2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷01【测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章】（全解全析）

高二数学下学期第一次月考卷01(江苏专用)

全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前,考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜c

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教版2019选择性必修第一.册第6〜7章。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是()

A.a+h,b+c,c+aB.a-b,h-c,c-a

—•««—•-w-•—•—•—•—•

C.a,b,a+b+cD.a,〃+c,c+a

【答案】B

【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解•.

【详解】对于A,设存在实数XJ,使得4+刃=x(6+c)+y(c+Ci,可得4+坂=ya+xB+(x+y)c,

x=1

所以、y=i,方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；

x+y=0

对于B,设存在实数'J,使得〃一=x(/)-c)+y(c-。)，PJWc-^=-ya+xb+(y-x)c,

x=-\

所以力=-1，解得X=-1J=-1,所以£-方3-)1-£共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；

y-x=()

对于C,向量q,B,q+B+c,不存在实数•%歹使得a+B+c=xa+

所以M+b+c不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意;

对于D,设存在实数X,P,使得。=.«方+（7）+»（。+4）,可得〃=ya+H+（x+y）c,

x=0

所以y=l,方程组无解，所以£3+^+3不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.

x+y=0

故选：B.

2.在正四面体。-力8C中，E为48中点，/在OC」二.且丽=2丽M为EF中点，若OA=a,OB=b,OC=c,

则南=（）

1-1r1-1-IT1-

A,U+2+匕B.-ci4—bH—cC.-a+—b+-cD.匕+幼+，

446223443226

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可.

【详解】因为丽=2而M为EF中点,

所以两=砺+由=砺+，而=砺+，（的+而）=，诙+，砺

22、722

111

---

r.(OA+OB)+r..OC446

故选：A

/M/\\

B

3.（/+娶）的展开式中“6出1的系数为，）

A.10B.20C.30D.40

【答案】D

【分析】根据二项展开式的通项公式求值.

【详解】因为（"+爰）展开式的第项为：

10-2r=6

由《r=1=2.

--=-1

2

即4=2、（：；。6.疔|=404667

所以db-i的系数为40.

故选：D

4.国庆假期，某人计划去4伉C,D£五个不同的景点游览.在确定景点的游览顺序时，要求4在4之前,

C与。相邻，则不同的游览顺序共有（）

A.18种B.24种C.48种D.60种

【答案】B

【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出.

【详解】若C与。相邻，则需将其捆绑并排列，再将48,CDE四个元素排列，共有A；A：=48种，

因为4在8之前和力在8之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有'48=24种.

故选：B

5.在三棱台48C—H8'C'中，AB=BC=BB'=2,AfBf=\,且N/18C=5,若84'_L平面力8C,则点8'到

宜线4C的距离为（）

A.2>/2B.75C.百D.—

3

【答案】D

【分析】建立适当空间直角坐标系，求出1万和直线©C的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式

直接计算求解.

【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系8-师，

则）（0,0,2）,Z（0,l,2）,C（2,0,0）,

所以牙尸二（0,7,0）,7C=（2,-1,-2）,

7c212]

所以直线A'C的单位方向向量为j=|=3~3~3)^

所以点8'到直线HC的距离为了尸2-

6.某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组.现有甲、

乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲

不能参加绘画，则不同的报名方法有()

A.150B.114C.100D.72

【答案】C

【分析】分类讨论参加绘画小组的人数，对参加象棋和篮球小组的人数进行分组，然后进行排序，最后利

用分类计数原理求解.

【详解】甲不能参加绘画，若有1人参加绘画小组，有C；=4种，则有4人参加象棋和篮球,

人数分为3+1,2+2,故有C：A；+q；A；=14种，共有4x14=56种；

若有2人参加绘画小组，有C；=6种，则有3人参加象棋和篮球，人数分为2+1,

故有C；A；=6种，共有6x6=36种;

若有3人参加绘画小组，有C：=4种，则还有2人参加象棋和篮球，人数分为1+1,

故有A；=2种，共有4x2=8种,

根据分类计数原理，共有56+36+8=100种，

故选：C.

7.如图，正方形力5c力和正方形48必的边长都是2,且二面角。-43-/的大小是60。，则。E=()

E

C.9D.4

【答案】A

【分析】先判断二面角。-尸的平面角为NE4C=60°,然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定

义进行计算即可.

