2026版高考数学复习专题突破：1.3 复数（精练）（题组版）（解析版）

1.3复数（精练题组版）

题组一复数的实部与虚部

1.（2024山东）已知复数z(2ai)(1i)的实部为3，则实数a的值为（）

A．1B．1C．2D．5

【答案】B

【解析】由题意得，z2a(a2)i，则其实部为2a3，解得a1.故选:B.

2.（2025·广东广州·一模）若复数z满足1izi，则z的虚部为（）

A．1B．1C．iD．i

【答案】B

i1i2i

【解析】因为1izi，所以z1i，所以z的虚部为1.故选：B

ii2

1

3.（2025·吉林长春·模拟预测）复数z的虚部是（）

2i

11

A．iB．C．iD．1

55

【答案】B

12i2i211

【解析】因zi，故复数z的虚部为.故选：B

2i2i2i5555

1

4.（2025·河南·三模）若复数z满足12iz，则z的虚部是（）

1i

3333

A．B．iC．D．i

10101010

【答案】A

111i1i11

【解析】已知12iz，先将等式右边化简，i．

1i1i1i1i222

11111113

ii12iiii2i3

则2222222213，所以z的虚部是．故选：A

zi10

12i12i12i551010

2

5.（2025·广西桂林·二模）已知1iz34i，则z的虚部为（）

33

A．iB．C．2iD．2

22

【答案】D

3

【解析】|1i|212122z2i，所以z的虚部为2，故选：D．

2

1

6.（2025·上海徐汇·二模）复数z（其中i为虚数单位）的虚部是．

1i

1

【答案】/0.5

2

11i1i1111

【解析】zi，故其虚部为.故答案为：.

1i1i1i22222

题组二复数的分类

1.（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数z(1i)(2ai)(aR)为纯虚数，则a的值为（）

A．2B．1C．2D．2

【答案】A

【解析】由题，za2(a2)i，又z为纯虚数，2a0,a2.故选：A．

mi

2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）若复数zimR是纯虚数，则z1（）

1i

A．22B．5C．3D．2

【答案】B

m1

0

mimi1im1m3i2

【解析】zii，由z为纯虚数，得，所以m1，故z2i，

m3

1i2220

2

2

所以z112i1225.故选：B.

z

3．（2025·安徽·一模）若为纯虚数，则复数z可以为（）

z3

126i32i128i33i

A．B．C．D．

5252

【答案】AD

z

【解析】设aiaR,a0，则z1ai3ai，

z3

3ai3ai1ai3a23ai3a23a

所以zi.

1ai1a21a21a21a2

3a212

2

3a3a126i1a25

对于A选项，由i，可得，解得a2，合乎题意；

223a6

1a1a5

1a25

3a23

2

3a3a32i1a22

对于B选项，由i，可得，此时a不存在，不合乎题意；

1a21a223a

1

1a2

3a212

2

3a3a128i1a25

对于C选项，由i，可得，此时a不存在，不合乎题意；

223a8

1a1a5

1a25

3a23

2

3a3a33i1a22

对于D选项，由i，可得，解得a1，合乎题意.

223a3

1a1a2

1a22

故选：AD.

题组三复数对应的象限

zi

1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知i，则在复平面内z所对应的点位于（）

z1

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

zi

【解析】由i，得zii(z1)izi，即(1i)z2i，

z1

2i2i(1i)22i

因此z1i，

1i(1i)(1i)2

所以在复平面内z所对应的点(1,1)位于第二象限.

故选：B

2．（2025·辽宁锦州·二模）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，则复数zi2025对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】因为复数z对应的点在第二象限，所以可设zabia0,b0，

因为i2025i50641i，

所以zi2025abiibai，

所以b0，a0，

所以复数zi2025对应的点在第三象限.

故选：C.

3．（2025·贵州·二模）已知1izi9i8i5，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】1izi9i8i5i1i12i，

12i(12i)(1i)1i2i2i213i

z，

1i1i222

1313

故复数z的共轭复数为i，在复平面内对应的点为(,)，位于第三象限.

2222

故选：C.

