2026版高考数学复习专题突破：4.4 正余弦定理（精讲）（原卷版）

4.4正余弦定理（精讲）

考向一边角互换

【例1-1】（24-25广东东莞）在ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，已知bsinA3acosB，则B（）

πππ5π

A．B．C．D．

3266

sinCsinBab

【例1-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，若，

sinAcb

则C（）

πππ5π

A．B．C．D．

64312

2B

【例1-3】（2025·湖南·三模）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若3bsinC2ccos.则角B的大

2

小为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【例1-4】（2025·浙江·模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，atanBatanA2ctanA，

则B（）

π2ππ5π

A．B．C．D．

3366

【例1-5】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a10bsinA，

45

sin2AsinAsinBsin2Bsin2C，则角A（）

5

ππ3π3ππ

A．B．或C．D．

44443

【一隅三反】

5

1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，cosB，且3ccosAacosC，

5

则sin2A

π

2.（2025高三·全国·专题练习）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C,2bcosAac，则

3

A．

3．（2025·河南·模拟预测）在ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若

a

23sinAsinBsinC3sin2B3sin2Csin2A，则.

b

a2b2c2

4．（2024·四川攀枝花·二模）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3csinBa，则

2a

B．

5．（2025·福建泉州·模拟预测）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosBC23csinBacosA.

则角A=

6．（2025·甘肃定西·模拟预测）记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

3absinCcosBabsinBcosC，则B=

考向二判断三角形的形状

【例2-1】（24-25江苏无锡·期中）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c2bcosA，则ABC的

形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等腰或直角三角形

【例2-2】（24-25湖北·期中）设ABC的面积为S，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinC2sinB，若

ACAB2S，则此三角形的形状为（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【例2-3】（24-25安徽芜湖·期中）在ABC中，若a2b2c2ab，且sinC2sinAcosB，那么ABC一定是

（）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

【一隅三反】

41

1．（2025·内蒙古赤峰·三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bca，cosB，则ABC

36

的形状是（）

A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定的

2．（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B2C，b2a，则

（）

A．ABC为直角三角形B．ABC为锐角三角形

C．ABC为钝角三角形D．ABC的形状无法确定

3．（2024·陕西渭南·三模）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosCccosBb，且accosB，

则ABC是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形

4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2ab2ccosB，

且sinAsinB1，则ABC的形状为（）

A．等边三角形B．顶角为120的等腰三角形

C．顶角为150的等腰三角形D．等腰直角三角形

5．（23-24浙江·期中）（多选）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）

A．若accosB，则ABC是直角三角形

B．若a2b2c20，则ABC是锐角三角形

C．若acosAbcosB，则ABC是等腰三角形

abc

D．若，则ABC是等边三角形

cosAcosBcosC

考向三三角形的外接圆

【例3-1】（2025河南）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a3，且c2b23cosC0，

则该三角形外接圆的半径为（）

A．1B．3C．2D．23

【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

33

cosABcosAB，且ab，则ABC的外接圆的面积为（）

42

π

A．B．πC．2πD．4π

2

【一隅三反】

1．（2024·广东肇庆·一模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，c1，b2，A60，则ABC

的外接圆半径是（）

A．4B．3C．2D．1

2．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2BAC，b2，

则ABC外接圆的半径为（）

32312

A．B．C．D．

3322

3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a23，函数

fx3sin2xcos2x3的最小值为fA，则ABC的外接圆的周长为（）

A．3πB．4πC．8πD．16π

考向四三角形的面积公式

32

【例4-1】（2025·山西·三模）在ABC中，A45，BC10，ABAC，则ABC的面积是（）

2

33

A．B．C．3D．12

42

3

【例4-2】（2024·贵州）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，sinA，

2

ac

4b，则ABC的面积为______.

cosAcosC

【一隅三反】

3

1．（2025·湖南邵阳·三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a5c，cosC，

5

且b22，则此ABC的面积为（）

A．176B．88C．44D．22

b2c2a2

2．（2025·广东广州·三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2,bc2acosB2acosC，

cosA

则ABC的面积为．

3．（2025·北京昌平·二模）在ABC中，B为锐角，2asinAcosCcsin2A3a．

(1)求B；

5

(2)若b7,csinB3，求ABC的面积．

2

考向五三角形个数的判断

【例5-1】（2025·江西·二模）在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A．a72，b50，A135B．a20，b40，A31

C．a30，b203，A120D．a8，b14，A30

【例5-2】（2025·四川达州·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列条件中能使ABC

唯一确定的是（）

A．A45，B60，C75°B．b3，c4，B30

C．b3，c2，B60D．b12，c12，C120

π

【例5-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a22,B的三

4

角形有两个，则b的取值范围为（）

A．(0,22)B．(22,4)C．(2,4)D．(2,22)

【一隅三反】

1．（2025河南）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列条件能确定三角形有两解的是（）

A．a5,b4,AB．a4,b5,A

64

5

C．a5,b4,AD．a4,b5,A

63

π

2．（2024·湖北·模拟预测）在ABC中，已知ABx，BC22，C，若存在两个这样的三角形ABC，

4

则x的取值范围是（）

A．22,B．0,22C．2,22D．2,2

π

3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，则能使同时满足条件A,b6

6

的三角形不唯一的a的取值范围是（）

A．3,6B．3,C．0,6D．0,3

考向六正余弦定理在几何中的应用

【例6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a1且

bcosC3csinBa2c．

(1)求B；

(2)如图所示，D为ABC外一点，DCBB，CD3，ACAD，求D．

1

【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）已知ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2，bccosBa，

2

延长BC到点D.

