t1t20对一切实数不恒成立，

所以函数f1(x)x1不是“2阶零和函数”；

取t10,t2π，xR，f2xt1f2xt2sinxsinxπsinxsinx0，

所以f2xsinx是“2阶零和函数”．

（2）“f(x)为2阶零和函数”是“f(x)为周期函数”的充分不必要条件．证明如下：

若f(x)为2阶零和函数，则存在常数t20，使得xR，f(x)f(xt2)0，

即f(xt2)f(x)，因此f(x2t2)f(xt2)f(x)，即函数f(x)为周期函数；

反之函数f(x)为周期函数，

如fxsinx1，对xR，fxπsinxπ1sinx1fx，f(x)为周期函数，

对任意正常数t2，fxfxt2sinx1sinxt21sinxsinxt222，

因此函数f(x)不是2阶零和函数，

所以“f(x)为2阶零和函数”是“f(x)为周期函数”的充分不必要条件．

19．（2025·广东·模拟预测）已知m,nN*,n2.设集合Cx∣x3k2或x3k1,kN*，且km，集合

∣

A{x1,x2,,xn,xiC,i1,2,3,,n.若集合A中的元素x1,x2,,xn,y1,y2,,yn满足

x1y1x2y2xnyn1，则称为的“相邻元”.对于整数H，若集合A存在一个子集B满足：（i）集

合B中的元素个数为H；（ii）B，在集合B中都至少有n1个“相邻元”，则称H是“好数”.

(1)当m2,n3时，直接写出1,4,1的“相邻元”；

(2)当m2,n9时，求证：4947是“好数”；

(3)当n2025时，若整数d1,d2,d3满足0d1d2d32022，且d3d23,d2d13，求证：

20252025d1d12025d1d22025d3d3

(2m)m(2m)m(2m)m(2m)是“好数”.

【答案】(1)2,4,1,1,5,1,1,4,2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解析】（1）1,4,1的“相邻元”为：2,4,1,1,5,1,1,4,2.

（2）因为m2，所以C1,2,4,5.

∣

设Ax1,x2,,x9,xi1,2,4,5，显然A中每一个元素恰有9个“相邻元”.

∣ð

设Uuu1,1,u3,,u9,ui1,2,4,5，构造BAU，

则集合B中的元素个数为4947.

对集合B中的任意元素bb1,b2,,b9，在集合U中至多存在一个u1,1,u3,,u9，

满足b11b21b3u3b9u91，

97

从而bb1,b2,,bn在集合B中至少有8个“相邻元”，所以44是“好数”.

∣*∣*

（3）设C1xx3k2,kN，且km,C2xx3k1,kN，且km.

①当n2025时，

∣

集合Ax1,x2,,xn,xiC,i1,2,3,,2025中的每一个元素均有2025个“相邻元”.