2026版高考数学复习专题突破：2.1 函数及其表示（精练）（试卷版）（解析版）

2.1函数及其表示（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

2x1

1．（2025浙江丽水）函数fxlgx1的定义域是（）

x2

11

A．x|xB．x|x1C．{x|x且x2}D．{x|x1且x2}

22

【答案】D

2x10

【解析】由题可知x10，解得x1且x2.故选：D

x2

f(x)

2.（2025黑龙江）已知函数yf(2x1)的定义域是2,3，则y的定义域是（）

x2

A．2,5B．2,3C．1,3D．2,5

【答案】D

【解析】因为函数yf(2x1)的定义域是2,3，所以2x3，所以52x15,

f(x)5x5

所以函数yf(x)的定义域为5,5，要使y有意义，则需要，解得2x5，

x2x20

f(x)

所以y的定义域是2,5.故选：D.

x2

3．（2025重庆）已知函数fx3x1的定义域A2,5,a，值域B14,41,b，则AB（）．

A．2,5B．5,14C．2,14D．1,2

【答案】B

b5b5

【解析】∵f25,f514，由题意可得，解得，

fa3a141a14

可得A2,5,14,B5,14,41，故AB5,14.故选：B.

1

4．（24-25山东济宁·期中）“0a1”是“函数f(x)的定义域为R”的（）

ax22ax1

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意得ax22ax10在R上恒成立，

若a0，则10，满足要求，

若a0，则只需4a24a0，解得0a1，

综上，0a1，

由于0,1为0,1的真子集，

1

故“0a1”是“函数f(x)的定义域为R”的充分不必要条件.

ax22ax1

故选：A

π

5．（24-25内蒙古呼和浩特·阶段练习）设fsincossincos，则fsin的值为（）

6

3113

A．B．C．D．

8888

【答案】A

【解析】因为fsincossincos，

2

2t1

设sincost，所以sincos12sin·cost2，化简得sin·cos，

2

2

t1

所以ft，t2,2，

2

1

1

则π143.

fsinf

6228

故选：A.

6．（24-25天津滨海新·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出

的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项

中是同一个函数的是（）

x1，x1

A．fxx2，gxxB．fxx1，gx

x1，x1

2

x40

C．fx，gxx2D．fx1和gxx

x2

【答案】B

【解析】对于A，fx和gx定义域均为R，fxx2x，

故fx和gx定义域相同，对应关系不同，fx和gx不是同一个函数，故A错误；

x1,x1

对于B，fx和gx定义域均为R，fxx1，

x1,x1

故fx和gx定义域相同，对应关系相同，fx和gx是同一个函数，故B正确；

对于C，fx定义域为x∣x2,gx定义域为R，

故fx和gx定义域不相同，fx和gx不是同一个函数，故C错误；

对于D，fx定义域为R,gx定义域为x∣x0,

故fx和gx定义域不相同，fx和gx不是同一个函数，故D错误；

故选：B.

x22axa21,xa,

7．（2025·湖北·二模）已知a0且a1，若函数fx的值域为R，则实数a的取值

xa

alogaxa2,xa

范围为（）

11

A．0,B．,1C．1,2D．2,

22

【答案】D

2

【解析】当xa时，fxxa1的取值范围为,1，

0

要使fx的值域为R，必有fx在a,上单调递增，且aloga2a21，

a1,

所以0解得a2.

aloga2a21,

故选:D.

8．（2024重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1，+∞)的是（）

x1

A．yx12xB．y

x1

2x1

C．y(x0)D．yx+1（x1)

x21x

【答案】D

2

2115

【解析】A选项，令x1t0x1t2，则y2tt22t，

48

则函数y2t2t2在0,上单调递增，则yx12x2，故A错误；

x1x122

B选项，y1，则y,11,，故B错误；

x1x1x1

2x22

y≤11

C选项，因x0，则y0，又注意到x2111，当且仅当xx1时取等号，

x2xx

xx

2x11

则y0,1，故C错误.D选项，注意到函数yx1,y均在1,上单调递增，则yx+11，

x21xx

故D正确.故选：D

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（2025江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（）

