2026版高考数学复习专题突破：2.1函数及其表示（精讲）（解析版）

2.1函数及其表示（精讲）

考向一具体函数的定义域

【例1】（1）（2024·河北·模拟预测）函数ylgx1的定义域为

x2

（2）（2025·陕西）函数fx的定义域为

x3

【答案】（1）xx2（2）{x∣x2且x3}

【解析】（1）由lgx10，即lgx1lg1，即x11，解x2.所以函数的定义域为xx2.

（2）由题意得x30,x3,x20,x2，则函数定义域为{x|x∣x2且x3}.故答案为{x|x2且x3}.

【一隅三反】

1

1.（2025·北京朝阳·一模）函数fxlog3x的定义域为．

1x

【答案】0,1

11x01

【解析】对于函数fxlog3x，有，解得0x1，故函数fxlog3x的定义域为

1xx01x

0,1.故答案为：0,1.

2x

2.（2025四川乐山·期中）函数fxlog的定义域为．

21x

【答案】2,1

2x2x

【解析】fxlog的定义域满足0，解得2<x<1，故定义域为2,1，故答案为：2,1

21x1x

3.（2025北京）函数fx1xlnx的定义域是.

【答案】0,1

1x0

【解析】要使函数有意义，则满足：，解得：0x1所以函数fx1xlnx的定义域为0,1.

x0

故答案为：0,1

1x

4.（2025·上海）函数fx的定义域为.

3x

【答案】3,1

1xx1x301x

【解析】由0，得，解得3x1.所以函数fx的定义域为3,1.

3xx303x

故答案为：3,1.

考向二抽象函数定义域

x

【例2】（1）（2025广东）设函数fx82x，则函数f的定义域为

2

fx

（2）（24-25四川）已知函数yf2x1的定义域是1,3，则y的定义域是

x2

【答案】（1）,6（2）2,5

xxx

【解析】（1）由题意得，82x0，解得x3,函数f满足3，解得x6，即函数f的定义域为,6.

222

（2）因为函数yf2x1的定义域是1,3，所以x1,3,2x13,5，

fx

所以yfx的定义域为3,5，又因为x20，即x2，所以2x5，所以函数y的定义域为

x2

(2,5].

【一隅三反】

f(x1)

1．（23-24辽宁·期中）已知函数yf(x)的定义域是4,5，则y的定义域是（）

x2

A．2,4B．2,6C．2,4D．2,6

【答案】D

【解析】因为函数f(x)的定义域为[4,5]，所以f(x1)满足4x15，即3x6，

3x6f(x1)

又x20，即x2，所以，解得2x6.所以函数y的定义域为(2,6].故选：D.

x2x2

2.（2025·江苏）若函数yf2x的定义域为2,4，则yfxfx的定义域为（）

A．2,2B．2,4

C．4,4D．8,8

【答案】C

【解析】因为函数yf2x的定义域为2,4，则2x4，可得42x8，所以，函数yfx的定义域

4x8

为4,8，对于函数yfxfx，则有，解得4x4，因此，函数yfxfx的定

4x8

义域为4,4.故选：C.

1fx

3（23-24湖北）已知函数yfx1的定义域是2,4，则函数gx的定义域为（）

2lnx2

A．2,3B．2,3

C．2,33,6D．2,33,4

【答案】A

11

【解析】因为函数yfx1的定义域是2,4，所以2x4，所以2x13，所以函数fx的定义域

22

2x3

fxfx

为2,3，所以要使函数gx有意义，则有x20，解得2x3，所以函数gx的定

lnx2lnx2

x21

义域为2,3.故选：A.

