2021年清华大学强基计划测试数学试题

强基计划笔试面试真题汇总

2021年清华大学强基计划测试数学试题

注：来源于网络.部分题目不太准确.

L恰有一个实数尤使得/一。1一1=0成立，求。的取值范围.

2.[%]为高斯函数，则卬2]+卬3]+[%/5]=%有几组解?

3.已知m,建的最大公因数为10!,最小公倍数为50!,求(加,九)的对数.

4.设。为常数，函数/(%)满足:

/(0)=1,/*(索+y)=/(x)/(a-

则()

A.f(a)=：B.：恒成立C.满足条件的不止一个

5.已知三棱锥。・4B。中，AC=BC=AD=BD=1,求三棱锥。

体积的最大值.

6.已知。为8c的中点，且/CAD=15。，求/ABC的最大值.

7.已知a+b+c=l,求a%b-c)+。“。一二)+°2(a-b)的最大值.

8.将圆十等分，取其中四点，则构成凸四边形且梯形的取法有多少种？

2、.

9.E,^Q/(x)=sinxcosx+sinx+^cosx,xE(0,n/2),求/'(%)的最大值.

5

10.已知集合S的元素为1,2,…，2021里面的数，要求S中任意两项相加

不是5的倍数，问S中元素最多有多少.

11.已知八%)=54+6其一九2-2,逆时针至少转()度，仍是函数.

12.已知/=4K,A(-2,3)作两条切线交？轴于8。，求△ABC外接圆

的方程.

13.已知椭圆二+/=I,A(—2,0),尸(1,0),过尸作/交椭圆于朋N,

4

AM.AN交、=1于3、D,问BP+7)尸和BP•。尸是否为定值，如果

是，则定值是多少？

14.已知椭圆上+/=i.过点尸(L。)作斜率存在的直线交椭圆于MN两

4

点，过点4(2,0)作AA么AN交直线x=l于BC两点，则?8.PC的绝对值

是否为定值？可否等于2?

15.看，演,毛，咫为互不相等的正实数.匕，/，莺3,64为七，天,与天的任意

顺序排列，且

X=max{min{&】，xj2},min{x-3,xj4}},Y=min{max{x-pxf2},max{x-3,x-4}}.

求x大于y的概率.

16.四边形AEBC为圆0外接，BCI/DE,BC为直径,BE=12,

BE=DC=14.求AE,BD.

17.有限项等差数列的公差为4,从第二项起，各项之和+首项的平方

<100,则该数列可能有几项？

作文题目：（2篇500字）

第一篇是“简述你的第一志愿的内容、研究与应用方向和你学

这门学科的优势。”

第二篇是“阅读袁隆平《我的梦想》，结合材料阐述你选专业

的原因和你的梦想。”

6月29日上午，北京大学2021年强基计划校测笔试考试开考，

笔试在全国各地设置考点。

考试时间：6月29日上午9点-11点，共计2个小时。

考试科目：统一考查语文、数学。

其中语文40题，数学20题，均为单项选择。语文每题2.5

分，共100分；数学每题5分，共100分。

试题难度：考生普遍反馈数学较难，试题达联赛二试难度,部

分有竞赛基础的考生也表示有大约1/4左右的试题不会。

以下数学试题来源于：猿辅导

2021年北京大学强基计划

笔试数学试题与解析

1.己知O为△ABC的外心，AB.AC与△OBC的外接圆交于。、E.若

DE=OA,贝！.

答案

如图所示，连接BE.

因为DE=OC,在△OBC外接圆中，ZDBE=ZOBC，进而可得

ZDBO=2EBC.

另外在OO中，ZAOB=2ZACB.

以及ZAOB+2ZOBD=180°.

即2ZBCE+2ZEBC=180°.

即AEBC为直角三角形，且石C为直角边，8c为第二个圆的直径.

所以NO5C=4.

4

2.方程/+广=才的正整数解Q/d)的组数为.

