弹簧问题专题训练

弹簧问题专题训练

类型一静力学问题中的弹簧

如图所示，四处完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大

小皆为F的拉力作用，而左端的状况各不相同:①中的弹簧的左端固

定在墙上②中的弹簧的左端也受到大小也为F的拉力的作用③中的

弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动④中的弹簧的左端

拴一个小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量为零,

以L、La、L3>L依次表示四个弹簧的伸长量，则有：（）D

①多WWWWW----F②F<----VAAAAAAAA/---F

③A/WWVWWAF④|lAM/WWWVfF

囹一

A.U>LiB.LI>LC.L>L3D.L=L

324~~p~

类型二在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解\T

如图所示，库直放置在水平面上的轻弹簧上替放着两物<

块P、Q,它们的质量均为或g,均处于静止状态.若突然将‘

一个大小为10N、方向竖直向下的力施加在物块P上,则此瞬间,P对

Q压力的大小为（g取lOm/s?）：（）C

A.5NB.15NC.25ND.35N.

类型三物体在弹簧弹力作用下的动态分析

如图所示，一劲度系数为A=800N/m的轻弹簧两端各

焊接着两个质量均为〃尸12kg的物体力、B。物体力、B

和轻弹簧直立静止在水平地面上，现要加一竖直向上

的力尸在上面物体力上，使物体力起先向上做匀加速运动，经0.4s

物体〃刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取

^lOm/s2,求：

(1)此过程中所加外力方的最大值和最小值。(£=45N,£=285N)

(2)此过程中外力歹所做的功。(49.5J)

类型四物体在弹簧弹力作用下的运动分析

(1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；

(2)若木块由静止起先做匀加速运动，直到A、B分别的过程中，弹

簧的弹性势能削减了0.248J,求这一过程F对木块做的功.

类型五传感器问题

两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板

与下底板之间，箱子只能沿竖直方向运动，如图所示，

两弹簧原长均为0.80m,劲度系数均为60N/m.当箱以

a=2.Om/s2的加速度匀减速上升时,上、下弹簧的长度

分别为0.70m和0.60m(g=10m/s2).若上顶板压力是下底板压力的四分

之一，试推断箱的运动状况。

类型六连接体弹簧中的动力学问题

如图所示，在倾角为0的光滑斜面上有两个

用轻质弹簧相连接的物块A、B,它们的质量

分别为mB,弹簧的劲度系数为k,C为一

固定挡板。系统处一静止状态，现起先用一恒力F沿斜面方向拉物块

A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从起先

到此时物块A的位移d,重力加速度为g。(-k)

