2021届湖南省(全国卷)高三高考数学模拟试题(样卷一)

第页，共页湖南省（全国卷）2021届高三高考数学模拟试题（样卷一）一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，，且，则下列结论中定正确的是（

）A． B． C． D．2.若纯虚数满足，则（

）A． B． C． D．3.为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（

）A．2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减B．2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关C．2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值D．2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关4.关于二次函数，有下列四个命题：甲：是函数的零点；乙：是函数图象的对称轴；丙：函数的最小值是；丁：.如果只有一个假命题，那么该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5.展开式中的系数为（

）A． B．14 C． D．846.已知一圆台的上､下底面半径分别为和，高为，且该圆台上､下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（

）A． B． C． D．7.已知，是椭圆的左､右焦点，是上在第一象限内一点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，则的最大值为（

）A． B．5 C． D．48.已知，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9.已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．方程无解10.已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（

）A． B．C． D．11.已知向量，则下列结论正确的是（

）A．，使得B．，使得C．小于D．12.已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数的一个周期为B．函数在上单调递增C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数的值域为三、填空题（本大题共4小题）13.设是等差数列的前项和，若，则公差.14.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．15.已知双曲线的焦距为2c，A是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为.16.2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，设平面过点且与平行，现有下列四个结论：①当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于；②当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于；③异面直线与所成角的余弦值为；④三棱锥的体积是该“堑堵”体积的.所有正确结论的序号是.四、解答题（本大题共6小题）17.设为数列的前项和，已知，且，数列是等差数列，且.（1）求，的通项公式；（2）设，求的前项和.18.已知的内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若，，为的中点，且，求.19.如图，在多面体中，四边形和均为直角梯形，，，且，，.（1）求证：平面，（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．21.中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.小明是一名乒乓球运动爱好者，为提高乒乓球水平，决定在假期针对乒乓球技术的五个基本因素：弧线、力量、速度、旋转和落点进行训练.假设小明每天进行多次分项（将五个因素分别对应五项，一次练一项）训练，为增加趣味性，计划每次（从第二次起）都是从上次未训练的四个项目中等可能地随机选一项训练.（1）若某天在五个项目中等可能地随机选一项开始训练，求第三次训练的是“弧线”的概率；（2）若某天仅进行了次训练，五个项目均有训练，且第次训练的是“旋转”，前后训练项不同视为不同的训练顺序，设变量为次训练中“旋转”项训练的次数，求的分布列及期望；（3）若某天规定第一次训练的是“力量”，从第二次起，后面训练项的选择服从上述计划的安排，设表示第次训练的是“力量”的概率，求的值.22.已知函数，.（1）设，，讨论函数的单调性；（2）若函数存在两个不同的极值点，，且，，求证：.

