2026版高考数学复习专题突破：4.2 诱导公式及恒等变化（精练）（题组版）（解析版）

4.2诱导公式及恒等变化（精练题组版）

题组一诱导公式、两角和差与二倍角

3π

、（山西吕梁一模）已知3，则cos(2)（）

12025··sin2

4tan

131338

A．B．C．D．

8883

【答案】A

3π

cos(2)

32sin22sincos2213

【解析】由sin，得2cos2(1sin).故选：A

4tantansin8

cos

π

cos1sin2

2

2．（2025·云南昭通·模拟预测）若tan3，则（）

3π

sinπsin

2

636

A．B．3C．D．

555

【答案】C

π

cos1sin22

2sin(sincos)

【解析】因为tan3，所以

3πsincos

sinπsin

2

sin2sincostan2tan(3)233

sin2sincos．故选：C．

sin2cos2tan21(3)215

π

3．（2025·青海海东·三模）已知点(2,7)在直线xtany10上，则tan()（）

4

11

A．B．C．2D．2

22

【答案】C

【解析】由点(2,7)在直线xtany10上，可得2tan710，解得tan3，

πtan131

则tan()2.故选：C.

41tan13

3

4．（23-24·四川内江）（多选）下列式子计算结果为的有（）

2

A．sin240B．sin23cos37cos23sin37

1tan15π5π

C．3sin150D．cos2cos2

1tan151212

【答案】BCD

3

【解析】对于选项A：sin240sin18060sin60，故A错误；

2

3

对于选项B：sin23cos37cos23sin37sin2337sin60，故B正确；

2

1tan151333

对于选项C：3sin1503tan4515，故C正确；

1tan152232

2π25π2π2ππ2π2ππ3

对于选项D：coscoscoscoscossincos，故D正确；

121212212121262

故选：BCD.

2sin7π

5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知3，则tan．

sin3cos4

7

【答案】/3.5

2

2sin2tan9

【解析】由3，得3，解得tan，

sin3costan35

π9

tantan1

7πππ7

所以tantantan45．

π9

4441tantan112

45

7

故答案为：

2

π

6．（2025·全国·模拟预测）已知角的终边经过点1,2，则cos2tan.

4

183

【答案】/3

55

15

cos2

【解析】由三角函数的定义得，2，tan2，

12251

2

π1tan51218

所以2，

cos2tan2cos121

41tan5125

18

故答案为：.

5

π

7．（2025·湖南永州·模拟预测）已知cos3cos(π)，则cos2sin2.

2

【答案】31

2

【解析】由题得sin3costan3，

cos2sin22sincos1tan22tan31

所以cos2sin2cos2sin22sincos.

cos2sin21tan22

31

故答案为：.

2

1

8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知2sincos，tantan，则tantan．

3

1

【答案】

3

【解析】因为2sincos，故2sincos2cossincoscossinsin，

11

由题设cos0,cos0，故2tan2tan1tantan，故21tantan即tantan，

33

1

故答案为：

3

2

9．（2025·陕西渭南·三模）已知sin,tan3tan，则sin.

3

1

【答案】

3

2

【解析】由sin，

3

2

可得sincoscossin，

3

sinsin

由tan3tan，可得：3，

coscos

即sincos3cossin0，

11

联立可得：cossin,sincos，

62

111

所以sinsincoscossin，

263

1

故答案为：

3

310

10．（2025·河北·三模）已知锐角,满足sin,cos，则cos2.

510

10

【答案】

10

πππ

【解析】因为,0,，所以,,0,π，

222

310ππ

又因为sin,cos，所以0,,0,，

51022

2

234

所以cos1sin1，

55

2

210310，

sin1cos1

1010

所以cos2coscoscossinsin

410331010

.

51051010

10

故答案为：.

10

题组二辅助角

（24-25各地模拟节选）将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式

φ)+Bφ)+B

(1)f(x)2sinxcosx23cos2x3

（2）f(x)3sin2x2cos2x1

1

（3）fx3sinxcosxsin2x

2

（4）f(x)cos2xcos2x

3

131

（5）fxcos2xsinxcosx

224

（6）f(x)2sinxcosx2cos2x1

【答案】见解析

【解析】（1）f(x)2sinxcosx23cos2x3sin2x3cos2x2sin(2x)

3

（2）f(x)3sin2x2cos2x13sin2x1cos2x12sin(2x)2

6

31cos2x1

（3）fxsin2xsin2x

2226

13

（4）f(x)cos2xcos2xcos2xcos2xsin2x

322

33

cos2xsin2x3sin2x

223

131

（5）fxcos2xsin2xsin2x

4426

（6）f(x)sin2xcos2x2sin(2x)

4

题组三给角求值

cos80sin10

1．（2025·湖南·二模）若cos10a，sin10b，则（）

sin20

abab

A．B．C．D．

2b2aba

【答案】B

sin10sin10sin10b

【解析】原式，故选：B.