考向三已知定义域求参数

【例3-1】（24-25福建）若fx1xxa1的定义域为x3x1，则实数a（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

1x0x1

【解析】由题得，解得，函数的定义域为x3x1，故a3，a3.故选：B

xa0xa

1

【例3-2】（24-25贵州）已知函数fx2的定义域是R，则a的取值范围是（）

a1xa1x2

A．1,9B．1,8C．1,9D．1,8

【答案】C

【解析】根据题意a1x2a1x20对于xR恒成立；

当a10时，20显然成立，可得a1符合题意；

a10

当a10时，若满足题意可得2，解得1a9；

Δa142a10

a10

当a10时，若满足题意可得2，此时无解；

Δa142a10

综上可得，a的取值范围是1,9.故选：C

【一隅三反】

1

1.（24-25山东济宁）“0a1”是“函数f(x)的定义域为R”的（）

ax22ax1

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意得ax22ax10在R上恒成立，

若a0，则10，满足要求，

若a0，则只需4a24a0，解得0a1，综上，0a1，

1

由于0,1为0,1的真子集，故“0a1”是“函数f(x)的定义域为R”的充分不必要条件.故选：A

ax22ax1

2.（24-25上海）函数fxmx22x2定义域为R的一个充分不必要条件是（）

1121

A．mB．mC．mD．m

3432

【答案】C

【解析】因为函数fxmx22x2的定义域为R，

所以mx22x20对任意的x恒成立，

当m0时，不等式变形为2x20，解得x1，不符合题意，

当m0时，不等式mx22x20的解集为R，

m01

所以2，解得m，

Δ24m202

1

综上所述：函数fxmx22x2的定义域为R，则m的取值范围[,)；

2

1

所以m是函数fxmx22x2的定义域为R的一个必要不充分条件，故A错误；

3

1

所以m是函数fxmx22x2的定义域为R的一个必要不充分条件，故B错误；

4

2

所以m是函数fxmx22x2的定义域为R的一个充分不必要条件，故C正确；

3

1

所以m是函数fxmx22x2的定义域为R的一个充要条件，故D错误.

2

故选：C.

xa

3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数f(x)定义域为[2,)，则实数a实数b的取值范

xb

围．

【答案】2,2

xaxb0xbxa

【解析】函数f(x)，故，即函数f(x)的定义域为[2,)，故a2,b2.

xbxa0xaxb

故答案为：2；,2

2

4．（2025·上海）已知函数f(x)=lg(x+1+ax)的定义域为R，则实数a的取值范围是．

【答案】[1,1]

【解析】函数f（x）＝lg（x21ax）的定义域为R，∴x21ax＞0恒成立，∴x21＞ax恒成立，

设yx21，xR，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；

令y＝﹣ax，xR∈；它表示过原点的直线；

∈

由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在yx21的下方，画出图形如图所示；

∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，

解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．

考向四函数的解析式

【例4】（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的解析式：

(1)已知f1sinxcos2x，求fx的解析式；

121

(2)已知fxx，求fx的解析式；

xx2

(3)fx是一次函数，且满足ffx4x3，求fx的解析式；

1

(4)已知fx满足2fxf3x，求fx的函数解析式.

x

（5）设函数fx对任意x,yR都满足fxfyfxy22x2fyfx1，试求出fx．

【答案】(1)fx2xx2，x0,2(2)f(x)=x2-2，x,22,

12

(3)fx2x1或fx2x3(4)fx2xx0（5）fxx1

x

【解析】（1）设1sinxt，t0,2，则sinx1t，f1sinxcos2x1sin2x，

2

ft11t2tt2，t0,2.即fx2xx2，x0,2.

2

12112

（2）fxxx2，fxx2，x,22,.

xx2x

（3）因为fx是一次函数，所以设fxkxbk0，所以ffxkkxbbk2xkbb，

k24,k2,k2,

又因为ffx4x3，所以k2xkbb4x3，故解得或

kbb3,b1b3,

所以fx2x1或fx2x3.

