小学数学五年级下册《用公倍数解决简单问题》教学设计（导学案+分层作业）

小学数学五年级下册《用公倍数解决简单问题》教学设计（导学案+分层作业）

一、教材分析与教学解读

【基础】本节课是《分数的意义和性质》单元的延伸与深化，隶属于“数与代数”领域。学生已在前期掌握了公倍数、最小公倍数的概念及基本求法，为本节课将抽象的数学概念应用于具体情境奠定了知识与经验基础。【重要】本节课的核心价值在于实现从“数学知识”到“生活智慧”的跨越。教材以“铺地砖”这一经典生活场景为载体，旨在引导学生经历“现实问题—数学建模—解释应用”的全过程。【非常重要】教学不能止步于让学生求出给定的数的最小公倍数，而应着力于培养学生的“模型意识”和“应用意识”。教师需引导学生深刻理解：问题的本质是在寻找一个数，这个数能同时被两个（或几个）已知数整除，即求这几个数的“公倍数”。这不仅是技能的训练，更是数学思维的塑造。【高频考点】用最小公倍数解决铺地砖、分东西、时间间隔等问题是本章节的核心考点，其中对问题情境中隐含的“公倍数”关系的提炼是关键。

二、教学目标

1.【基础】知识与技能：结合具体情境，使学生进一步理解公倍数和最小公倍数的意义，能熟练运用列举法、筛选法、短除法等策略解决“铺地砖”类及与之相类似的简单实际问题。

2.【重要】过程与方法：让学生经历“阅读理解—分析解答—回顾反思”的问题解决全过程。通过动手操作（摆一摆、画一画）与抽象思考（算一算、议一算）相结合的方式，经历将实际问题抽象为数学模型（公倍数问题）并进行解释与应用的过程，培养观察、分析、归纳和数学建模能力。【非常重要】

3.【热点】情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体验成功的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心。通过“铺地砖”的设计，初步渗透审美意识和优化思想。

三、教学重难点

1.【重点】理解题意，能将“铺一个正方形（用整块砖）”这一实际问题转化成求两个数的公倍数问题。

2.【难点】理解“正方形的边长必须是长方形墙砖的长和宽的公倍数”的内在道理，即通过几何直观建立“倍数关系”与“图形拼接”之间的联系。【难点】

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含动态演示铺砖过程）、长3dm、宽2dm的长方形卡片贴图。

学生准备：若干张长3cm、宽2cm的长方形纸片（用于模拟操作）、方格纸、学习任务单（导学案）。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，提出问题（启动思维）

1.情境引入：课件出示小明家装修情境。小明选了一种漂亮的长方形墙砖，长3dm，宽2dm。他想用这种墙砖铺一个正方形地面（要求使用的墙砖必须是整块的，不能切割），你能帮他想一想，铺成的正方形地面的边长可以是多少分米？最小是多少分米？【重要】

2.审题与分析：引导学生找出题目中的关键信息和核心问题。【基础】

（1）关键词一：“整块”。明确意味着不能切割，墙砖必须完整地铺满，这隐含了正方形的边长必须是墙砖长（3dm）的整数倍，也必须是宽（2dm）的整数倍。

（2）关键词二：“正方形”。强调拼接后的图形四条边相等，这隐含了每条边铺的砖的行数与列数需要满足特定关系。

（3）核心问题：正方形的边长可以是多少？最小是多少？

（二）自主探究，建模建构（深化思维）

1.分层探究，动手操作：【非常重要】

（1）初步感知（摆一摆）：学生以小组为单位，利用准备好的长3cm、宽2cm的长方形纸片在方格纸上模拟拼摆。教师巡视，收集典型的拼摆方案（如边长6dm、12dm的拼法）。【基础】

（2）汇报展示：请小组代表上台展示拼摆成果。通过实物投影展示不同的拼法。预设学生能拼出边长6dm的正方形（摆2列，摆3行）和边长12dm的正方形（摆4列，摆6行）。

（3）质疑激思：教师提问：“是不是任意一个长度都能拼成正方形？比如，你能拼出边长是8dm的正方形吗？为什么？”

2.抽象建模，揭示本质：【非常重要】【高频考点】

（1）深入讨论：引导学生观察、分析成功拼摆的数据。提问：“拼成的正方形的边长6、12……与墙砖的长3和宽2有什么关系？”

（2）思维碰撞：学生通过观察发现，6既是2的倍数又是3的倍数，12既是2的倍数又是3的倍数。从而归纳出：拼成的正方形的边长必须既是2的倍数，又是3的倍数。这正是2和3的公倍数。【重要】

（3）建立模型：教师顺势总结：像这样，用长3dm、宽2dm的长方形铺正方形，所铺正方形的边长只要是2和3的公倍数就可以。反过来，求“可以铺成边长多少分米的正方形”这个问题，就转化成了求“2和3的公倍数是多少”的问题。【非常重要】