13

A．若fx的定义域为2,2，则f2x1的定义域为,

22

x

B．函数y的值域为,22,

1x

17

C．函数y2x1x的值域为,

8

D．函数fxx22x4在2,2上的值域为4,12

【答案】AC

【解析】对于A，因为fx的定义域为2,2，所以22x12，

1313

解得x，即f2x1的定义域为,，故A正确；

2222

xxx111

对于B，y1，

1xx1x1x1

x

所以y1，即函数y的值域为,11,，故B不正确；

1x

对于C，令t1x，则x1t2，t0，

2

22117

所以y21tt2tt22t，t0，

48

117

所以当t时，该函数取得最大值，最大值为，

48

17

所以函数y2x1x的值域为,，故C正确；

8

2

对于D，fxx22x4x13，其图象的对称轴为直线x1，且f13，f212，

所以函数fxx22x4在2,2上的值域为3,12，故D不正确．

故选：AC．

10．（24-25重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（）

A．函数fxx1与gx(x1)2是同一个函数

B．若函数fx的定义域为0,1，则函数fx2f1x的定义域为0,1

1

C．函数fx2x11x(x1)2的定义域为xx1

2

1

D．若函数fx的定义域为R，则实数k的取值范围是0,4

kx2kx1

【答案】ACD

【解析】对于A，函数fxx1的定义域为R,gx(x1)2的定义域为1,，

故函数fxx1与gx(x1)2不是同一个函数，A不正确；

对于B：因为函数fx的定义域为0,1，

0x211x0或0x1

所以,0x1，

01x10x1

所以函数fx2f1x的定义域为0,1，B正确

对于C，不等式2x11x(x1)202x1x1(x1)20，

1

则解集为xx1或x1，C不正确

2

对于D，当xR时，不等式kx2kx10恒成立.

当k0时，10恒成立；

k0

当k0时，则需满足2,0k4，

Δk4k0

综合可得k的取值范围是0,4，D不正确，

故选：ACD

11．（24-25广东河源·阶段练习）下列说法正确的是（）

A．若fx的定义域为2,4，则f2x的定义域为1,2

x2

B．fx和gxx表示同一个函数

x

17

C．函数y2x1x的值域为,

8

2

D．函数fx满足fx2fx2x1，则fxx1

3

【答案】AD

【解析】对于A，因为fx的定义域为2,4，

对于函数f2x，则22x4，解得1x2，即函数f2x的定义域为1,2，故A正确；

x2

对于B，fx定义域为xx0，gxx定义域为R，

x

x2

所以fx和gxx不是同一个函数，故B错误；

x

对于C，令t1x，则x1t2，t0，

2

22117

所以y21tt2tt22t

48

因为t0，所以y2t2t2在0,上单调递减，所以y2，

所以函数y2x1x的值域为,2，故C错误；

对于D，因为fx2fx2x1①，

所以fx2fx2x1②，

②2得2fx4fx4x2③，

①③得，3fx2x3，

2

解得fxx1，故D正确；

3

故选：AD.

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（2025·宁夏银川·二模）若定义在R上的函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(0)3，则f(2).

【答案】3

【解析】令x1，可得f0f2，又f03，则f23.故答案为：3.

1

x

．（青海西宁）若函数x的值域为，则的取值范围是

132024fx1a3920,a.

23

【答案】,

3

1

x

【解析】若，则x，不满足题意；

a01a3921

122

x

xx12x1x3a3a

若a<0，则1a3921a3331，

3324

3a223

当10，即a时，fx的值域为0,，满足题意.

43

23

故答案为：,.

3

ax2,xa

14．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数fx2，若fx存在最大值，则a的取值范围是.

3xx,xa

【答案】0a2

【解析】当a0时，yax2在(,a)上值域为(a22,)，显然fx不存在最大值；

9

当a0时，在(,0)上y2，而y3xx2在[0,)上最大值为，满足题设；

4

当a0时，yax2在(,a)上值域为(,a22)，

39

若0a时，y3xx2在[a,)上最大值为，

24

1

此时a22，故fx存在最大值，满足题设；

4

3

若a时，y3xx2在[a,)上最大值为3aa2，

2

1

此时只需3aa2a22，则2a23a2(2a1)(a2)0，即a2，

2

3

故a2，fx存在最大值，满足题设；

2

综上，0a2.

故答案为：0a2

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

15．（24-25云南昭通·期末）已知函数fxlog2ax2ax4．

(1)若fx的定义域为R，求a的取值范围；

(2)若fx的值域为R，求a的取值范围．

【答案】(1)0a4

(2)a4

【解析】（1）因fx的定义域为R，则xR，ax22ax40，

a0

则2或a00a4；

4a16a0

（2）因fx的值域为R，则yax22ax4的值域包含所有正数.

a0

则2a4.

