2026版高考数学复习专题突破：2.1 函数及其表示（精练）（题组版）（解析版）

2.1函数及其表示（精练题组版）

题组一具体函数的定义域

1.（2024·山东·一模）函数fxx13的定义域是（）

A．4,B．,2

C．2,4D．,24,

【答案】D

【解析】要使函数有意义，则x130，即x13，

所以x13或x13，解得x4或x2，

所以函数的定义域为,24,.

故选：D.

2x1

2．（2025浙江丽水）函数fxlgx1的定义域是（）

x2

11

A．x|xB．x|x1C．{x|x且x2}D．{x|x1且x2}

22

【答案】D

2x10

【解析】由题可知x10，解得x1且x2.故选：D

x2

ln4x

3．（2024河南）函数fx的定义域为（）

sinxx1

ππππ

A．1,,4B．1,ππ,4C．1,,4D．1,ππ,4

2222

【答案】B

x10

【解析】要使fx有意义，需满足4x0，解得1x4且xπ．所以定义域为1,ππ,4.

sinx0

故选：B．

x

4.（2025湖北）fx4x2的定义域为（）

2x

A．2,B．2,2C．2,2D．,2

【答案】B

x4x20

【解析】（1）要使函数fx4x2有意义，必须满足，解得2x2，

2x2x0

x

函数fx4x2的定义域为2,2.故选；B.

2x

5.（2025湖北）函数f(x)12cosx的定义域为（）

4πππ5π

A．2kπ,2kπ,kZB．2kπ,2kπ,kZ

3333

π5πππ

C．2kπ,2kπ,kZD．2kπ,2kπ,kZ

6633

【答案】B

1π5π

【解析】函数f(x)12cosx的意义，则12cosx0，即cosx，解得2kπx2kπ,kZ，

233

π5π

所以函数f(x)12cosx的定义域为2kπ,2kπ,kZ.故选：B

33

题组二抽象函数定义域

1.（2025江苏）已知函数yfx的定义域为1,5，则函数yf2x21的定义域为（）

A．0,3B．3.3C．[3,3]D．3,0

【答案】C

【解析】因为函数yfx的定义域为1,5，所以，12x215，即0x23，解得3x3，

所以，函数yf2x21的定义域为[3,3]故选：C

2.（2025江西）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（）

A．[0，5]B．[-1，4]C．[-3，2]D．[-2，3]

【答案】B

【解析】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，∴-2≤x≤3，∴-1≤x+1≤4，∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].

故选：B

f(x)

3.（2025黑龙江）已知函数yf(2x1)的定义域是2,3，则y的定义域是（）

x2

A．2,5B．2,3C．1,3D．2,5

【答案】D

【解析】因为函数yf(2x1)的定义域是2,3，所以2x3，所以52x15,

f(x)5x5

所以函数yf(x)的定义域为5,5，要使y有意义，则需要，解得2x5，

x2x20

f(x)

所以y的定义域是2,5.故选：D.

x2

fx2

4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为[3,3]，则函数gx的定义域为．

x2

【答案】5,22,1

【解析】因为fx的定义域为[3,3]，则x2[3,3]，即x5,1，所以fx2的定义域为5,1，

fx2

又x20，所以函数gx的定义域为5,22,1.故答案为：5,22,1

x2

5.（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数yf(x1)的定义域是[2,3]，则yf(x1)的定义域是

【答案】[0,5]

【解析】由函数yf(x1)的定义域是[2,3]，得2x3，则1x14，由1x14，解得0x5，

所以yf(x1)的定义域是[0,5].故答案为：[0,5]

1fx

6.（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数yfx1的定义域是2,4，则函数gx的定义

2lnx2

域为．

【答案】2,3.

11

【解析】因为函数yfx1的定义域是2,4，所以2x4，故2x13，

22

2x3

fxfx

因为gx有意义，所以x20，所以2x3，所以函数gx的定义域为2,3.

lnx2lnx2

lnx20

故答案为：2,3.

fx1

7.（23-24新疆·期中）已知函数fx的定义域是0,4，则函数y的定义域是.

x2

【答案】2,5

0x14fx1

【解析】由题意知：，解得：2x5，y的定义域为2,5.

x20x2

故答案为：2,5.

x

8.（2025上海）已知函数yf2的定义域是1,1，则函数yflog2x的定义域是.