1

2fxf3x,

1113x1

（4）将代入2fxf3x，得2ffx，因此解得fx2xx0.

xxxx13x

2ffx,

xx

（5）令x0代入条件得出f0f0f01，∴f01．

令y0代入条件得出fxf0f02x2f0fx1，∴fxfx2x21．

再令x1，则有f1f10，而用x代入条件中得fxfyfxy22x2fyfx1，①

222

①中与条件相加得fxfyfxfyfxyfxy4xfyfxfx2．

22

∵fxfyfxfy2xfy1，fxy2fxy22xy21．

2

∴2xfy12x2y414x2fy2x212，于是2x2f2y2x2y44x2fy2x2．

2242422

令x，有fyy2fy1，∴fy1y，∴fyy1或fyy1．

2

当fyy21时，fyfy2y22，∴fy3y21．

244422

∵fy1y，∴9yyy0，∴fyy1，即fxx1为所求．

【一隅三反】

x112

1.（2026高三·全国·专题练习）若函数f1，则fx（）

xx2x

1

．1．．2．2

A2Bx1CxDxx1

xx2

【答案】D

22

x112x2x1x112

【解析】因为x1，且，所以．故选：

f21211fxxx1D.

xxxxxxx

2.（24-25云南昭通·期中）已知fx21x41，则函数fx的解析式为（）

A．fxx22xB．fxx21x1

C．fxx22xx1D．fxx22x2x1

【答案】C

22

【解析】令tx21，则t1，且x2t1，代入原式得ft(t1)1t2tt1，

故fx的解析式为fxx22xx1.故选：C.

3.（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式：

（1）已知函数fx22x27，求函数fx的解析式．

(2)已知fx是一次函数，且ffx16x25，求fx；

(3)定义在区间1,1上的函数fx满足2fxfxx2，求fx的解析式．

（4）已知函数fx的定义域为,，yfxex为偶函数，yfx2ex为奇函数，则f(x)的解析式

（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－lnx]＝1，则f(x)的解析式

11

（6）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式

xx2

xx

2252e3e

【答案】(1)fx2x8x1(2)fx4x5或fx4x(3)fxx1x1（4）f（x）=

32

（5）f(x)＝lnx＋1（6）x2－2(|x|≥2)

2

【解析】（1）由fx22x272x28x21，则fx2x28x1；

（2）设fxkxbk0，则ffxkkxbbk2xkbb16x25，

k4

k216k425

所以，解得或25，所以fx4x5或fx4x．

kbb25b5b3

3

2

（3）对任意的x1,1有x1,1，由2fxfxx2，①得2fxfxx，②

联立①②解得，fxx21x1．

(4因为函数fx的定义域为,，yfxex为偶函数，

所以fxexfxex，即fxfxexex，

又yfx2ex为奇函数，所以fx2exfx2ex，即fxfx2ex2ex，

xxxx

xxxxe3ee3e

所以fxeefx2e2e，解得fx.故答案为：

22

(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－lnx]＝1，则f(x)－lnx为定值．

设f(x)－lnx＝t，t为常数，则f(x)＝lnx＋t且f(t)＝1，即有lnt＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝lnx＋1，

1111

（6）f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).

xx2x2x

考向五相等函数的判断

【例5】（24-25天津）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原

因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中

是同一个函数的是（）

x1，x1

A．fxx2，gxxB．fxx1，gx

x1，x1

2

x40

C．fx，gxx2D．fx1和gxx

x2

【答案】B

【解析】对于A，fx和gx定义域均为R，fxx2x，

故fx和gx定义域相同，对应关系不同，fx和gx不是同一个函数，故A错误；

x1,x1

对于B，fx和gx定义域均为R，fxx1，

x1,x1

故fx和gx定义域相同，对应关系相同，fx和gx是同一个函数，故B正确；

对于C，fx定义域为x∣x2,gx定义域为R，

故fx和gx定义域不相同，fx和gx不是同一个函数，故C错误；

对于D，fx定义域为R,gx定义域为x∣x0,

故fx和gx定义域不相同，fx和gx不是同一个函数，故D错误；

故选：B.