4.（2025·甘肃·一模）若复数11a2i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）

A．a1B．a1或a1

C．1a1D．a1

【答案】C

22

【解析】复数11ai在复平面内对应的点为1,1a，若其在第二象限，则1a20，解得1a1.

故选：C.

题组四复数的模长

1.（2025·福建福州·三模）若z22i，则z（）

A．1B．2C．2D．4

【答案】B

2

【解析】因为z2z2，所以z2.故选：B.

2．（2025·陕西渭南·二模）若z34i5，则z（）

1

A．1B．2C．5D．

5

【答案】A

22

5534i34i3434

【解析】因为z34i5，所以zi，所以z1，

34i34i34i55555

故选：A.

1i

3．（2025·陕西咸阳·二模）已知z，则|zz|（）

33i

222

A．iB．iC．0D．

333

【答案】D

1i(1i)(1i)1122

【解析】根据复数的运算法则，可得zi，所以zi，所以zzi，则|zz|.

33i3(1i)(1i)3333

故选：D.

2i

4.（2025·辽宁鞍山·二模）已知复数z满足z，则z（）

i

A．1B．2C．5D．3

【答案】C

2i2ii2i+12

【解析】z12i，z12i，z1225．故选：C

iii1

5（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数z对应的向量OZ1,2，则z3（）

A．22B．5C．3D．2

【答案】A

【解析】由复数z对应的向量OZ1,2，则z12i，

所以|z3||12i3||22i|(2)22222.故选：A

34i

6.（2025·湖南·模拟预测）设i为虚数单位，则（）

2i

2115

A．5B．5C．iD．

555

【答案】B

22

34i34i2i211i211

【解析】5,

2i2i2i555

故选：B

7（2025·广东深圳·三模）已知复数z满足zi2i，则z（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】D

2i2ii2i+1

【解析】因为zi2i，所以z12i，所以z12i，

iii1

2

所以z1225．

故选：D

8（2025·辽宁·三模）已知i为虚数单位，6x224i,6y20i82i6，则xy（）

315

A．B．log44C．3log2D．

22662

【答案】D

【解析】因为6x224i(22)2(4)226,6y20i82i620218，

1

xy25

所以662618366，则xy2，故xy.

662

故选：D

题组五复数范围内解方程

1．（2025·重庆·模拟预测）已知复数z满足z2z10，则（）

1313

A．ziB．zi

2222

3131

C．ziD．zi

2222

【答案】A

22

2133

【解析】由2可得13，即，可得13，解得13

zz10z0zizizi.

242422222

故选：A.

2．（2025高三·全国·专题练习）已知复数i2是关于x的实系数方程x2pxq0的一个根，则piq（）

A．25B．5C．41D．41

【答案】C

【解析】因为复数i2是关于x的实系数方程x2pxq0的一个根，

2

所以i2pi2q0，所以piq4i+2p3，

所以p4,q2p35，则piq4i541．

故选：C．

3．（2025高三·全国·专题练习）已知复数z是方程x2x10的一个根，则z31等于（）

1333

A．2B．0C．iD．i

2222

【答案】A

【解析】∵复数z是方程x2x10的一个根，

∴z2z10，故z2z1，z2z1，

∴z31z2z1z1z1z2z1112.

故选：A．

2ππ

4.（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数zcosisin和复数z为方程2x2bxc0b,cR的两根，则

1332

下列说法正确的是（）

A．bc1B．z1z21

23

C．z2也为该方程的根D．z1与z2也为方程x1的根

【答案】D

13

【解析】由题可得，复数zi，

122

13

又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则zi，

222

13131313

则，zzii1，

z1z2ii112

22222222

bc

则由韦达定理可知zz1，zz1，

122122

所以bc2，故A,B错误；

2

1313

又2，则z2z且z2z，故错误；

z2ii2122C

2222

2

由于bc2，则z1与z2为方程xx10的两根，

323

因为x1x1xx10，则z1与z2也为方程x1的根，故D正确.