2sin10cos102cos102a

2cos65cos15

2．（2024·安徽六安·模拟预测）的值为（）

tan15cos10sin10

231233

A．B．C．D．

2222

【答案】A

2cos65cos152cos65cos215sin25(1cos30)23

【解析】.故选：A

tan15cos10sin10sin15cos10sin10cos15sin252

π2ππ

3．（2025·湖南娄底·二模）tansinsin（）

5510

364

A．B．1C．D．

453

【答案】B

π2πππππππ2π2π2π

【解析】tansin2tancossin2sin2，sinsincos12sin，

555555102555

π2ππ

于是tansinsin1.故选：B．

5510

4．（2025·河北保定·模拟预测）tan157.51tan247.51（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】D

tan157.5tan247.5

【解析】因为tan157.5247.5tan405tan36045

1tan157.5tan247.5

tan451，

所以，tan157.5tan247.51tan157.5tan247.5，

因此，tan157.51tan247.51tan157.5tntan157.5t24.51a247.5an7

tan157.5tan247.51tan157.5tan247.512.

故选：D.

2

cosπ

1

5．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）计算5（）

34

2cosπcosπ

55

1

A．2B．C．1D．2

2

【答案】D

2242

cosπcosπcosπ2cos2π

111

【解析】因为5555

34242424

2cosπcosπ2cosπcosπ2cosπcosπ2cosπcosπ

55555555

1

sinπ

1

5

21112

2cosπcosπ2sinπcosπcosπ

55555

111

sinπ2sinπ2sinπ

5552.

2241

sinπcosπsinπsinπ

5555

故选：D.

6．（24-25江苏常州·期中）（多选）计算下列各式的值，其结果为2的有（）.

A．tan15tan75B．(1tan5)(1tan40)

(3tan10)cos10

C．D．16cos20cos40cos80

sin50

【答案】BCD

sin15sin75sin15cos75sin75cos15

【解析】对于A，tan15tan75

cos15cos75cos15cos75

sin902

4，A不是；

cos15sin15sin30

对于B，(1tan5)(1tan40)1tan5tan40tan5tan40

1tan45(1tan5tan40)tan5tan402，B是；

(3tan10)cos103cos10sin102sin(6010)

对于C，2，C是；

sin50sin50sin50

sin40sin80sin160

对于D，16cos20cos40cos80162，D是.

2sin202sin402sin80

故选：BCD

7．（24-25高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列式子的运算结果为3的是（）

1tan15

A．B．tan20tan403tan20tan40

1tan15

°

2tan15

C．sin5033tan10D．

1tan215

【答案】ABC

【解析】对于：1tan15tan45tan15，故正确；

Atan4515tan603A

1tan151tan45tan15

对于：tan20tan40，

Btan60tan20403

1tan20tan40

所以tan20tan403tan20tan403，故B正确；

3cos103sin10

对于：

Csin5033tan10sin50

cos10

13

23cos10sin1023sin1030

22sin50

sin50cos10

cos10

23sin40sin5023sin40cos403sin803cos10

3，故C正确；

cos10cos10cos10cos10

°

对于：2tan15°°3，故错误

Dtan215tan30D.

1tan2153

故选：ABC

π2π3π4π5π

8．（2025高三上·全国·专题练习）求值：coscoscoscoscos．

1111111111

1

【答案】

32

2π4π6π8π10π

sinsinsinsinsin

【解析】方法一：原式1111111111

π2π3π4π5π

2sin2sin2sin2sin2sin

1111111111

10π8π6ππ3π5π

sinsinsinsinπsinπsinπ

11

111111111111

5π3π5π5π3π5π

2sinsinsin2sinsinsin

111111111111

π3π5π

sinsinsin

111

111111；

5π3π5π5

2sinsinsin232

111111

π

方法二：令原式乘以25sin得，

11

ππ2π3π4π5π2π2π3π4π5π

25sincoscoscoscoscos24sincoscoscoscos

1111111111111111111111

4π3π4π5π8π3π5π

23sincoscoscos22sincoscos

11111111111111

23π3π5π23π3π5π6π5π

2sinπcoscos2sincoscos2sincos

1111111111111111

5π5π5π5π10πππ

2sinπcos2sincossinsinπsin，

11111111111111

π

sin

11

则原式11．

π5

25sin232

11

1

故答案为：.