类型七连接体弹簧中弹性势能问题

如图，质量为例的物体A经一轻质弹簧与下方地

面上的质量为虑的物体B相连，弹簧的劲度系数

为k,A、B都处于静止状态。一条不行伸长的轻

绳绕过轻滑轮，一端连物体A,另一端连一轻挂钩。

起先时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿

竖直方向。现在挂钩上升一质量为届的物体C并从静止状态释放，己

知它恰好能使B离开地面但不接着上升。若将C换成另一个质量为

(班+外)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离

地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为go

v=2吗(叫+“2)g2

y(2/n)+)k

变式：如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为

mA=2.Okg,mB=l.0kg,mc=l.0kg,现用一CB

轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓

慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108J(弹簧仍处于

弹性范围），然后同时释放，弹簧起先渐渐变长，当弹簧刚好复原原

长时，C恰以4n1/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连。求：

（1）弹簧刚好复原原长时（B与C碰撞前），A和B物块速度的大小。

vA=6"?/s,=12m/s

（2）当弹簧其次次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。（50J）

类型八弹簧综合题中的机械能守恒

质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固"丁

定在地面，平衡时弹簧的压缩量为X°,一物块从钢板正m擘L

上方距离为3xo的A处自由落下，和钢板相碰后共同向

下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，若物块质量也为

m时.，它们恰好不分别。若物块质量为2m,仍从A处自由下落，则物

块回到弹簧原特长。点时还有速度，求：物块向上运动到达的最高点

与o点（弹簧的原长位置）的距离C（力4居）

类型九用功能关系解决弹簧问题

如图所示，长木板他的人端固定一挡板，,

挡板上固定一■原长为lo的轻弹簧，木板连房£（/〃〃〃〃〃〃〃〃〃吃就;、〃寄

r-----5----H

同挡板的质量为乱a、6间距离为s,木板

位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量为/〃，小物块与

木板间的动摩擦因数为"，它们都处于静止状态。现令小物块以初

速匕沿木板向前滑动，直到和弹簧相碰，碰后小物块又返回并恰好回

到〃端而不脱离木板。求：

A£F=1AE=^L

（1）弹簧的最大弹性势能。（24®+M））

（2）弹簧的最大形变量。（x4（团+”）心+70-s）

类型十恒定电流中的弹簧的应用

角速度计可测量匕机、航大器等的转动角

速度，其结构如图所示。当系统00转动

时，元件A发生位移并输出电压信号，成

为飞机、航天器等的制导系统的信号源。

已知A的质量为m,弹簧的劲度系数为K、自然长度为L,电源的电

动势为E、内阻不许，滑动变阻器总长度为lo电阻分布匀称，系统

静止时P在B点，当系统以角速度川转动时，请导出输出电压U和

..mLEco1

U=--------

3的函数式。（Um”））

类型十一电磁感应中的弹簧问题

如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为

L,左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖

直.磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m

的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽

视.初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度

r0.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好

接触.

F一四

⑴求初始时刻导体棒受到的安培力.（氏，水平向左）

⑵若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为EP,

则这一过程中安培力所做的功后和电阻R上产生的焦耳热分别为

Q\=—/欣-E

多少？（120n

⑶导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒起先运动直到最终

静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？（。二5〃%）

例如图3-5,木块B与水平桌面间的

接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木

块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现图3-5

将子弹、木块和弹簧合在一起作探讨对象，则此系统在从子弹起先射

入木块到弹簧压缩到最短的过程

中

[]

A.动量守恒，机械能守恒

B.动量不守恒，机械能不守恒

C.动量守恒，机械能不守恒

D.动量不守恒，机械能守恒

【分析解答】以子弹、弹簧、木块为探讨对象，分析受力。在水平方

向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒，由

于子弹射入木块过程，发生巨烈的摩擦，有摩擦力做、.

Aj.

功，系统机械能削减，也不守恒，故B正确。

例质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧。——3X0

m

下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为X。，如图3-15所示。物

块从钢板正对距离为3X0的A处自由落下，打在钢板上并马上与钢板

一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。己知物体

质量也为小时.,它们恰能回到。点，若物块质量为2m,仍从A处自

由落下，则物块与钢板回到0点时，还具有向上的速度，求物块向上

运动到最高点与。点的距离。

【分析解答】物块从3x。位置自由落下，与地球构成的系统机械能守

恒。则有

12

mg*3x0=ymv0(1)

V。为物块与钢板碰撞时的的速度。因为碰撞板短，内力远大于外力，

钢板与物块间动量守恒。设W为两者碰撞后共同速

mv0=2mvi

⑵

两者以5向下运动恰返回0点，说明此位置速度为零。运动过程中机

械能守恒。设接触位置弹性势能为Ep,则

1

Ep-2mgx0(3)

同理2m物块与in物块有相同的物理过程

碰撞中动量守恒

(4)

2mv0=3mv2

所不同2m与钢板碰撞返回。点速度不为零，设为v则

E£15(丸］涕-3m的।-(3na)v(5)

因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生改变

E『E

p

(6)

由于2m物块与钢板过0点时弹力为零。两者加速度相同为g,之后

钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g,所以与物块分别，物块以v竖

直上抛。

据运动学公式v；-4=2as则由

0-v2=-2gh

例如图3T8所示，轻质弹簧竖直放置在水平匚］%=。

地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落,

从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中

A.重力先做正功，后做负功

图3-18

B.弹力没有做正功

C.金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡

D.金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大。

【分析解答】要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的状况，就

要分析它的运动全过程。为了弄清运动性质，做好受力分析。可以从

图3-19看出运动过程中的情景。

N

从图上可以看到在弹力NVmg时，a的方向向下，v的方向向下，金

属块做加速运动。当弹力N等于重力mg时，a=0加速停止，此时速

度最大。所以C选项正确。弹力方向与位移方向始终反向，所以弹力

没有做正功，B选项正确。重力方向始终与位移同方向，重力做正功,

没有做负功，A选项错。速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此

时弹簧弹性势能最大，故D正确。

所以B,C,D为正确选项。

例A、B球质量均为m,AB间用轻弹簧连接，将A球用细绳下

悬挂于。点，如图示，剪断细绳的瞬间，试分析AB球产生QA

的加速度大小与方向.1

分析:八TOA

起先A球与B球处于平衡状态，其受力图币QA

剪断绳0A瞬间，A、B球均未发生位移改变簧QB

vKX

产生的弹力kx也不会改变，kx=mg,所以明⑼继瞬I日J,

B受力没发生改变，其加速度加=0;A球受到合外力

kx+mg

为kx+mg,其加速度a“=〃?=2g竖直向下.