【一隅三反】

1.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（）.

x22

A．fx与fxx2

x2

1

B．fxlogx2与fxlogx

233

C．fxx2与fxx

3

D．fx3x1与fxx1

【答案】D

x22

【解析】对于A，易知fx的定义域为x|x2，而fxx2的定义域为R，

x2

两函数定义域不同，可知A错误；

1

对于B，显然fxlogx2的定义域为x|x0，

23

而函数fxlog3x的定义域为0,，两函数定义域不同，可知B错误；

对于C，两函数定义域均为R，但fxx2的值域为0,，

而fxx的值域为R，两函数值域不同，即C错误；

3

对于D，易知fx3x1x1与fxx1的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确.

故选：D

2（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

x2x

A．f(x)与g(x)x1B．f(x)2|x|与g(x)4x2

x1

C．f(x)x2与g(x)(x)2D．yx1x1与yx21

【答案】B

【解析】A中，f(x)的定义域为{x∣x1}，g(x)的定义域为R，故A错误；

B中，g(x)4x22|x|f(x)，B正确；

C中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,)，故C错误；

D中，yx1x1的定义域为[1,)，由x210可得yx21的定义域为(,1][1,)，D错误．

故选：B.

3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列函数属于同一函数的是：（）.

x2x

A．fx,gx

x2xx1

12

B．fxx2,gxx4

x21lnx

C．fxx1lnx,gx

x1

D．以上均不正确

【答案】C

【解析】A选项，f0无意义，g00，故两函数定义域不同，错误；

B选项，fx的定义域为0,，gx的定义域为R，错误；

C选项，由解析式可知两函数定义域都是0,相同，gx约分后与fx相同，C正确.

故选：C

考向六分段函数

x22，x1,

【例6-1】（2025·上海宝山·二模）已知函数fx则f4=.

fx2，x1.

【答案】2

2

【解析】由题意可得f4f2f0022.故答案为：2.

x

1

,x01

【例6-2】（2025·广西柳州·三模）已知函数fx2，则ff（）

4

log2x,x0

11

A．B．C．4D．16

164

【答案】C

x

1

,x0112

【解析】因为，则，则11故选：

fx2flog22fff24.C.

4442

log2x,x0

4x,x0

【例】（江西二模）已知函数，若，则a的值为（）

6-32025··fxaxf1a4

2,x0

3113

A．0或B．0或C．D．

2222

【答案】A

【解析】若1a0，即a1，可得f1a41a4，解得：a0，符合；

33

若1a0，即a1，可得f1a22a14，解得：a，符合；综上可知：a的值为0或，

22

故选：A

【一隅三反】

logx,0x1

1

41

f(x)ff

1x,x1

1.（24-25湖南娄底·阶段练习）已知，则16等于（）

A．2B．4C．1D．3

【答案】C

11

【解析】ffflog1flog416f2121，故选项C正确.

16416

故选：C.

1

,x1

2．（广东省冮门市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数fx4，

2f2x,x1

1

则f（）

1024

A．128B．256C．512D．1024

【答案】B

112110101

【解析】由题意，f2f2f2f2

10245122561024

1

210f11024256.故选：B.

4

2x,x0

3.（2025·江西南昌·二模）已知函数fx，若fa4，则a.

x2,(x0)