（4）解决问题：那么，最小是多少分米？学生很容易回答：6dm。因为6是2和3的最小公倍数。

3.回顾反思，内化方法：

（1）检验：引导学生用算一算的方法检验边长6dm时，每行铺几块（6÷3=2块），铺几行（6÷2=3行），刚好是整块。

（2）总结：解决这类“铺地砖”问题的关键步骤是什么？（理解题意—找出隐含的倍数关系—转化为求公倍数问题—得出答案。）

（三）变式训练，深化理解（拓展思维）

1.【基础】基础练习（直接应用）：课件出示，一种地砖长5dm，宽4dm。如果用这种地砖铺一个正方形（整块），正方形的边长至少是多少分米？边长可以是20dm吗？为什么？

（设计意图：巩固基本模型，强化“至少”对应“最小公倍数”。）

2.【重要】生活拓展（类比迁移）：

（1）题目：五（1）班同学参加植树活动，按6人一组或8人一组都正好分完，没有剩余。五（1）班参加植树的至少有多少人？如果人数在40-50之间，应该是多少人？【高频考点】

（2）引导分析：这里的人数要满足什么条件？这个问题和我们刚才学的铺地砖问题有联系吗？

（3）建模：学生发现，这实际上是求6和8的公倍数问题。“至少”即求最小公倍数（24人）；“40-50之间”即求公倍数（48人）。【重要】

3.【难点】逆向思考（深化模型）：

（1）题目：一块正方形布，边长是24分米。想把它剪成若干块同样大小的长方形手帕（整厘米数，且长和宽都是整分米数），要求没有剩余。请你设计一种长方形手帕的尺寸，并说明理由。

（2）设计意图：本题是原问题的逆向应用，已知正方形边长和“整块”要求，反推长方形地砖的可能尺寸。这能极大地锻炼学生的逆向思维，深化对公倍数意义的理解。学生通过分析发现，长方形的长和宽必须是24的因数，即求24的因数对。

（四）课堂小结，构建网络（升华思维）

1.知识梳理：引导学生回顾本节课的学习历程，谈谈自己的收获。学生可能从知识、方法、思想等角度回答。

2.教师提炼：【非常重要】今天我们不仅学会了用公倍数解决“铺地砖”问题，更重要的是我们经历了一个“把生活问题转化成数学问题”的过程。这种“数学建模”的思想是解决复杂问题的金钥匙。老师希望同学们在今后的学习中，也能像今天一样，善于从生活现象中发现数学的本质。

六、板书设计

小学数学五年级下册用公倍数解决简单问题

（铺地砖问题）

问题：铺正方形（整块）转化为数学问题：

边长？最小？↓

正方形的边长必须既是2的倍数，又是3的倍数。

↓

2和3的公倍数

↓

公倍数：6、12、18……

最小公倍数：6

答：边长可以是6dm、12dm、18dm……，最小是6dm。

模型：求两个数的公倍数/最小公倍数

七、导学案（学习任务单）

【课前预习·基础感知】

1.【基础】写出下面每组数的最小公倍数。

4和6（）3和7（）8和10（）

2.【重要】请阅读教材第70页例3。

（1）题中“整块”是什么意思？

（2）大胆猜想一下，正方形的边长可能是多少？试着写下来。

【课堂探究·合作学习】

任务一：动手操作，验证猜想

1.请利用手中的学具（长3cm、宽2cm的长方形纸片）在方格纸上铺一铺。

2.你能铺出边长是（）cm的正方形，每行摆（）块，摆了（）行。

3.除了这个边长，还能铺出边长是（）cm的正方形吗？

任务二：深入思考，探寻规律

1.成功铺出的正方形边长与墙砖的长和宽有什么关系？填一填。

正方形的边长6cm，是2的倍数吗？（）是3的倍数吗？（）

正方形的边长12cm，是2的倍数吗？（）是3的倍数吗？（）

2.我发现：铺出的正方形的边长必须既是（）的倍数，又是（）的倍数，也就是求（）和（）的（）。【非常重要】

3.如果要铺出的正方形最小，那么它的边长就是2和3的（）。

任务三：类比迁移，解决问题

【基础】五（2）班做广播操展示，如果排成6列或者排成8列，都刚好排完，没有多余。五（2）班至少有多少人？

（1）分析：要求的人数必须是（）和（）的公倍数，求“至少”就是求它们的（）。

（2）解答：

【重要】你还能举出一个生活中用公倍数解决问题的例子吗？试一试。

八、分层作业设计

A层（基础巩固）：

1.【基础】求下面每组数的最小公倍数。

12和189和1124和36

2.【基础】一种瓷砖长8dm，宽6dm。如果用这种瓷砖铺一个正方形（用整块），正方形的边长至少是多少dm？

3.【高频考点】一盒糖果，无论是平均分给5个小朋友，还是平均分给8个小朋友，都正好分完。这盒糖果至少有多少颗？

B层（综合应用）：

1.【重要】暑假期间，小东和小强都去参加游泳培训。小东每4天去一次，小强每6天去一次。7月1日两人同时去了游泳馆，下一次两人同时去游泳馆是几月几日？【高频考点】

（分析：这是求4和6的（）问题。）

2.【难点】五（1）班有40多人，进行队列表演，每行排12人或每行排16人，都正好是整行。五（1）班具体有多少人？

3.【拓展】用长9厘米、宽6厘米、高3厘米的长方体木