试分析，将上题中绳与弹簧位置互换后悬挂，将绳剪断瞬

间，AB球加速度的大小与方向？

(aA=g,竖直向上；aB=g,竖直向下)

例光滑斜面倾角。=30°,斜面上放有质量m=lkg的物体,

物体用劲度系数K=500N/m的弹簧与斜面连接，如图所示，当斜面以

a=6m/s2的加速度匀加速向右运动时，m与斜面相对静止，求弹簧

的伸长？

分析：对m进行受力分析

水平方向：设弹力为F

Fcos^—Nsin^=ma(1)

竖直方向：

Fsin^+Ncos。-mg=0(2)

由(1)、(2)式可得

+ma

p=cos300+sin3(rz^3(r=65N

6.5

所以，弹簧伸长X=F/K=^5=L3X10~米

例用木板托住物体明并使得与m连接的弹簧

处于原长，手持木板M向下以加速度a(a<g)做匀加

速运动，求物体m与木板一起做匀加速运动的时间.

分析:

m在与M一起向下做匀加速运动过程中，m受到弹簧的弹力不断增大,

板M对m的支持力不断减小，重力保持不变.m与板M分别的条件为

板M对m的支持力N恰好为零，且m与M运动的加速度恰还相等(下

一时刻将不再相等).

设：m与M分别经验t时间，弹簧伸长为x：

mg-kx=ma

Mg—4)

，x=k

2

又因为：x=2at

⑵%(g-〃)

；.t=4。

例质量为m的物体A压在放在地面上的竖直轻弹簧B上，现用细绳

跨过定滑轮将物体A与另一轻弹簧C连接，当弹簧C处在水平位置且

右端位于a点时，它没有发生形变，已知弹簧B和弹簧C的劲度系数

分别为L和膜，不计定滑轮、细绳的质量和摩擦，将弹簧C的右端由

a点沿水平方向拉到b点时，弹簧B刚好没有形变，求a、b两点间

的距离.

答案:

解析:

开始弹簧B被压缩长度AX।=吆，当弹簧8无形变时，加上升距离为AXr

弹簧C弹力

K2Ax2=〃吆

AX-超

-K、

；.a力间跑离为

AX?+四=〃，&（｝+:

［例3］如图所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为nh和叱的木

块1和2,中间用一原长为1、劲度系数为k的轻弹簧连结起来，木

块与地面间的滑动摩擦因数为〃。现用一水平力向右拉木块

例当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是（）

/+7〃4g

A.k-----------——

12

C.长

.nyn2

【分析】木题有多种方法，最简洁的做法是考虑nh做匀速运动时的受

力平衡。设x表示弹簧的伸长量，马上可得出kx="mg所以1、2之

间的距离应为

l+xJ+?|g

.即选项A正确

若不去求解，只由四个选项也可以进行推断。设木块2的质量m2~0,

则外力相当于干脆加在弹簧右端，要使n匀速运动，则弹簧必定伸长，

因此1、2间的距离应大于1.所以选项C和D都是错误的（ni2-0时，，

距离一1）。再设想叫一0时，则弹簧将保持原长，可见选项B也是错

误的。因此已知四个选项中有一个正确的，所以只能是A。假如不知

道有没有正确的选项，那只应按止常的方法求幺广

解。枭殳图⑶

甲&芯?乙

例如图（3）所示甲、乙两装置，所用的器0°

材都相同，只是接法不同，其中的绳为不行伸长的轻绳，弹簧不计质

量，当用剪子剪断甲图中弹簧，乙图中的绳子的瞬间，A物体是否受

力平衡？

分析：要留意分析物理图景，有条件的同学可以仿照题中做法自己尝

试一下.看是不是这样的状况.甲图，剪断弹簧B球下落，A球仍保持

静止；乙图，剪断绳子B球下落，A球会向上运动.明显乙图中的A

球受力不平衡.为什么会这样呢？首先我们先画出在剪断之前两图

中A的受力分析：

用剪子剪断弹簧是F2突然消逝，剪断，

绳子是FT2突然消逝，由剪断前的受力平衡

条件可得出F2二%之所以出现差别，关键

在于绳上的弹力与弹簧上的弹力不同.绳412

上张力大小，与外界拉它的力的大小有关，甲

在静力问题中，拉绳子的力越大绳子上的弹力也越大；拉绳子的力越

小，绳子上的弹力也越小；拉绳子的力为零，绳子上的弹力为零.方

向总是指向绳的收缩方向，即绳子上的弹力可以发生突变.弹簧的弹

力大小，由胡克定律可知，与它的形变量有关，形变是不能突然回复

的，即弹簧上的弹力不能发生突变.所口在剪断弹簧后变为心’二GA,

而乙图中的E却不能发生突变.