【答案】2,4

11

xx

【解析】因为函数yf2的定义域是1,1，即x1,1，所以2,2，所以log2x,2，即

22

1

log2x2，即log22log2xlog24，所以2x4，即函数yflog2x的定义域为2,4

2

故答案为：2,4

题组三已知定义域求参数

3x1

1.（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域是R，则实数a的取值范围是．

ax2ax3

【答案】12,0

【解析】由题意得ax2ax30对任意实数x都成立，

当a0时，-3¹0，符合题意；

当a0时，满足a212a0，解得12a0；

综上所述，实数a的取值范围为12,0．

故答案为：12,0．

2．（24-25云南红河·阶段练习）函数ymx22mx3的定义域为R，则实数m的取值范围是．

【答案】0,3

【解析】因为函数ymx22mx3的定义域为R，

所以不等式mx22mx30对于xR恒成立，

当m0时，不等式为3≥0，恒成立，符合题意；

m0

当时，有，解得

m020m3.

4m12m0

综上所述，实数m的取值范围是0,3.

故答案为：0,3.

2016

3．（24-25安徽）若函数fx的定义域是R，实数a的取值范围是．

ax22ax2

【答案】0,2

【解析】因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax22ax20恒成立.

当a0时，不等式为20，显然恒成立；

a0

当a0时，有2，

Δ4a8a0

a0

即，解得0a2，

0a2

所以a的取值范围为0a2，

故答案为：0,2.

1

4（24-25云南）若函数fx的定义域为R，则实数a的取值范围为

ax24ax4

【答案】0,1

1

【解析】因为函数y的定义域为R，

ax24ax4

所以ax24ax40的解为R，即yax24ax4的图象与x轴没有交点，

当a0时，函数y4的图象与x轴没有交点，故a0符合题意；

当a0时，要使yax24ax4的图象与x轴没有交点，

2

则Δ4a16a0，解得0a1，

综上所述：实数a的取值范围0,1.

故答案为：0,1

5.（24-25河南）函数f(x)lgmx2mx1的定义域为R，则实数m的取值范围是.

【答案】0,4

【解析】∵函数f(x)lgmx2mx1)的定义域为R，

∴对任意xR，mx2mx10恒成立，

当m0时，有10，符合题意；

m0

当m0时，需满足2，解得0m4，

Δm4m0

综上所述，m的取值范围是0,4．

故答案为：0,4．

题组四函数的解析式

1x2

1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数f1xx0，则fx

x2

1

【答案】21x1

x1

【解析】利用换元法令t1x求解析式即可．令t1x，则x1t，且x0，则t1，

21

11t1fx1x1

可得ft221,t1，所以2.

1tt1x1

1

2．（2026高三·全国·专题练习）若函数fx满足fx2fx2，则fx．

x

12

【答案】x2

3x

111112

【解析】由fx2fx2，可得f2fx2，联立两式消去f，可得fxx2．

xxxx3x

12

故答案为：x2.

3x

1

3.（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数fx满足fxf1x，则fx.

1x

x11

【答案】1

221x2x

1

【解析】由fxf1x，①

1x

11x11

将x替换成，可得：ff1，②

1x1xx1x

x1x1x1

再将①中x替换成：，可得：ffx1，③

xxx

x11

①②相减可得：fxfx，④

x1x

1x1

③④相加可得：2fxx1，

1xx

x11

所以fx1，

221x2x

x11

故答案为：fx1

221x2x

x11

4．（24-25上海浦东新·阶段练习）已知函数fx满足flog3，则fx的解析式为.

xx

【答案】fxlog3x1

x111

【解析】令tx0t1t1,t1ftlogt1.即f(x)log(x1)，

xxx33

故答案为：f(x)log3(x1)．

5.（2024山东淄博·）求下列函数的解析式

（1）fx是一次函数，且满足3fx1fx2x9，求fx的解析式;