故选：D．

5．（24-25高三上·河北秦皇岛·期中）（多选）已知a，bR，关于x的方程x2axb0有一个根为12i，i

为虚数单位，另一个根为z，则（）

A．该方程存在实数根B．a2，b5

z10

C．z对应的点在第四象限D．

1i2

【答案】BCD

【解析】由12i是方程x2axb0的根，得(12i)2a(12i)b0，

ab30a2

整理得ab3(42a)i0，因此，解得，

42a0b5

所以方程为x22x50，故B正确；

对于A，根据方程x22x50，可得(2)2415160，所以方程无实数根，故A错误；

对于C，D，方程x22x50，由韦达定理可知12iz2，得z12i，

对应的点为(1,2)，在第四象限，

22

z12i12i1i13iz1310

，所以，故C，D正确．

1i1i1i1i21i222

故选：BCD．

2

6．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选）已知z1,z2为方程x10x400的根，则（）

A．z1z210B．z1z210

zz

C．z1z2D．12

【答案】ACD

【解析】设z1abi,z2cdi，

22

因为z1,z2为方程x10x400的根，且Δ104400，则b0,d0，

所以z1z2acbdi10,z1z2acbdbcadi40，即ac10,bd0,acbd40,bcad0，

解得ac5,bd15或ac5,bd15，

所以z1abi5bi,z25di5bi，则z1z2；

22

22，所以zz，故正确，错误

z1515210,z251521012ACDB.

故选：ACD.

2

7（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知z1,z2是关于x的方程x2xm0mR的两根，则（）

A．z1z22B．z1z2

22

C．若m1，则z1z2D．若m1，则z1z22

【答案】ACD

【解析】关于x的二次方程x22xm0,44m．

当m≤1时，0，所以z1,z2R,z1z22，z1z2m，但z1z2不一定成立．

当m1时，0，z1,z2是方程的两个复数根，z1z22,z1z2m仍成立，此时z1z2，故A正确，B错误．

2

若m1，方程x2xm0的两根为x1m1i，所以z1,z2互为共轭复数，C正确．

222

若m1，由于z1z22,z1z2m，所以z1z2z1z22z1z242m2，D正确．

故选：ACD

2

8．（24-25高三上·河北邢台·期中）（多选）若复数z1，z2是方程x8x170的两个根，则（）

A．z1z2为纯虚数B．z1z217

C．z115D．z1z2

【答案】ABD

2

【解析】方程x28x170，841740，

82i

方程x28x170的根为，

2

即方程x28x170的根为4i，4i，

不妨设z14i，z24i，

则z1z22i为纯虚数，故A正确；

2

z1z24i4i16i17，故B正确；

22，故错误；

z14117C

z24i，则z1z2，故D正确.

故选：ABD.

题组六复数模长相关的轨迹问题

1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数z在复平面内对应的点为x,y，若z21，则（）

A．(x2)2y21B．x2(y2)21

C．(x1)2y22D．x2(y1)22

【答案】A

【解析】由题意可知x2yi1，故(x2)2y21，故选：A

2

2．（24-25高三上·安徽·期中）已知复数z11i是关于x的方程xpxq0p,qR的一个根，若复数z满

足zz1pq，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M得周长为（）

A．2πB．4πC．6πD．8π

【答案】D

2

【解析】由复数z11i是关于x的方程xpxq0p,qR的一个根，得1i是该方程的另一根，

则p1i1i2,q(1i)(1i)2，解得p2,q2,|pq|4，

由zz1pq，得|z(1i)|4，因此图形M是以点(1,1)为圆心，4为半径的圆，

所以M得周长为8π.

故选：D

3．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数zabi在复平面内表示一个圆周，则za2b2i在复平面内表示的

点构成的形状为：（）.

A．圆周B．椭圆周C．双曲线的一部分D．线段

【答案】D

【解析】zabi表示点a,b，故a2b2R20a2R2b2，

zR2b2b2i，由此可知z表示：R2b2,b2，在直线yxR2上，

又aR,R,bR,R，所以表示一条线段.

故选：D.