练习

1.木块A、B分别重20N和30N,它们与水平地面之间的动摩擦因数

均为0.3。起先时连接在A、B之间的轻弹簧已经被拉伸了3cm,弹簧

劲度系数为100N/m,系统静止在水平地面上。现用F=10N的水平推

力作用在木块A上，如图所示。力F作用后()

A.木块A所受摩擦力大小是1N

/〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

B.木块A所受摩擦力大小是1N

C.木块A所受摩擦力大小是1N

D.木块A所受摩擦力大小是1N

2.如图所示，质量为10kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端,

弹簧的拉力为5N时，物体A处于静止状态，若小车以Irn/s?的加速

度向右运动后，则()

A.物体A相对小车仍旧静止

B.物体A受到的摩擦力减小

C.物体A受到的摩擦力大小不变

D.物体A受到的弹簧拉力增大

3,图中以8为两带正电的小球，带电量都是0,质量分别为，〃和俄

用一绝缘弹簧联结，弹簧的自然长度很小，可忽视不中达到平痢时,

弹簧的长度为九现把-匀强电场作用于两小球，场轲硒'旨

向b,在两小球的加速度相等的时刻，弹簧的长度为力（）

A.若M二m,则"二"B.若［/＞勿，则Q4

C.若则dV"D.d=&,与,/〃7无关

4.如图3所示，水平面上质量相等的两木块力、〃用一

轻弹簧相连接，整个系统处于平衡状态.现用一竖直向上］

的力尸拉动木块4使木块?!向上做匀加速直线运动，如M

FyFF|Fa

图4场4讨从力/,刚笏在木块/的吵倒木块卜刚，

离刑卜面的瞬间逮个娠，并且选也盛程U味块必延位置为

ABCD

坐标原点，则下列图象中可以表示力歹和木块A的位移x之间关系的

是（）

5.如图所示，在倾角为。的光滑斜面上有两个用劲度系数为〃的轻质

弹簧相连的物块/、B,

质量均为加，起先两物块均处于静止状态。现下压4再静止释爵乂

起先运动，当物块8小数尸

刚要离开挡板时，A的加速度的大小和方向为（）

A.0B.2/in〃，方向沿斜面对下

C.2^sin0,方向沿斜面对上D./in0,方向沿斜面对下

6.如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为0和加2的两物块相连

接，并且静止在光滑的水平面上.现使⑷瞬时获得水平向右的速度

3m/s,以此刻为时间零点，两物块的速度随时间改变的规律如图乙所

示，从图象信息可得（）

A.在套时刻两物块达到共同速度lm/s且弹簧都是处于压缩

状态

B.从叁到右时刻弹簧由伸长状态渐渐复原原鼠5/s

2

c.两物体的质量之比为处：生工1：21

0

0

/

^"S

D.在心时刻两物碱力螂顺原：P?口1

甲

A

7.一小球自/点由静止自由下落到夕点时与弹簧接触.到oc---8

W

点时弹簧被压缩oc

l

到最短.若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由4—6—

C的运动过程中（）

A.小球和弹簧总机械能守恒

B.小球的重力势能随时间匀称削减

C.小球在6点时动能最大

D.到。点时小球重力势能的削减量等于弹簧弹性势能的增加量

8.如图所示，绝缘弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，

带电小球0（可视为质点）固定在光滑绝缘斜面上的〃点，且在通过

弹簧中心的直线劫上。现把与。大小相同，带电性也相同的小球R

从直线助上的N点由静止释放，在小球户与弹簧接触到速度变为零

的过程中（）

A.小球〃的速度是先增大后减小

B.小球P和弹簧的机械能守恒，且夕速度最大时也夕;