4a16a0

16．（24-25四川成都·阶段练习）已知函数fxx22bx3,bR.

(1)若函数fx的图象经过点4,3，求实数b的值；

(2)在（1）的条件下，求不等式fx0的解集；

(3)解关于x的不等式2x212axa0.

【答案】(1)b2

(2)x1x3

(3)答案见解析

【解析】（1）因为fxx22bx3的图象经过点4,3，

所以f4428b33，则b2；

（2）由（1）得fxx24x3x1x30，解得1x3，

所以不等式fx0的解集为x1x3；

（3）2x212axa0,xa2x10，

11

当a时，不等式的解集为xx或xa；

22

11

当a时，不等式的解集为x∣xa或x；

22

11

当a时，不等式的解集为xx.

22

17．（2025高三·全国·专题练习）已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式．

(1)f(x1)x2x；

(2)f(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2；

1

(3)f(x)满足2f(x)f3x1．

x

【答案】(1)f(x)x21(x1)

(2)f(x)x22x1

11

(3)f(x)2x(x0)

x3

【解析】（1）方法一（配凑法）：

x2x(x1)21，

f(x1)(x1)21,x0,x11．

f(x)x21(x1)．

方法二（换元法）：设ux1，则xu1(u1)，

f(u)(u1)22(u1)u21(u1)，

即f(x)x21(x1)．

（2）设f(x)ax2bxc(a0)，

则f(x)2axb2x2，

a1,b2,f(x)x22xc．

又方程f(x)0有两个相等实根，

44c0,c1，故f(x)x22x1．

11

（3）已知2f(x)f3x1，①以代替①中的x(x0)，

xx

13

得2ff(x)1，②

xx

3

①2②，得3f(x)6x1．

x

11

故f(x)2x(x0)．

x3

18．（24-25重庆·阶段练习）已知二次函数fx的图象过原点0,0，且对任意xR，恒有6x2fx3x21.

(1)求f1的值；

(2)求函数fx的解析式；

(3)记函数gxmx，若对任意x11,6，均存在x26,10，使得fx1gx2，求实数m的取值范围.

【答案】(1)4

(2)fx2x22x

(3),10

【解析】（1）在不等式6x2fx3x21，令x14f14f14.

（2）因为fx为二次函数且图象过原点0,0，所以可设fxax2bx,a0，

由f14ab4ba4，于是fxax2a4x，

由题：fx6x2ax2a2x20,xR恒成立

a0a0

a2,b2fx2x22x，

22

Δ0a28aa20

2

检验知此时满足fx3x21x10,xR，故fx2x22x.

1

（3）函数fx2x22x，开口向上，对称轴x，所以fx2x22x在区间1,6上单调递增，因此，x1,6

21

时，fx1f1,f6，即fx10,60，

而gxmx在6,10上单调递减，所以x26,10时，gx2m10,m6

因为对任意x11,6，均存在x26,10，使得fx1gx2，

等价于f1g100m10m,10

19．（24-25河北邯郸·期末）若函数fx在定义域内存在区间a,b满足以下条件：①函数在区间a,b上是单调

函数；②函数fx在区间a,b上的值域为ta,tb（t为常数且t0），则称函数fx在定义域内为“闭函数”．

(1)当t1时，证明：fxx22x2x1为“闭函数”，并求出区间a,b；

(2)当t2时，若函数fxm2x1是“闭函数”，求m的取值范围；

12

(3)若定义在0,23上的函数fxx8是“闭函数”，求实数t的取值范围．

x

【答案】(1)证明见解析，1,2

1

(2)m,0

4

431

(3)2,

33

2

【解析】（1）函数fxx22x2x11x1在区间1,上单调递增，

2

若函数fx是闭函数且t1，则当a1时，函数fxx2x2在a,b上的值域应为fa,fb，且

a22a2a

，因为，所以解方程得，

21aba1b2

b2b2b

所以fxx22x2在区间1,2上单调递增，且值域为1,2，所以fxx22x2x1为“闭函数”，故所

求区间为1,2．

1

（2）因为fxm2x1在,上单调递减，

2

1m2a12b

当t2时，若函数fxm2x1是“闭函数”，则a，且，

2m2b12a

两式作差2b2a2b12a1，所以2b12a12b12a12b12a1，

2b12a11

所以2bm2a1m12b1，即2b12b1m0，同理2a12a1m0，所以2a1，

2b