（2）已知函数fx22x27，求函数fx的解析式．

1

（3）已知gx3gx2，求gx的解析式．

x

11

（4）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)的解析式

xx2

（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－lnx]＝1，则f(x)的解析式

x3

【答案】（1）fxx3；（2）fx2x28x1；（3）gx1，x0（6）x2－2(|x|≥2)

88x

（5）f(x)＝lnx＋1

【解析】（1）由已知fx是一次函数，设函数fxkxb，k0，

则fx1kx1bkxkb，即3fx1fx3kxkbkxb2kx3k2b2x9，

2k2k1

即，解得，所以fxx3；

3k2b9b3

2

（2）由fx22x272x28x21，则fx2x28x1；

111

（3）由已知gx3gx2①，x0，则g3gx2②，

xxx

3x3

所以①3②得8gxx8，x0，所以gx1，x0.

x88x

1111

（6）f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).

xx2x2x

(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－lnx]＝1，则f(x)－lnx为定值．

设f(x)－lnx＝t，t为常数，则f(x)＝lnx＋t且f(t)＝1，即有lnt＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝lnx＋1，

题组五相等函数的判断

1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（）

2

A．fxx，gxxB．ftt，gxx2

x29

C．fx2x3，gx2xD．fx，gxx3

x3

【答案】ACD

【解析】对于A，函数fx的定义域为R，函数gx的定义域为0,，所以这两个函数不是同一个函数；

对于B，因为gxx2x，且f(t)，gx的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；

对于C，fx2x3x2x，fx和gx的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；

对于D，函数fx的定义域为{xxR，且x3}，函数gx的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数．

故选：ACD．

2.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（）

π

A．ycosx与ysinxB．y(x1)2与yx1

2

C．ysin2x与ysinxcosxD．ylg2x与y2lgx

【答案】AB

ππ

【解析】对于A，ysinxcosx与ycosx的对应法则、定义域都相同，因此ycosx与ysinx为

22

同一函数，故A正确；

对于B，y(x1)2|x1|与yx1的对应法则、定义域都相同，因此y(x1)2与yx1为同一函数，

故B正确；

1

对于C，ysinxcosxsin2x与ysin2x的对应法则不同，因此ysin2x与ysinxcosx不是同一函数，故C

2

错误；

对于D，y2lgxlgx2与ylg2x的对应法则不同，因此ylg2x与y2lgx不是同一函数，故D错误.

故选：AB.

3．（24-25贵州·阶段练习）（多选）下列各组函数中，表示同一函数的是（）

44

A．f(x)x21，g(x)x1x1B．f(x)x，g(t)t

xt

x3,x3x41

C．f(x)|x3|，g(x)D．f(x)，g(x)x21

x3,x3x21

【答案】BC

【解析】A：对于f(x)x21，定义域为(,1][1,)，对于g(x)x1x1，定义域为[1,)，不

是同一函数；

B：根据解析式f(x),g(t)对应法则和定义域都相同，是同一函数；

x3,x3

C：由f(x)|x3|，显然与g(x)的对应法则、定义域都相同，是同一函数；

x3,x3

x41

D：由f(x)的定义域为{x|x1}，而g(x)的定义域为R，不是同一函数.

x21

故选：BC

4．（24-25江苏苏州·阶段练习）（多选）下列函数相等的是（）

A．函数yx与函数y3x3B．函数yx22x1与函数y|x1|

x21

C．函数y与函数yx1D．函数yx1x1与函数yx21

x1

【答案】AB

【解析】因为函数y3x3x，定义域为R，

所以函数yx与函数y3x3是同一个函数，故A正确；

2

因为函数yx22x1x1x1，定义域为R，

所以函数yx22x1与函数y|x1|是同一个函数，故B正确；

x21x1x1

因为函数yx1，定义域为x|x1，

x1x1

而函数yx1的定义域为R，这两个函数因为定义域不同，

x21

所以函数y与函数yx1不是同一个函数，故C错误；

x1

因为函数yx1x1x1x1x21，定义域为x|x1，

而函数yx21的定义域为x|x1或x1，这两个函数因为定义域不同，

所以函数yx1x1与函数yx21不是同一个函数，故D错误；

故选：AB.