答案无穷

解考虑至(j2"+2,=,取九三0(mod3),n=0(mod4),n=-l(mod5)BP

可.

例如取屋=60^+24,kwN.

此时（220X）3+（215b6）4=（212b5）3.

3.若实数a,b,c,d满足ab+bc+cd+da=1,贝(JQ?+2〃+3/+4d,的最小

值为.

答案2

解因式分解可得(Q+C)(b+d)=1.

根据柯西不等式可得（a>(a+c)2,即a24-3c2>-(a+c)2.

2

同样地，（2/+4/）>(fe+J),即2b2+4屋之々6+砌2,

3

因此。2+2/+3?+41之%。+/+才6+砌2之2(a+c)(b+d)=2.

等号成立条件为a:b:c:d=3:2:l:l,其中c=c?=±^-.

202iroi

4.已知y=£三,则y的个位数字是

i=07

答案5

解由23=l(mod7)，可知2模7是三循环的，

23fe=l(mod7),23**1=2(mod7),=4(mod7),其中/?wN.

24

——+——

23-1)(12326...22019)

--------+---+----+---+-------674=l+23+26+--+22019-674

7

结合

8“三6(modl0),三8(modl0),84fe-2三4(modl0),84fe-3三2(modl0)

(其中左wN),可知丫三1+168(8+4+2+6)+8—674三5(modl0).

5.若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则

连通区域数量最大值为.

答案20101

解从第儿个二次曲线开始计算，新增加一个二次曲线变成L+1条的情形，这

条二次曲线与原来每一个二次曲线最多有4个交点，相当于最多新增加4%个交点.

(1)如果是椭圆或者圆，被分成4/?段圆弧，相当于增加连通区域最多4R个；

⑵如果是抛物线，被分成线+1段曲线，相当于最多增加连通区域4/e+l个；

(3)如果是双曲线，被分成软+2段曲线，相当于最多增加连通区域4儿+2个；

(4)如果是两条直线，明显相交直线更优，相当于依次加入两条直线，最多增加连

通区域4左+3个.

如果包括二次曲线的退化情形，例如两条相交直线，则从第一个曲线开始，每次

均引入相交直线，答案为

4+(4x1+3)+(4x2+3)+…+(4x99+3)=20101.

选取200条直线两两相交，但交点不重合的情形均可.

【注】如果二次曲线只计算圆、椭圆、双曲线、抛物线，则从第一个曲线开始，每

次均引入双曲线,答案为

3+（4xl+2）+（4x2+2）+・・・+（4x99+2）=20001.

选取200条离心率足够大（几乎一组平行直线），绕着其中心旋转180。过程中，选

取任意200个位置即可.

11

若

若

X<则x>

已知实数/）数列｛与｝满足n-IXn-n--

6.6[0,1,-12-12

则4=2/_1-1（九=1,2,…）.现知与二期必，则可能的％的个数为

答案22021—1

解首先我们证明1）恒成立.

若绘w0,2），则

%=2xte[0,1);

若看w则/.1=2阳

由数学归纳法知，&e[0,l）对V7^wN*成立，那么有

”={4}={2九/},其中{0表示a的小数部分.

X221

"2021=(2°X0J.

2021

A{2x0}=x0,即为整数.

，“。7T但=0，12…,2.-2).

・•・可能的与的值共有22必-1个.

7.设”=122・一21.若109一1|%,贝I」7i的最小值为.

答案80

，_~in71'1-1

解由于%=11…

那么由1。9-1卜可得

心1”三11.

9

故

9x(109-l)|10a+1-l.

于是109-1,0标1一1.

利用辗转相除法可以证明(am-1,an-l)=a(mn)-l(a为大于1的正整数).

于是，我们有9|几+1.令几+1=泌，代入原式贝I」有9乂(1。9-1)[10"-1.

而

10"-1=(109-1)x(lO9"^+109(ft-2)+-•-+IO9+1),

因此，我们有

9(-1)9

9110*+109G-2)+...+10+1,

继而9M.所以上29.再结合九+1281可知，孔的最小值为80.