32

题组四给值求角

ππ1

1．（2025·湖南）已知0,,0,，且tantan，则（）

22cos

ππ

A．2B．2

22

ππ

C．2D．2

22

【答案】D

1sin1sin

【解析】因为tantan，所以，

coscoscos

即sincoscossincos，整理得sincos，

πππ

即sinsin，所以或π，

222

ππ

即2或（舍去）.

22

故选：D

π

2．（24-25江苏连云港·期中）已知tan，tan是方程x24x30的两根，且,(,π)，则的值为（）

2

π3π5π7π

A．B．C．D．

4444

【答案】C

tantan4

【解析】由题意，，

tantan3

tantan4

则tan()1，

1tantan1(3)

π5π

因,(,π)，则π2π，故.

24

故选：C.

2510ππ3

3．（24-25四川绵阳·期中）若cos2，sin，且[,]，[π,π]，则（）

510422

11π7π5π4π

A．B．C．D．

6433

【答案】B

πππ

【解析】由[,]可得2[,π]，

422

255

因cos2，则sin21cos22，

55

3π5π

又[π,π]，则()[,]，

224

10

因sin，

10

3

则cos()1sin210，

10

故coscos2

cos2cossin2sin

253105102

()，

5105102

5π7π

因2π，故.

44

故选：B.

π

4．（24-25江苏南通·阶段练习）（多选）已知,0,,tan()7,tan()1，则以下说法正确的是

2

（）

43ππ

A．tan2B．tan2C．D．

3444

【答案】ABD

【解析】因为tan()7,tan()1，

tantan714

所以tan2tan，

1tantan173

tantan713

tan2tan，故选项AB正确；

1tantan174

π

因为,0,，所以2,20,π，又tan20，tan20，

2

ππ

所以2,π,20,，

22

ππ

因为tan()1，所以即，所以C错误，D正确.

44

故选：ABD

题组五角的拼凑

π2

1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知cos，则sin2（）

45

178178

A．B．C．D．

25252525

【答案】A

ππ2π417

【解析】因为cos2cos22cos121，

2442525

π

又cos2sin2，

2

17

所以sin2.

25

故选：A

π15π

2．（2025高三·全国·专题练习）已知sin，则cos2的值为（）

1246

5577

A．B．C．D．

8888

【答案】C

5π5π25π

【解析】cos2cos22cos1

61212

2ππ2π7

2cos12sin1.

212128

故选：C

π45π

3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若sin，则cos2（）

1256

127712

A．B．C．D．

25252525

【答案】C

2

5π5ππ2π47

【解析】cos2cos2πcos212sin12

66612525

故选：C

π4π

4．（23-24山东潍坊·期末）已知sin，则cos2（）

353

772424

A．B．C．D．

25252525

【答案】A

ππ4

【解析】令x，y2，则sinx，y2xπ

335

2

π247

所以cos2cosycos2xπcos2x2sinx121，

3525

故选：A.

π1π

5．（2024·河南·二模）已知sinsin，则sin2（）

336

7788

A．B．C．D．

9999

【答案】B

π1311

【解析】由sinsin，可得cossinsin，

33223

131π1

即sincos，可得sin，

22333

ππππ2π7

所以sin2sin2cos22sin1.

632339

故选：B.

π12π

6．（24-25浙江）若sin，则cos2的值为（）

633

2277

A．B．C．D．

9999

【答案】D

2

π12π2π18

【解析】解法一：因为sin，所以cos1sin1.

636639

ππππ

因为sinsincos，

3266

2ππ2π2π87

所以cos2cos212sin12cos12.

333699

ππ2π2ππ

解法二：令，则，22π2，

26336

2π27

所以cos2cosπβcos22sin1.

39

故选：D.

π15π

7．（2025高三·全国·专题练习）已知sin，则cos2的值为（）

1246

557