5.（24-25福建）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（）

22

A．f(x)x,g(x)x2B．f(x)x,g(x)|x|

x21x0x

C．f(x)x1,g(x)D．f(x),g(x)

x1xx2

【答案】BD

【解析】A.f(x)x,g(x)|x|，对应关系不一致，不是同一函数.

B.f(x)=x2,g(x)=|x|2=x2，定义域相同，对应关系一致，是同一函数.

C.f(x)定义域为R，g(x)定义域为x|x1，定义域不同，不是同一函数.

1

D.f(x)定义域为x|x0，可化为f(x)，

x

1

g(x)定义域为x|x0，可化为g(x)，是同一函数.

x

故选：BD.

题组六分段函数

f(x2),x2

1.（24-25海南）已知函数f(x)1x，则f(1)的值为

(),x2

3

1

【答案】

27

f(x2),x2

11

3

【解析】函数f(x)1x，则f(1)f(1)f(3)().

(),x2327

3

x3,3x2

2.（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx1，则ff3．

,2x4

x2

1

【答案】/0.5

2

11

【解析】因为f3330，所以ff3f0．故答案为：

22

π

cosx,x2

3.（24-25安徽）已知fx2，则ff5．

fx3,x2

【答案】1

π

【解析】因为f5f53f2f23f1cos0.

2

f0cos01.即ff5f01.故答案为：1

x2,x0,

4.（2026高三·全国·专题练习）已知函数fx1若ffa2，则a．

x,x0,

x

【答案】2或1

【解析】若x0，则fxx22，当且仅当x0时，等号成立；

11

若x0，则fxx2x2，当且仅当x1时，等号成立；

xx

令fat，则ft2，可得t0或t1．

当t0时，即fa0，显然a0，因此a20a2；

当t1时，即fa1，显然a0，因此a21a1，

综上所述：a2或a1．

故答案为：2或1.

题组七函数的值域

1．（2025·重庆·模拟预测）函数fx2xx的值域为

【答案】1,

【解析】函数fx2xx的定义域为0,，又y2x与yx在0,上均单调递增，所以fx在0,

上单调递增，fxf01，故fx的值域为1,.

11

2.（2025·安徽·一模）函数y(x1)的值域为.

2xx2

3

【答案】0,

2

1111

【解析】因为fx与gx在1,上均为减函数，且当x时，0,0，所以

2xx22xx2

131133

0y1，故y(x1)的值域为0,.故答案为：0,

222xx222

sinx

3（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数f(x)在(0,π)的值域为

3cosx

2

【答案】0,

4

2

21t

1t2

【解析】令tcosx，则y,t1,1，则y2，

3t3t

2

令mt3，m2,4，则t2m3，

22

2m6m811111

所以y861，，

m2mm4m2

13212

由二次函数的性质可得当，取得最大值y，又y0，所以y0,.

m884

4.（2025高三·全国·专题练习）函数y1x1x的值域为．

【答案】2,2

1x0

【解析】由题意可得，解得1x1，即函数定义域为[1,1]，

1x0

则y21x1x21x2221x2，

当x0时，x2取最小值0，故y2221x2取到最大值4，

则函数y1x1x的最大值为2；

当x1时，x2取最大值1，故y2221x2取到最小值2，

则函数y1x1x的最小值为2；

故答案为：2,2.

x24x12

5.（2024高三·全国·专题练习）求函数f(x)，x2,5的值域．

x1

【答案】4,8

2

x24x12x12x199

【解析】f(x)x12，

x1x1x1

9

令tx1，则yt2,t1,4．

t

9

由对勾函数的单调性知，函数yt2在1,3上单调递减，在3,4上单调递增，

t

17

又y|8，y|4，y|，所以4f(x)8

t1t3t44

故f(x)的值域为4,8．

2x2x2

6.（2024高三·全国·专题练习）求函数y的最大值最小值.

x2x1

【答案】最大值为5，最小值为1

2

213

【解析】因为xx1x0恒成立，所以原函数定义域为R，

24

2x2x2

由y，得(y2)x2(y1)xy20，

x2x1

当y2时，x0，符合题意；

当y2时，由xR，得(y2)x2(y1)xy20恒有实数根，

因此(y1)24(y2)20，解得1y5且y2，

2x2x2

∴函数y的最大值为5，最小值为1.