8.己知a、6、c是三个不全相等的实数且满足。=ab+c、b=be+a、

c=ca+6.贝!]Q+6+C二.

答案3

解先证明a、b、c均不为0,若否，不妨设a=0,则由a二ab+c可得c=0,

同理可得6=0,与a、b、c不全相等矛盾.所以a、b、c均不为0.

题目中三式相加容易得到ab+bc+ca=0,

又因为题目中三式等价于a(l-b)=c、6(l-c)=a.c(l-a)=fe,

此三式相乘得至ijQbc(l-a)(l-»(l-c)=Qbc.

由abewO,所以=即

l-(a+b+c)-(ab+bc+ca)-abc=1.

由于ab+bc+ca=0,所以Q6C=-(a+b+c),

又因为题目中三式等价于

ac=abc-^-c2,ab=abc^-a2,be=abc+b)

此三式相加得到

ab+bc+ca=3abc+a2+b2+c2,

2

艮P3(ab+be+CQ)=3abc+(a+b+c).

由ab+bc+ca=0及abc=—(<7+6+。)得至［］一3(0+》+0)0+((1+6+6)2=0

因为Q+b+c=-abc工0,所以a+b+c=3.

9.如图，为△A2C中NA的平分线.过A作AO的垂线过C作

CEIIAD交AH于点、E,若BE与AD交于点、F,且AB=6,AC=8,

BC=7.贝!|C尸=.

答案廊

解延长CE,交于G.钻是ZBAC的外角平分线，结合钻垂直于CE

易可知E为CG的中点，从而尸为AD的中点,因此，

|CF|［而+珂=同阿+国+2历京

=^42+82+2x4x8xcosZBCA

2

=1^/124=731.

故CF二屈.

10.如果一个十位数的各位数字之和为81,则称是一个，筑梦数”.则筑梦数的个

数为.

答案48619

解设尸二2a3a8a9aio

则

Q］+Qn+•••+Q］o=81,

其中1«Q］K9,0<at<9,i=2,3,・・・,10.

令a=9-％则有

a+a+・・・+40=9,

其中0<fer<9,i=2,3,・：10.

而该方程的非负整数解共=或=48620组.

除去唯一一组不合题意的(9,0,…,0),故共有48620-1=48619个筑梦数.

11.设4是与的差的绝对值最小的整数，&是与心儿的差的绝对值最小的整

数.记［2］的前几项和为S,，［占］的前几项和为贝！12ToQ—a。。的值为

答案1

Tf,1»l^in

>J/—TGk——，为+—O—ek2-k+—k2+k-^-—

V2I2，2)2I494

?+—,2k2+2/2+-।»ne[2k2-2k+l,2筋+2fe].

22

故有4儿个zi使得an=k,于是

4G'对+/16=24+9

Sioo

<,1,l^ir*2-^1

类似地，bn=ho在iG

I22)[2

故共有儿个儿使得超二人・贝(1

13r1、19

=V—xkHx9=13H,

纵°0£1儿J1414

(Q、(16、

故271=2〔13+1--24+—=1.

Go0cUI7J

12.设正整数九42021,且孔s—5几3+41+7是完全平方数.贝！J可能的"的个数为

答案0

解-on3+4n+7=n(n2-l)(n2-4)+7.

由于完全平方数模4余0或1,故(/_1乂於一勺被4整除.从而

7〃-1乂/_4)+7模4余3,不可能是完全平方数.故这样的「共0个.

13.方程x2—2专，+3/_4%+5=0的整数解的组数为.

答案2

解方程等价于/一(2y+4)%+31y2+5=0,

判别式A=(2?+4)2—4(3y2+5)=4(—2y2+4^-1)=4(1-2(^-1)2)<4

判别式是一个平方数，经检验只能△=4,此时y=1.

方程转化为工2—6化+8—0,解得工一2或%一4.

因此(招))6{(2,1),(4,1)}.