【详解】因为正方形力8。和正方形力〃石尸，所以所_L/18,C8_L48,

因为平面力BCOc平面48K/=/5,二面角。--尸的大小是60。,

所以/E8C=60'因为瓦=反+而+砺,

所因词-J（比+区+屁7_yj5C2+CB2+~BE+2DCC5+2DCBE+2CB^,

因为正方形/8C。和正方形力8E户的边长都是2,所以觉2=荏2=而2=4,

因为。C1CB,QC18E,所以2瓦•赤=2反•诙=0，

而CBBE=|c5||^|cos120"=-2,

所以阿卜\IDC'+而2+启+2DCC5+2DC-5E+2CBBE=74+4+4-2x2=2&.

故选：A.

8.已知直线。，b异面，。上有4，4,4，4四个点，b上有4，斗,用三个点，这七个点中任意两点

可连成直线，其中异面直线有（）对

A.37B.54C.66D.67

【答案】A

【分析】首先共可得14条不同的直线，共有C%=91对直线，排除掉共面的即可得解.

【详解】从。上4，4,4，4我一个点和6上与，B）,区取一个点，

确定的直线数有4x3=12条，再加上直线-b,则共可得14条不同的直线,

i4xn

则共有C：=一1=91对直线，

其中直线。与新的12条直线都共面，直线人与新的12条直线也都共面，共24对,

新的12条直线中，若直线过点4,则形成直线4与，48”4名，共有C；=3对共面,

直线。上有4个点，故共有4x3=12对共面，

新的12条直线中,若直线过点耳,则形成44,4综4综4与4条直线,

-4x3

其中两两共面，有《二一厂=6对，

有线b卜有3个点,故共有3x6=18对共而.

故异面直线有91-24-12-18=37对.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正三棱柱力伙?-44G中，E为〃?的中点，点产满足加=4而，/ie[O,l],则（）

A.当％二g时，EPf/ABB.当X时，EP工4cl

C.存在尤，使得4E〃CfD.存在2,使得CP/平面44CG

【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直及平行计算判断A,B,C,求出法向审法结合位置关系求解

判断D.

【详解】取4c的中点。，建立如图所示空间直角坐标系：

设底面边长为2,AA,=t

则N（aO,O），4（6,O，/""O,"l,C（O,TO），G（O,Tf）,8（OJ0）,fy,-pO

-g(,o]+(O,-2ZO)=

所以方乃=7胫=/（0,-2,0）,所以丽=丽+而二

乙乙

A.当/=；时，EP=-y,1,0|,荏=卜百,1,0),而=2而，所以EP//AB,故A正确；

B.当4=J时，而=(—4,；,0；,福二卜后,一1,0),丽.丽=；-；+0=1,所以EP_L/1£不成立，

2\22J22

故B错误；

CK=,C7S=C^+5P=(O,-2,/)+(O,-2A,O)=(O,-2-22,/),租工〃彳,〃eR,故C错误;

X/

D.因为丽=~,1-2A,0,葩=卜石,-1,0),菊=(O,O"),

设平面4力CC,的一个法向显为方=（。,b,c）,

则［竺力=0,即］『二：八，令Z＞=5则万=（1,—石,0）,

|力£•万=0y/3a+b=（）'7

使得EP/平面4/CG，所以加/而，所以=2=0,义€［0』］符合，故D正确：

故选：AD.

10.若〃J〃为正整数且〃＞加＞1,则下列等式正确的是（）

A.="C：二;B.C；+C：+C；+…+Gg=C；O25

-

C.若A［=12xllx…x6,则机=6D.A；+wA；'=A；41

【答案】ABD

【分析】对于A：根据组合数公式分析判断；对于B：根据组合数性质C丁+C：=C11分析判断；对于CD：

根据排列数公式分析判断.

【详解】因为加，〃为正整数且〃

对于选项A：因为仁二”歹史一~kn=〃c：;,故A正确；

对于选项B：因为cT+c：=cz，

贝UC；+C：+C；+…+C；024=C：+C：+C；+-+C£

=C；+C；+…+C、24=C：+C：+…+C；024

=."=C；O24+C；O24=C；O25，

所以C；+C：+C；+…+C；O24=C；025,故B正确；

[2]

对于选项C：因为A?=12x1lx…x6=02—7)!=A；所以〃?=7,故C错误；

对于选项D：因为A”+〃d=逅标+利记西二西丽1(〃一〃,+1)+司

(F?-w+1)!(〃+"〃？)！

所以A；+/〃A；T=A」，故D正确；

故选：ABD.