x2x1

7.（2024湖南衡阳）求下列函数的值域．

x22x

21x1

(1)fx2x3，x1,7；(2)fx2x4x5，x3,3；(3)fx，xR.(4)y

3x1

π

，π

3xx24x4sinx＋12

（5）y(6)y(x1)(7)y3xx1（8）f(x)x2x3（9）y＝，x∈

3x1x1x－1

x

（10）f(x)，x0

ex

3714

【答案】(1)1,17(2)[35,3](3)0,3(4)y|y1（5）(0,1)(6)0,(7),（8）1（9）≤y≤.

12π－1π－2

1

（10）[0,]

e

【解析】（1）fx2x3，f11,f717，fx在区间1,7上单调递增，所以值域为1,17.

（2）因为fx2x24x52(x1)23，函数的定义域为3,3,

所以fx在3,1上单调递增，在1,3上单调递减，

，又因为，，所以所以的值域为

fxmaxf13f311f335fxminf335.fx[35,3].

x22xt

1221

（3）fx，令tx2xx111，则ht,t1，

33

ht在1,上单调递减，所以0hth1，所以0ht3，fx的值域为0,3.

x1x1x12222

（4）y的定义域是x|x1，y1，由于0，所以y11，

x1x1x1x1x1x1

所以值域为y|y1.

xx

33111xx11

（5）y1，因为3031101011，

3x13x13x13x13x1

所以原函数的值域为(0,1).

x24x411

（6）因为x1，则x10，可得yx122x120，

x1x1x1

1

当且仅当x1，即x2时，等号成立，所以函数的值域为0,.

x1

2

22213737

（7）令tx10，则xt1，可得y3t1t3tt33t，

61212

137

当t时，等号成立，所以函数的值域为,.

612

1,x3

（8）因为f(x)x2x32x5,2x3；易得：当且仅当x3时取最大值1.故答案为1

1,x2

sinx＋1

（9）函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)

x－1

π

，π

214

在曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.

π－1π－2

1x

（10）f(x)；0x1时，f(x)0；x1时，f(x)0；

ex

11

x1时，f(x)取最大值；又f(x)0；f(x)的值域为[0,]．

ee

题组八已知值域求参数

1．（2025重庆）已知函数fx3x1的定义域A2,5,a，值域B14,41,b，则AB（）．

A．2,5B．5,14C．2,14D．1,2

【答案】B

b5b5

【解析】∵f25,f514，由题意可得，解得，

fa3a141a14

可得A2,5,14,B5,14,41，故AB5,14.故选：B.

2．（23-24河北保定·阶段练习）（多选）已知函数fxx24x在0,m上的值域为4,0，则实数m的值可

以是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】BCD

2

【解析】fxx24xx24，当x,2时，fx单调递减，当x2,时，fx单调递增，

故当x2时，fx取得最小值4，

又f0f40，故要想fxx24x在0,m上的值域为4,0，则要m2,4，

故实数m的值可以是2,3,4.故选：BCD

3.（2025湖北）（多选）若函数fxx24x3的定义域为0,a，值域为7,3，则a的值可能为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】ABC

2

【解析】fxx24x3x27，故fx在,2上单调递减，在2,上单调递增，

且f0f4473，f27，

因为值域为7,3，故a2,4，

所以a的值可能是2,3,4.

故选：ABC

4（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数fxx24x，xm,4的值域是0,4，则实数m的取值范

围是（）

A．,2B．0,2C．0,2D．2,4

【答案】C

【解析】画出函数fxx24x的图象，如下图所示：

易知f0f40，f24；

若xm,4时的值域是0,4，由图可知m0,2.

故选：C

5

x22x,x1,

23

5.（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数fx的值域为D，D,，则实数a的取

a2

x1,x1

x

值范围是（）

255

A．1,B．,

164

255

C．,D．,

164

【答案】C

523

【解析】当x1时，fxx22xx1在,1上单调递减，