14.现有7把钥匙和7把锁.用这些钥匙随机开锁，则A，&，A这三把钥匙

不能打开对应的锁的概率是

答案黑

lOo

解全部情形共7!种.

记第，把锁所被打开的情形构成集合4,，=1,2,3.

则|阕=6!,性。4卜5!,2c闻=4!.

7!-3x6!+3x5!-4!67

由容斥原理知概率为

7!"105

15.设正整数九均不大于2021,且占〈及〈竺卢.则这样的数组(私九)

个数为.

答案3449.

解原式等价于的几-1<m<V2(n+1).

记区间人=(72n-l,V2(n+l)).

则血应(j+1)),且“c4=0(儿之j+2).

由于/(j+1)不为整数，故I,cI网内恰有一个整数.

当冷之1430时,x/2n-l>2021.

故所求数组(m,n)的个数是诸141s=1,2,・・・,1429)之和.

每个mc{l,2,…,2021}都出现在某个乙之中，且当且仅当对于某个j,

Anc/jClj.i时，m会出现在两个4内.

因此，所求数组个数为2021+1428=3449.

16.有三个给定的经过原点的平面.过原点作第四个平面a,使之与给定的三个

平面形成的三个二面角均相等.则这样的a的个数是.

答案1或4

解若三个平面法向量共面（记平面为尸），则只有一个和他们均垂直的平面满

足要求.这是因为a的法向量在小上的投影必须在这三个平面法向量两两形成的

角的角平分线上，因此投影只能是零向量，也就是a的法向量需要与夕垂直.

若三个平面法向量不共面，则任意两个法向量所在基线均有两个角分面,我们考虑

第一个平面和第二个平面的两个角分面，以及第二个平面和第三个平面的两个角

分面，一共可以产生四条交线，这四条交线即为第四个平面法向量的基线.极特殊

情况，前三个平面如果两两垂直，即可以考虑空间直角坐标系中xQy,yOz,

zOx,与他们三个夹角一样的第四个平面法向量的方向，即为每个卦限的中分线,

一共四条，对应四个平面.

【注】非常容易产生的一种错误是认为此题的答案仅有4.这是因为没有考虑三

个平面的法向量共面的情形.

17.若a,b,c为非负实数，fia2+b2+c2-ab-bc-ca=25,贝!Ja+b+c的最

小值为.

答案5

解(a+fe+c)2>a2+fe2+c2-ad-6c-ca=25.

当(a也c)=(5,0,0),(0,5,0)或(0,0,5)取等.

18.已知数列｛4｝满足％=2,4T=2%.数列他｝满足4=5,47=5%.若

正整数m满足勾>a25,则机的最小值为.

答案24

解分两步证明

(1)先证明对任意正整数八有4>Qz，

采用数学归纳法.当71=1时有々=5>z?=%显然成立.

假设当屋二儿时结论成立，即瓦〉Q一,

则当建二儿+1时，有&X=5*>>2aAi=4.2

所以对屋=儿+1结论也成立.

所以对任意正整数71有4>4T.

再证明对任意正整数几有

(2)4.2>36n.

当几=1时，有a?=16>15=3”,

假设当n=k时结论成立，即a—>3&,

则当n=儿+1时,

83

4.3=2al>23bk=8^=-xobk>1+—>3x54

o

所以对71二L+1结论也成立.

所以对任意正整数几有4.2>3bti.

此时我们由(1)可以得到>。25,

由(2)可以得到。25>3皿>%,

所以满足的的最小值为

2>a25m24.

19.若欠1，X2,・・・，欠7为非负整数，则方程与+◎+…+欠7=欠/2…37的解有

______组.

答案85

解显然叼=…=匕二。是满足条件的一组解，且只要与，电，…，匕中

有0,则剩余的必须全为0.

下面只考虑欠1，欠2，…，占非零的情形.不妨设0cxi«X2K…,则

…匕

xtx2<7X7=>x^x2•­•x6<7.