(1)若CD3，求AD的长；

(2)若B2D，3BC4CD，求AD的长.

【一隅三反】

ππ

1．（2025·河南许昌·三模）（多选）如图，在平面四边形ABCD中，BAD，ADC，AC5，CD2.

24

则下列结果正确的是（）

A．AD3

25

B．sinCAD

5

25

C．sinBAC

5

45

D．若AB2，则ABC中BC边上高的长度为

5

2（.2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，AB23，BC4，AD6，CD8，ABAD，

ACBDO，求：

(1)四边形ABCD的面积；

(2)cosAOD的值；

(3)△OBC的面积.

3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABDCBD，ACAD，

AEEB3，DE5.

(1)求ADB的面积；

(2)求sinBAC的值及EC的长度.

考向七正余弦定理在实际生活中的应用

【例7】（24-25湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里

长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度MN，在黄鹤楼的正东方向找到一

座建筑物AB，高约为26m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，黄鹤楼顶部M的仰

角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（）

A．48mB．51mC．52mD．54m

【一隅三反】

1．（24-25重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的

记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩

色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其

中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为30，在点D处测得点A，B的仰角

分别为60，15，测得CD36(31)m，则按此法测得的雷峰塔塔高为（）

A．68mB．70mC．72mD．74m

2．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地

面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平

面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移

动时，最佳视角的正弦值为（）

1232

A．B．C．D．

3333

3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在

境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，

分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A,C,D在水平地面上，来雁塔AB和

建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得CD18m,AD15m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处

测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（）（31.732，精确到0.1m）

A．35.0mB．36.4mC．38.4mD．39.6m

考向八三角形中周长与面积的最值

【例8-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）在ABC中，sin2Asin2Ccos2Bsin(πA)sin(πC)1.

(1)求B；

(2)若AC2，求ABC的周长的最大值.

【例8-2】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

basin2Bsin2C

．

asin2A

(1)求角C的大小；

(2)若c2，求ABC周长的取值范围．

B

【例8-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知acosbsinA.

2

(1)求B；

(2)若ABC为锐角三角形，且c2，求ABC面积的取值范围．

【一隅三反】

1．（2025·广东·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cosA2cos2A3.

(1)求A；

(2)若a4，求ABC周长的取值范围.

2．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差

数列.

(1)若b2，求ABC面积的最大值；

(2)若c2，求ABC周长的取值范围.

3．（23-24辽宁·期中）已知函数fx2sinxcosx23sin2x3．

(1)求函数fx的最小正周期及其单调递增区间，

(2)若A为锐角ABC的内角，且fA3,a23，求ABC面积的取值范围．

考向九三角形的中线、角平分线与高

【例9-1】（2025·江西·二模）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知bsinBcsinCasinAbsinC.

(1)求角A；

(2)已知角A的平分线与边BC相交于点D，且AD1,BC2，求ABC的面积.

【例9-2】（2025·河北石家庄·三模）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC3ccosB3a．

(1)求角C的大小；

3

(2)若AB22，且sinAsinB，求AB边上中线CT的长．

8

【例4-3】（2025·河南郑州·一模）记ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b2c2a22bc，

2sinCAsinB.

(1)求sinC;

(2)设BC10，求BC边上的高.

【一隅三反】

1.（2025·辽宁沈阳·一模）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的平分线交AC于点D，

ππ

BE为ABC的中线．若3sinBsinB0，a1，c2．

63

(1)求BE的长；

(2)求BD的长.

π

2.（24-25贵州·阶段练习）ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A，a21，____________.

3

(1)若在横线处填入b7，求B；

(2)给出两个条件：

203

①内角A的平分线长为；

9

61

②BC边上的中线长为.

2

从条件①②中选择一个填入横线，求ABC的面积S.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.

A

3.（2025·湖北武汉·模拟预测）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a3,bcosasinB0．

2

(1)求A；

33

(2)在AB边上存在一点E，使得AE2EB，连接CE，若△ACE的面积为,BAC的平分线交CE于F点，

2

CF

求的值．

FE

4．（2025·四川·模拟预测）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积S满足：

23ScosCc2sinAsinB0.

(1)求C；

(2)若AD2DB,CD平分A