11.在棱长为I的正方体力3。。-44GA中，点M是棱CG的中点，点?在侧面BCC4内运动(含边界),

且点尸到点”的距离等于P到棱占用的距离，记尸点的运动轨迹为曲线「，点N为曲线「的顶点，则

()

A.曲线「是抛物线的一部分B.NBJADI

C.二面角N-4。-4的正切值为2D.点P到平面的距离最大值为:

O

【答案】ABD

【分析】对A,根据点尸到定点M与到定直线8片的距离相等，在侧面3CCM内建立方程，判断曲线r

为抛物线的一部分；对B,求出向量函与否的坐标，通过数展积为0证明两直线垂直；对C,求出平面

与平面N/Q的法向量，利用法向量夹角的三角函数关系，计算二面角N-力0-4的正切值；对D,根

据点尸的轨迹方程，分析其V坐标(即到平面的距离)在区间[0J]内的最大值.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，则

)(0,0,0),8(1,0,o),c(l,1,0),0(0,1,0),4(0,0,1)出(1,0,1),G(1,1,1),A(0,1,1),

因为“是CG中点，所以

2

设点?(lj,z)(O4yWl,OWzKI),则2河+()_]/=L-l)+f2-lT,

P至IJ84的EE离为y,所以J(y-]y+[z-，]=y整理得y=；+g(z—gj,

vI2”

对于A：在平面x=l内,是抛物线方程，且尸在侧面BCC'B、内(()"K1,()KzK】)，

所以是抛物线的一部分，A正确;

所以画・(0,函.(0,1,1),

对于B：由前分析可知

---f1A111______

因为N与44=0x0+——xl+-xl=一一+-=0,所以Nq_L力2,

即乂用工彳〃，B正确:

对于C：平面48。即平面48CQ,显然1=(0,(),1)是平面力8。的一个法向量;

设平面M4O的法向量为n二(x,y,z),而=(0,1,0),丽=[$，!

y=0

n-,AD=02

则二一,即《I1C，令工2=1，则必=0*2=-2,

n.'AN=0々+3^2+322=0

所以元=(1,0,-2)是平面N4D的一个法向量,

设二面角N-ZQ-8的大小为0,由图可知。为锐角,

ww

|r2|_|0xl+0x0+lx(-2)|_2_275

所以cos。=

矶可\J\2+02+(-2fV?5

sing=Vl-cos20=一立,

一5

所以tan®=^=矗=：,C错误;

cos。2j52

—

111)

对于D：因为点P的运动轨迹方程为y

=,+QZ——2J

点P(1j,z)到平面ABBM的距离就是其y坐标的绝对值,

求y(z)=g+；1

问题即求在ze[0,l]的范围内,z—的最大值,

2

函数y(z)是一个开口向上的二次函数，其对称轴为z=；,

在区间［0』］内，函数的最大值出现在区间的端点处,

1I111115

当2=0时,y=一+一—+—X—=—+—=—,

22°4224288

1115

当2=1时，y—4—X—=―，

222248

所以点尸到平面力844的距离的最大值为：，D正确;

O

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

\w-2

1

12.设C；o-2+C>22+…十C卜22°被9除所得的余数为〃7,的展开式中的常数项

为.

【答案】-20

x/w-2

1

【分析】由C；o-2+C>22+…+喘-2”=320-1=91°-1得出加值，再根据五-的展开式通项列方程

求解即可.

【详解】由于<3*2。+(4-2+(3022+...+《卜220=(1+2)2°,

所以C>2+C>22+…+C^-220=320-l；

由于32°-1=910-1被9除所得的余数为〃?=8,

/>r—2

16--r6-2-

忑）的展开式为二产G・k•(-1)'”=晨.(-1)%亍6=0,1,2,3,45,6)，

当，=3时，常数项为-C：=-20.

故答案为：-20.

13.某电影院要在一天的力、B、。、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误

杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部

电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若力时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空

之王》，那么共有种安排方式.（答案用数字表示）

【答案】504

【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安

排种数即可得解.