显然此时必有再=%=&=%=1（否则与23=8>7矛盾）.于是命题等价

于x5x6x7=4+x54-x6+xT,且由x5x6<7,可得/«2・

情形1X5=l.

贝!I/%?=5+X6+X7=>(x6-l)(x7-1)=6.

满足条件的解有(%6，%7)=(2,7),(3,4).

情形2X5=2.

则%6=2或3.

x=2时，=8+匕(舍)；

64X7

x=3时，=9+匕(舍).

66X7

故此类情形无解.

综上

(三,x2,…,x7)=(0,0,0,0,0,0,0),(1,1,1,1,1,2,7)或(1,1,1,1,1,3,4).

考虑到轮换性，故共有7x6x2+1=85组解.

20.己知a,b,ceR*,(a+fe-c)

abc

a4+64+c4

的最小值.

答案417+240的

解原式整理可得

(a+b-c代+1-口=3

=>(a+6)

abcab(a+b)一

2.12

由齐次性，不妨设a“l.贝即（a+b）2-2N2（a+b）.因此

a+b21+\/3.

于是，

Q4+b，=（。2+62）2一2之,1+君/一2）-2=14+8^/3.

故

++/+孙…）仔+尉+1

-⑹+6,）2+3+/）.2旧.品+1

=（（?+/+1）22（15+8y/3）2=417+240君.

当c=l,ab=1,Q+b=1+而时等号成立.这样的a,b显然是存在的.

笔试语文：

包括3篇现代文和3篇古诗文

现代文:

冯友兰《论儒与侠的共同道德》

废名《万寿宫》

穆旦《城市之舞》

古诗文:

何逊《咏早梅》

《世说新语•政事》陶公性检厉《晋阳秋》

元好问《市隐斋记》

破格生面试试题：

1、自我介绍，时间不超过2分钟

2、请列举几个图论中的概念并加以说明

3、在数学学习中遇到了什么困难是如何解决的？

上海交通大学

2021年上海交通大学强基校测包括笔试、面试和体质测试,

于6月28日-7月1日在上海交通大学闵行校区举行，其中

笔试科目不计入成绩。

考试情况：

笔试：基于所报专业，数学、物理、化学、生物任选一科。

笔试时间6月28日上午9:00-11:00,考试时长120分钟，

考生7：30入场。

面试：上交大面试采用三对一模式，考生先进行自我介绍，

考官随机提问。

校测试题：

2021年上海交通大学强基计划数学试题

乐思数学研究

1.已知△/加•中，tanC=-3tan/l,求tan8最大值.

2.求边长为1的正五边形的对角线长.

3.实数a,b>l,满足檐(0+6)=电°+电6,求的值.

4.数列q=arctan,S”表不前〃项和，求HmS..

2n'I，

5)2个抛物线最多分平面为7份，3

个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为几份？

6.求方程Ia-卜目的实根个数.

1

、:已开.思题字斫究

2021年上海交通大学强基计划数学试题及其解析

1.已知△/8C中，lanC=-3lan/,求tan"最大值.

参考答案：与

解析：可得=8=-3(/+。)=---0=必2_也,

3

”3"lane1+3lanF_!_+3tanJ

tanA

当且仅当lan/=坐等号成立.

2.求边长为1的正五边形的对角线,长.

参考答案；)川丁6

解析：设对角线长为“，可得“=J2-2cos72。=2sin36。=.

2

3.实数a,b>I、满足lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-l)+lg(b-l)的值.

参考答案：0

解析：)由题可得"任时，

因而lg(a-1)+lg(/>-1)=lg(ab-a-b+1)=0.

4.数列=arcian—,S.表不前〃项和,求limSa.

参考答案：工

4

解析：可得arctan---arctan(2〃+I)-arctan(2/r~1),

因而limSn=lim(arctan(2w+!)-arctan(2w-1))=

5.2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线

最多分平面为几份？

参考答案：29

解析：1个抛物线最多分平面为2份,

2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，依次增加个数为

5.9,13,因而可得29=16+13份.