参考答案1.【答案】C【详解】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据，且，即可判断；【详解】解：因为，所以，解得，所以集合，因为，且，则.故选：C2.【答案】A【详解】【分析】设，代入即可,【详解】设.则，所以，.故选：3.【答案】D【详解】【分析】根据条形图中的数据逐一分析即可得出结果.【详解】A，2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减，前几年递增，后面递减，故A错误；B，2013~2020年，年光伏发电量与年份成正相关，故B错误；C，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故C错误；D，根据图表可知，2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D正确.故选：D4.【答案】A【详解】【分析】通过假设来判断，如假设乙、丙、丁是真命题，将其作为条件，看甲是不是假命题即可.【详解】假设乙、丙、丁是真命题.由乙，是函数图象的对称轴，且丁，从而可知，又因为丙：函数的最小值是，可知在上单调递增，所以，故甲不正确，因此，在乙、丙、丁是真命题时，甲为假命题.故选：A.5.【答案】B【详解】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项公式，确定的值，代入即可求解.【详解】由题意，二项展开式的通项公式为，令，得，所以的系数为.故选：B.6.【答案】B【详解】【分析】由题意轴截面图，求出球的半径，则球的表面积可求．【详解】解：依题意画出轴截面，设球的半径为，当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解；当两底面在球心异侧时，有，即所以，即，则，所以这个球的表面积是．故选：B7.【答案】D【详解】【分析】由题意知，，故，即可求解．【详解】由题意知，，，当且仅当，，三点共线时取“=”.故选：D8.【答案】D【详解】【分析】根据指对函数的图象与性质对选项一一判断即可得出答案．【详解】因为，所以.若，，，则，A项不正确；当时，，，则，当时，，，不等式不一定成立，B项不正确；当时，，，当时，存在，所以C项不正确；当时，，，则，当时，由指对函数的变化趋势，知，即恒成立，D项正确．故选：D9.【答案】BC【详解】【分析】利用奇函数及导数的定义，依次分析选项，综合可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，为奇函数，且，则（2），A错误；对于B，为奇函数，且，则（1），则有（1）（2），B正确；对于C，由所给的函数的图象，可得，，则，C正确；对于D，由C的结论，则必定存在，使得，即一定有解，D错误；故选：BC10.【答案】ABC【详解】【分析】通过圆心距和半径关系，判断出两圆有四条公切线，再设切线，列等式解方程即可.【详解】,半径,两圆相离，有四条公切线两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点,设切线,则圆心到直线的距离,解得或,另两条切线与直线平行且相距为1,,设切线,则,解得.所以只有项不正确（也可以不计算，通过斜率即可排除D）故选：ABC11.【答案】AC【详解】【分析】根据平面向量数量积、线性运算的坐标表示一一验证即可；【详解】解：因为，所以，令，因为，且所以与异号，故A正确；，若，则，解得，即当时，故B错误；设与的夹角为，则若夹角为小于，则，解得因为，所以小于，故C正确；因为，所以，显然当时，故D错误；故选：AC12.【答案】ACD【详解】【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用一一判断即可．【详解】解：根据函数，对于A；函数，故A正确；因为根据函数的解析式，,，由于，所以B错误；对于C和D：令，当，即时，满足，由A知是函数的一个周期，所以，，所以CD正确．故选：．13.【答案】【详解】【分析】将等差数列的求和公式与通项公式代入条件式化简即可消去，解出．【详解】解：，，即，解得．故答案为：．14.【答案】【详解】【详解】试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考点：相互独立事件的概率乘法公式15.【答案】（答案不唯一）【详解】【分析】设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，结合，，推出，然后求解离心率，再写一个简单的标准方程即可.【详解】设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，又，，则，即有，所以，，再写一个简单的标准方程即可.故答案为：（答案不唯一）16.【答案】①③④【详解】【分析】分别对四个结论结合题意分析判断即可.【详解】对于①，如图，取，，分别为对应边中点，易知四边形是等腰梯形，且高为，当不是中点时，不平行平面，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，.所以①正确；对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积.所以②错误；对于③，将三棱柱补成正方体，为对应边中点，易知为异面直线与所成角或补角，，，所以，所以③正确；对于④，，，所以④正确.故答案为：①③④.17.【答案】（1），；（2）.【详解】【分析】根据等差数列、等比数列的定义可得通项公式，再根据错位相减法可得.【详解】解：（1）因为，且，所以，且，所以数列为等比数列，且公比，所以，解得，所以.因为，所以，，则在等差数列中，公差，所以.（2），则，上式两边同时乘，可得，两式相减得，得.18.【答案】（1）；（2）.【详解】【分析】（1）利用正弦定理，做边化角的处理，得到，再利用三角函数的角的和差公式进行求解即可（2）根据图像，利用正弦和余弦定理进行求解即可【详解】（1）由题意及正弦定理得，即，，因为，所以，.（2）因为，，所以，的外接圆半径，且圆心到的距离，因为，所以，，所以，.19.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】【分析】（1）取中点，连接交于点，连接，证明后可得线面平行；（2）取中点，中点，连接，，易知，以为轴建立空间直角坐标，由向量法求线面角．【详解】（1）证明：取中点，连接交于点，连接.∵，且，∴四边形是平行四边形，∴，为中点，又∵，且，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，平面，平面，∴平面.（2）解：取中点，中点，连接，，易知，∵，∴，∵，∴，，，∴平面，∴，∴平面.∵，，∴，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，即，取，，设直线与平面所成角为，，即，即直线与平面所成角的正弦值为.20.【答案】（1）；（2）.【详解】【分析】（1）利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．（2）设，，，，且．设中点为，当时，，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的标准方程为．（2）设，，，，且．设中点为，则，，当时，，；当时，，则，即，与联立方程消去，整理得，由，得，，，，当且仅当，即，即时，取“”，所以的最大值为10，此时的方程为．21.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为；（3）.【详解】【分析】（1）分第一次训练选择“弧线”，第一次训练未选择“弧线”，利用独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的