4.（2025·广东汕头·一模）（多选）已知复数z01i，zxyi（x,yR），则下列结论正确的是（）

A．方程zz02表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆

B．方程zz0zz02表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆

C．方程zz0zz01表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线

1

D．方程zz0z0zz0表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线

2

【答案】AD

【解析】根据复数的几何表示知：

对A，方程表示到定点1,1的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确；

对B，方程表示到定点1,1与1,1距离的和为2的动点轨迹，而1,1与1,1的距离也为2，所以z在复平面内

对应点的轨迹为线段，B错误；

对C，方程表示到定点1,1与1,1的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误；

对D，方程表示到定点(-1,0)与1,1的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确．

故选：AD

5．（2024·广西·模拟预测）（多选）复数zxyi（x,yR，i为虚数单位）在复平面内内对应点Zx,y，则

下列为真命题的是（）

A．若z1z1，则点Z在圆上

B．若z1z14，则点Z在椭圆上

C．若z1z12，则点Z在双曲线上

D．若x1z1，则点Z在抛物线上

【答案】BD

【解析】|z1|(x1)2y2表示点(x,y)与(1,0)之间的距离，

22

|z1|(x1)y表示点(x,y)与(1,0)之间的距离，记F1(1,0)，F2(1,0)，

对于A，|z1||z1|，表示点Z(x,y)到F1、F2距离相等，则点Z在线段F1F2的中垂线上，故A错误；

或由(x1)2y2(x1)2y2，整理得x0，所以点Z在x0，故A错误；

对于B，由|z1||z1|4得ZF1ZF2F1F22，这符合椭圆定义，故B正确；

对于C，若|z1||z1|2，ZF1ZF2F1F22，这不符合双曲线定义，故C错误；

对于D，若|x1||z1|，则(x1)2(x1)2y2，整理得y24x，点Z在抛物线，故D正确．

故选：BD．

题组七复数模长相关的轨迹最值

1．（24-25上海·开学考试）若复数z满足z1z14，则z的最小值为（）

A．3B．2C．3D．1

【答案】C

【解析】设zxyi，

因为z1z14，

22

则x1y2x1y24，

即点x,y到1,0和1,0的距离之和为4，且大于2，

所以点x,y在以1,0和1,0为焦点的椭圆上，且2a4,2c2，

x2y2

椭圆方程为1，

43

所以z的最小值为3.

故选：C.

2．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数z满足zi1，则z的取值范围是（）

A．0,1B．0,1C．0,2D．0,2

【答案】D

【解析】因为在复平面内，

zi1表示到点0,1距离为1的所有复数对应的点，

即zi1表示以0,1为圆心，1为半径的圆，

z表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，

最长距离为112，

则z的取值范围是0,2.

故选：D.

3．（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数z1，z2满足|z13i|2，|z24|1，则|z1z2|的最大值是（）

A．62B．62C．7D．8

【答案】D

【解析】设z1abi，a,bR，z2xyi，x,yR，

因为|z13i|2，|z24|1，

22

所以a2b34，x4y21，

所以点Z1a,b的轨迹为以0,3为圆心，2为半径的圆，

点Z2x,y的轨迹为以4,0为圆心，1为半径的圆，

又|z1z2|表示点Z1a,b与Z2x,y的距离，

22

所以|z1z2|的最大值是043038，

故选：D.

4．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数zxyix,yR且z5i2，则满足2xy110的复数z的

个数为（）

A．0B．2C．1D．4

【答案】A

【解析】因为zxyi，所以z5ix5y1i，

22

又z5i2，所以x5y12，

即复数z对应的点在圆心为5,1，半径为2的圆上，

2xy1

又2xy110可以变形为2，

5

即其几何意义为复数z在复平面内的点到直线2xy10的距离为2，

2511

25

又圆心5,1到直线2xy10的距离为2，

221

而2522，所以满足条件的z不存在.

故选：A.

5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知i为虚数单位，若复数z满足|z4i|2，则|z1i|的最大值是.

【答案】102/210

2

【解析】设复数zabi，则|z4i|ab4ia2b42，

2

即a2b44，则点a,b的轨迹为圆心在0,4，半径为2的圆，

22

|z1i|a1b1ia1b1，其表示点a,b到点1,1的距离，

其最大值为1,1到圆心的距离加上半径，即102，

故答案为：102.

6.（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数z、w满足|z|2,z(1i)w（i是虚数单位），则|w2|的最大值

是.

【答案】22/22

【解析】已知|z|2,z(1i)w，则|z||(1i)w||1i||w|.

|z|2

因为|1i|12122，所以|w|