6.求方程|加7卜目的实根个数.

参考答案：2

解析：由题可得应及，平方可得，（&7『=（2-力.

整理可得,2x（0-x）=O,因而，30或3,

因而，方程的实根个数为2・

、心乐思数字研究

面试

1、自我评价一下你的性格特点是什么样的？

2、为什么蜡烛的火焰是向上的？

复旦大学强基计划校测于6月30日-7月2日在复旦大学举行

（含笔试、面试和体质测试），其中：

1、A类考生根据所填报的专业志愿参加笔试，满分100分，按

分省分专业计划数的2倍划定笔试合格线：笔试合格方可参加

面试，笔试不合格不再参加后续选拔环节、不计校测成绩。

2、组织相关学科专家对入围考生进行面试，专家、考生以“双

随机”抽签方式配对，面试全程录音录像。

3、校测成绩满分为150分。

2021年复旦大学强基计划数学试题

作者：lesimath

1.命题"："△ABC的内心与外心重合”是命题g:"△力”,是正三角形

的什么条件

2.巳知/(x)周期为1,则命题〃：“/(x)+/(x+力)=2”是命题(7：”/(x)

恒为1”的什么条件？

3./O是的角平分线，月8=3,JC=8,2?C=7,求/£＞的长.

4究)求卜+导八1的常数项.

1

、心乐思题字:研究

2022

5.已知03M18,I9/M+W=2O2I,则”=

6.已知石，鸟分别是椭圆的左右焦点，8为椭圆上一点，延长外8到

点、A,满足防=84."的中点为，，则下列两个结论是否正确：

结论1:"18”;结论2:"〃为椭圆的切线.

7.若g(x)=x+"]+2『W_U,y(x)=|og2.v,解不等式.

8.方程l8x+4y+9:=202l的正整数解有多少组？

9.)确定曲线|x+M=2j(x-3)2+(y+6)2的

类型.

、心乐思数字仍究

io.求由曲线国+iMw石，X，+围成的面积.

口,求极坐标0“的曲线轨迹.

12.若数列｛4｝满足4—+4%%=l2x4”・=0,求Hm%.

13.求展开式中妁常数项.

、二々先恩数字研究

2021年复旦大学强基计划数学试题及其解析

作者：lesimath

1.命题p;“△血的内心与外心重合”是命题夕；“△4?C是正三角形”

的什么条件？

参考答案：充要条件

解析：显然，命题〃是命题g的必要条件；.

下证充分性，如图，设。为A42?C的内心和外心，/\

过。作三边垂线，垂足分别记为八Q、R,

由于ZQAO=Z.OAR,且sin/OAR=—,BP-C

(yA

由于ZPCO=Z.RCO,且sin/OCR=空，因而/BAC=ZBCA;

同理/8/iC=48C;所以〃是4的充分条件.

2.已知/(x)周期为1,则命题p:"/(x)+/(x+G)=2”是命题g:"/(x)

恒为1”的什么条件？

参考答案：必要不充分条件

解析：显然，命题〃是命题g的必要条件;

构造如下函数：

O,xG^a+2k-yf3\a,kez[

/(x)=2,xw{a+(24+l).Glake,可得命题p不是命题q的充分条件.

1,其它

3.4)是的角平分线,，AB=3,/fC=8,8c=7,求40的长.

参考答案：誓(

解析1：由于cos/H/C=：,因而NE4C=：,而2血=2曲+£小，

4

乐思数字斫究

因而-x3x8xsin—=—x3xADxsin—+—x8xADxsin—,可得/D=二7.1

232626II

4.求的常数项.

)参考答案：1G80

解析：设通项为5行(力

因而2「+2P=4(8-3r-p),可得7r+3p=16.

由于/".peN,可得/•=1,p=3.

因而常数项为C；V0C；=1680.

5.已知此K18,19团+"=202y2,则”=

)参考答案：1

解析：由题可得，202产口？20，.©).