所受弹力与库仑力的合力最大-------------

C.小球〃的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹

性势能的总和不变

D.小球〃合力的冲量为零

9.如图所示，质量都是m的物体A、B用轻质弹簧相连，静置于水平

地面上，此时弹簧压缩了假如再给A一个竖直向下的力，使弹簧

再压缩形变始终在弹性限度内，稳定后，

突然撤去竖直向下的力，在A物体向上运动的过程中，下列说法中：

①B物体受到的弹簧的弹力大小等于侬时，A物体的速度最大；②B

物体受到的弹簧的弹力大小等于〃R时，A物体的加速度最④

速度最大；④A物体受到的弹簧的弹力大小等于加g时;A物体的加速

度最大。其中正确的是（）

A.只有①③正确B.只有①④正确

C.只有②③正确D.只有②④正确

10.质量相等的两木块从夕用一轻弹簧栓接，静置于水平地面上，

如图（a）所示。现用一竖直向上的力尸拉动木块儿使木块［里做

木块A将要离开地面时的这一过程，下列说法正吟茁（设此潮弹

簧始终处于弹性限度内）（）⑷⑹

A.力b始终增大

B.弹簧的弹性势能始终减小

C.木块力的动能和重力势能之和先增大后减小

D.两木块小〃和轻弹簧组成的系统的机械能先增大后减小

11.如图所示，两根轻弹簧力。和劭，它们的劲度系数分别为左和人,

它们的a〃端分别固定在质量为加的物体上，儿〃端

分别固定在支架和正下方地面上，当物体力静止时，上

方的弹簧处于原长；若将物体的质量增为原来的3倍,

仍在弹簧的弹性限度内，当物体再次静止时，其相对第

一次静止时位置下降了()

A匕+#2B.2mg-

k\k、

r1

C.2mg——!—D.3叫---

k1十七

12.如图所示，弹簧下面挂一质量为/〃的物体，物体在竖直方向上作

振幅为力的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为喧

物体在振动过程中（）I

A.物体在最低点时的弹力大小应为2嘤

B.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变

C.弹簧的最大弹性势能等于2勿g/1

D.物体的最大动能应等于侬?！

13.如图所示，木块/、〃的质量分别为0.42kg和0.40kg,A、B叠

放在竖直轻弹簧上，弹簧的劲度为A=100N/mo今对A施加一个竖直

向上的拉力F,使A由静止起先以0.50m/s2的加速度向上做匀加速运

2

动（^10m/s）o求：⑴匀加速过程中拉力尸的最大值。（2）假如已知

从A起先运动到A与夕分别过程，弹簧削减的弹性势能为0.248J,

那么此过程拉力对木块做的功是多少？

//力//

14.如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量

0二1.0kg的物体A,平衡时物体下表面距地面力尸40cm,弹簧的弹性

势能回二0.50J。在距物体处正上方高为h=45cm处有一个质量

力尸1.0kg的物体B自由下落后，与物体力碰撞并马上以相同的速度运

动（两物体粘连在一起），当弹簧压缩量最大时，物体距地面的高度

〃=6.55cm。^=10m/s2o

（1）已知弹簧的形变（拉伸或者压缩）量为X时的弹性—

势能弓=3代2,式中4为弹簧的劲度系数。求弹簧不受作

用力时的自然长度/。；

（2）求两物体做简谐运动的振幅；

（3）求两物体运动到最高点时的弹性势能。

15.有一倾角为。的斜面，其底端固定一挡板也另有三个木块从

〃和C,它们的质量分别为外=屈二如<=3/77,它们与斜面间的动摩擦

因数都相同.其中木块/放于斜面上并通过一轻弹簧与挡板〃相连，

如图所示.起先时，木块/静止在〃处，弹簧处于自然伸长状态.木

块B在0点以初速度外向下运动，P、。间的距军心至如穗6

在下滑过程中做匀速直线运动，与木块夕蟋迪土嚏［下运动，

但不粘连.它们到达一个最低点后又向上运动，木块8向上运动恰好

能回到。点.若木块力仍静放于“点，木块。从。点处起先以初速度

辛％向下运动，经验同样过程，最终木块C停在斜面的〃点，求：

(1)木块力与力相撞后瞬间的速度匕。

(2)弹簧第一次被压缩时获得的最大弹性势能区。

(3)P、/?间的距离£,的大小。

答案

题1234567891c)1112

号

答BACABCABBCADACAACAC

案

13.(1)600m/s；(2)0.30；(3)36J

14.(1)设物体力在弹簧上平衡时弹簧的压缩量为x”弹簧的劲度系

数为k

依据力的平衡条件有uhg=kXx

而耳)

解得：A=100N/m,^=0.10m

所以，弹簧不受作用力时的自然长度左分x尸0.50m

(2)两物体运动过程中，弹簧弹力等于两物体总重力时具有最大速

度，此位置就是两物体粘合后做简谐运动的平衡位置

设在平衡位置弹簧的压缩量为题则5h+Mg=kx2,解得：至二0.20m,

设此时弹簧的长度为A,贝ij