【答案】2

【解析】由题意知，当a0时，f(a)2a4，解得a2；

当a0时，f(a)a24，解得a2，与a0矛盾，此时a无解.所以a2.故答案为：2

考向七函数的值域

【例7】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：

2x11x2

(1)yx1；(2)y；(3)y；(4)y54xx2．（5）y2xx1

x31x2

x242x23x8

(6)fx；(7)fx

x25x2x4

152511

【答案】(1)1,(2)y|y2(3)1,1(4)0,3（5）,(6)0,；(7),

8535

【解析】（1）由x0x11，即所求函数的值域为1,；

2x12x672(x3)777

（2）由y2，∵0，∴y2，

x3x3x3x3x3

即函数的值域为y|y2；

2

1x222

（3）由y1，∴函数的定义域为R，x1102，

1x21x21x2

2

即111，∴y1,1，即函数的值域为1,1；

1x2

2

（4）由y54xx2x29，得0(x2)299，∴所求函数的值域为0,3．

22

（5）设tx10，则xt21y2t1t2tt2t0

1111515

当时，的值域为

tymin2y2xx1,

48488

x24x241

2fx22

（6）因为，所以21，

x42x5x41x4

x24

11

令ytt2，根据对勾函数的单调性可知yt在2,上是严格递增函数，

tt

12

1521502

所以，所以x4，所以21，所以fx的值域为0,

y225.

22x42x45

x24

2

2x23x82xx4xx

（7）函数fx2，

x2x4x2x4x2x4

当x0时，fx2；

1

fx2

当x0时，4，

x1

x

444

若x0时，x2x4，当且仅当x即x2取等号，

xxx

11

011

则45，所以2fx，

x15

x

4444

若x0时，xx2x4，当且仅当x即x2取等号，

xxxx

11

05

则34，所以fx2，

x13

x

2x23x8511

综上所述，函数fx在xR上的值域是,.

x2x435

【一隅三反】

1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为(0,)的是（）

1

．2．x．2x1．

Aylog2(x1)By12Cy2Dy=3x

【答案】C

222

【解析】对于A，x10，显然x1取尽正实数，因此ylog2(x1)的值域是R，A不是；

xx

对于B，20，则0121，即012x1，函数y12x的值域为[0,1)，B不是；

对于C，2x1的值域为R，因此y22x1的值域为(0,)，C是；

1111

对于D，由于0，则x且x，即函数x的值域为(0,1)(1,)，D不是.

x3031y=3

故选：C

2.（2025黑龙江）求下列函数的值域：

3x1

（1）y3x2x2；（2）yx26x5；（3）y；

x2

2x2x2

（4）yx41x；（5）y|x1||x4|；（6）y

x2x1

23

【答案】（1）[,)；（2）[0,2]；（3）{yR|y3}；（4）(,5]；（5）[5,)（6）[1,5].

12

12323

【解析】（1）y3x2x23(x)2，

61212

23

∴y3x2x2的值域为[,).

12

（2）设x26x5（0），则原函数可化为y.

又∵x26x5(x3)244，∴04，故[0,2]，

∴yx26x5的值域为[0,2].

3x13(x2)77

（3）y3，

x2x2x2

77

∵0，∴33，

x2x2

3x1

∴函数y的值域为{yR|y3}.

x2

（4）设t1x0，则x1t2，

∴原函数可化为y1t24t(t2)25(t0)，∴y5，

∴原函数值域为(,5].

2x3(x4)

（5）yx1x45(4x1)，

2x3(x1)

当x4时，y≥5，当x1时，y≥5，∴y≥5，∴函数值域为[5,).

2

213

（6）∵xx1x++0恒成立，∴函数的定义域为R.

24

2x2x2

由y得：(y2)x2(y1)xy20①

x2x1

①当y20，即y2时，①即3x00，∴x0R，

②当y20，即y2时，∵xR时，方程(y2)x2(y1)xy20恒有实根，

∴(y1)24(y2)20，∴1y5且y2，

∴原函数的值域为[1,5].

考向八已知值域求参数

1

【例8-1】（23-24广东梅州）已知函数fxx2x5在m,n上的值域为4m,4n，则mn（）

2

A．4B．5C．8D．10

【答案】D

1199

【解析】fxx2x5的对称轴为x1，则f112154m，解得m，

2228

则fx在m,n上单调递增，

1

m2m54m

fm4m2

所以，即，

fn4n12

nn54n

2

1

所以m，n为方程x2x54x的两个根，

2

即m,n为方程x210x100的两个根，所以mn10.

故选：D.

【例8-2】（23-24云南曲靖·阶段练习）若函数fxax2x1的值域为0,，则实数a的取值范围为（）

11

A．0,B．0,

44

1