由于7,三1(nxxH9),因而20212022=1(mod19).

综上，〃=1.

6.已知尤,尼分别是椭圆的左右焦点,"为椭圆上一点,延长用“到

点4,满足期;=4力.4；的中点为"，则下列两个结论是否正确：

结论1:AF}1BH;结论2:为椭圆的切线.

参考答案：结论1,2都正确

解析：如图，由题可得，因为切;=44.

的中点为〃，所以"：上8〃，结论1正确；

由椭圆的光学性质可知，结论2也正确.

、心乐思数字研究

7.若g(x)="E+2*N2],y(x)=log2x,解不等式0<g(/(x))<l・

参考答案：xw[」)u2T

解析：g(x)=：(x+[x]+2-[x+W]+2)="+卜]-[+附)+1.

下面解不等式0<g(x)<l.

(1)若WO,则g(x)=；(x+H)+l.

1)当时，0<g(x)=；(x-l)+l<1,则xw(-2.2),即xw(-2,-l);

2)当-2令<-1时，0<g(.r)=；(i-2)+1<1,则X€(-3,1),即XJ-I.O);

3)当x<-2时，q(x)<；(-2-2)+1=0,原不等式无解；

4)当工=0时，g(x)=l,原不等式无解；

(2)若x>0,贝Ug(x)=；(x+[x]T2x])+l.

设x=A+a,其中〃wN,ore[0,1),则

g(x)=；(k+a+A-[2A+2a])+1=；(a-[2a])+1.

1)当;Wa<l时，0<j?(x)=j(a-1)+1<l,贝iJaw(-3J),即

2)当0^a<?时，0cg(x)=?a+l<l,则aw(~4,0),原不等式无解；

24

综上，不等式0<g(x)vI的解集为(-2,0)U[*+；,A+1)(AWN).

因此,不等式0<g(/(x))<l的解集满足

/(x)=log2xe(-2.0)UA+1,A+1)(AwN).解得2八"2，"(£?N).

8.方程l8x+4y+9==2021的正整数解有多少组？

参考答案：3080

解析：(I8x+4y+9r)£2021(mod9),可得4y三5(mod9),因而),=9r+8,r6N.

6

代入可得：2x+4r+z=221,①,则2工+4「+二三221(niod4),可得2x+二三1(mod4),

因而m阈="3其中―

x=2(p+l)[.v=2p+l

代入方程①可得：p+r+s=54或p+r+s=54,其中/•,s,peN.

隔板法，可得不定方程的解共有2c鼠=3080组.

9.确定曲线|x+H=2j(x-3/+(y+6/的类型.

参考答案：以(3.⑹为焦点，》+尸0为准线，离心率为4的椭圆.

解析：可得喈=后”..3)2+(尸6『，则4=叵吾乎亘，由椭圆

72

的第二定义可知，该曲线是以(3.Y)为焦点，x+y=0为准线，离心率为

孝的椭圆.

11.求由曲线X，+/》2围成的面积.

参考答案：)4arvcos^-lj-2^V4^

解析：如图.

S=4(邑EM-Sw〃加-£皿)，因为。E=0D=《，OA=4i=OC、

因而S3Aa、=；AC•h=gx2x1()1-#,

由余弦定理得cos/">C=H-l,易得乙4Q8+4OC/，

22

7

、心乐思教学研究

cosZAOC'=n\,406=arcsin15-11，

因而sinZAOB

2

可得S$K“H=—NAOBx2=arcsin

(g-1)-J4-兀.

所以S=2"4arvsinarccos

11.求极坐标0=0的曲线轨迹.

参考答案：阿基米德螺线

解析：该曲线轨迹为阿基米德螺线.

12.若数歹圾｝满足4联+4、3-12x44=0,求lim2.

参考答案：i

2

解析：令〃=4%得々.2+4"“=1次，特征方程为/+4x72=0,

〉因而』="，M=2,

可得通项为4=q(-6)”+C22",

二/>2一玲

可得2n48,因而q=log_A=*(G.(-6)"+小幻

%=381+4c,b,+6qV',

r2=~\6~

由于q(-6)"+与2">0,因而q=0,c,>0,可得a”=logs®,2")=log4C2+g，

则.殳=.(㈣幺+9=］

»-»»«nifn2)2

13.求展开式］京一j)(4一］"中妁常数项.

参考答案：-15

解析：)令4=八则|亲一5)'一5；'的

常数项为2C：(-1)-3C：=-I5.

8

中国科学技术大学

中国科学技术大学2021年强基计划笔面试考试于6月30日进

行，其中笔试时间为上午8：00-11：30,面试时间为下午14：00-

19:00,校测地点为中国科学技术大学西校区第三教学楼。广东

考生的校测环节G线上进行。

测试内容：

笔试：科目为数学、物理，重点考察相关学科基础、逻辑思维

能力和运算能力；

面试：结合考生的综合素质评价材料和面试表现，重点考察兴

趣志向、学科特长和创新潜力。面试采取专家、考生“双随

机”抽签的方式，测试全程录音录像。

测试难度：

据考生分享，中科大强基校测数学试题大概在竞赛初赛水平，

物理涉及大学物理知识。

校测试题：

第9题解析：恩次方根

这可以看成是费马大定理在多项式中的情况.

我们可以用Mason・Stothers定理来解决这道凯(摘门《高等代数》郭学军)

对任意的多项式F,我们用no(F)T的互不相同的根的个数，即如果有重

根的话，则不考虑其重数，都只记一次.

MasonStothers定理假设f.g.五是3个(索的多项式.rfij\,fg=h

,那么

max(deg(/),deg(^),deg(h))<n^fgh)-1

证明令F=g,G=S，则F+G=L两边求导可得F'+G'=0.所以

hh

]F+^G=。，

即

g=G=F”F

E一下一~Gf/G・

假设

f(i)=ci3-%)%

gQ)=c2(一泊

h(x)=c33-T%)”,

则

gr/rx-OtiX-?k

7二一砺:一G

X-,8j1X-7k

记

P3)=n(0-、)IJQ-㈤n(i

p!Q!

则九o(fgh)=7io(p)・\\.F[=。丁和61=p—均为多项式.

又因为生=:一旦♦所以fg的次数均不大于%(p)-i.所以

G1

max(deg(7),deg(^),deg(h.))<n^fgh)-1.

回到原题,对尸,g"，次使用Mason・Stothers定理，注意到

no(fngnhn)=no(fgh)<deg/+degg+degh

有

degf+degg+degh-1

>max(ndegf,ndegg.ndegh)

>—(ndeg/4-ndegg+mdegh)

o

即

(1-j)(deg/+degg+degh)>1

由此得到n<3.

n=1时是平凡的;

ri=2时，注意到

(X2-I)2+(26)2=Q2+1)2

证毕.

注：更一般地.方程r+gb=胪有两两互素地多项式解，但口仅当(％b,C)

满足卜加某个形式：

(1,772,71),771,72>1；

(2,2,n),n22;

(2,3,3);

(2,3,4);

(2,3,5).

南京大学

南京大学2021强基计划校测于6月29日-30日举行，具体

面试模式及安排如下：

广东考生：远程网络面试，面试时间6月30日

其他省份考生：进校参加测试，地点为南京大学仙林校区。

测试项目包括笔试、面试及体育测试，时间6月29日-30

日。

日期时间测试项目地点

13:30-

笔试教学楼—区2-5楼

29日15:00

15:30-结束体育测试炜华体育场

30B9:00-结束面试

校测难度:

难度都在高考偏上，数学有部分预赛水平。

校测试题：

南大校测理科考数学+物理，考试时间90分钟。一共6道大

题，3道数学3道物理。

笔试；

数学

333

1O求M=[V1]+[V2]+……+[V2021]

2。已知OWa+b,b+c,c+aW