【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有A：=720种安排方式，

不满足题意的安排方式：

第一类，/时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》：

若五个时段都不安排《长空之王》，则有A：种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则

该类共有A：+A；♦A：=96种安排方式：

第二类，/I时段不安排《哪吒之魔童闹海》且七时段安排《长空之王》：

若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有A：种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种

安排方式；则该类共有A：+A；♦A：=96种安排方式；

第三类，月时段安排《哪吒之魔童闹海》且长时段安排《长空之王》：共有A：=24种安排方式，

综二，满足条件的安排方式共有：720-96-96-24=504种，

故答案为：504

14.在平行六面体/NCD—4用GA中，4西=4A】AD=/BAD=3,AB=\,4。==2,则异面直线

8A与CC,所成角的余弦值为.

【答案】|

6

【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出8。，进

而利用余弦定理求得答案.

【详解】在平行六面体48co-48CA中，CC,HDD.,

则NBDQ是异面直线BD.与CG所成角或其补角,

而N44B=/4{£)=NB4D=上,AB=\>AD=AA{=2,

3

BD=VAB2+AD2-2AB-ADeosZBAD=百，

西=否-存=麴+而-而，

|西1Mzi:+而+而+2祈而-2而而-2布刀，

222

=A2+2+l+2x2x2xl-2x2>：lx-!--2xlx2x-!-=3,

丫222

BD~+DD--BD232+22-(73)25

在公BDD］中,cosNBDJ)

2BD.DD}―--2x3x2~-6

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图，在正四棱柱力水?。-48£。中，底面边长为1,44=3,M,N分别为。。，8c上的点，且

ISM=2MDX,QV=2函.

(1)求证：直线4v〃平面4cM；

(2)求平面8cM与平面88CC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面4CM的法向量;;，即可得到而,〃，从而得证；

(2)求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)如图建立空间直角坐标系，则。(1J0),仅(0』,3),"(0,1,2),用(1,0,3),N,；,3

所以麻=(0,1,—3),5^7=(-1,1-1),D^V=G,-1,OL

设平面BQM的法向量为万=(x,y,z),

•n=—x+y—z=O

所以丽.万=2xl+3x[-Z]+0xl=0,

所以

I3,

乂直线。N(z平面8cM,所以直线。N〃平面8cM；

<c

(2)因为48_L平面所以平面的法向量可以为方=0,0,0),

ABn2714

设平面4cM与平面4BCC夹角为0,Mcos6>=^--=-F==V，

所以平面B、CM与平面BB£C夹角的余弦值为叵.

7

16.（15分）

中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、

“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺秀，六门体验课程.

（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排

法种数；

（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同

的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

（3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门

课程，教师力不任教"围棋''课程，教师8只能任教•门课程，求所有课程安排的种数.

【答案】（1）504

⑵360

（3）1140种

【分析】（1）利用间接法计算可得；

（2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定内的课程，按照分步乘法计数原理计算可得；

（3）分彳只任教1科和4任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.

【详解】（1）依题得，共有A*2A；+A：=504种；

（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有A：种情况；

第二步，将甲和乙的相同课程排好，有C；种情况；

第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法C；种情况；

因此,所有选课种数为A"C：xC；=360.

（3）①当4只任教1科时：先排4任教科目，有C种；

再从剩下5科中排8的任教科目，有C1种；

接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有C：A；种；

4x3

所以当4只任教1科时，共有CCC：A；=5x5xMx3x2xl=900种；

2x1

②当力任教2科时：先选力任教的2科有C；种,

这样6科分为4组共有C；A：=2S^x4x4x3x2x1=240^）,

2x1

所以当力任教2科时,共有900+240=1140种,

综上课程安排方案有1140种.

17.(15分)

如图1,ZU8C是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=5△D4C为等腰直角三角形,

/CD4=90。，将4c沿4C翻折到dXC的位置.，且点尸不在平面48。内（如图2）,点尸为线段必

的中点.

（1）证明：ACLPB；

（2）当平面PAC1平面ACB时，求直线PB与平面ACF所成角的余弦值：

（3）若直线尸C与力夕所成角的余弦值为逅时，设平面〃JC与平面的夹角为。，求ccsa的值.

4

【答案】（1）证明见解析;

(2)1;

⑶当

4

【分析】（1）取4C中点为E，连接尸E，BE,易得PEJ.4C,8E_L/1C,再由线面垂直的判定和性质,

即可证;

（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线〃8与平面力b的方向向量和法向量，最后应用向量

法求夹角余弦值:

（3）构建合适的空间直角坐标系，设NBEP=d,则户（0，cos6,sin。），应用异面直线夹角的向量求法及已知

列方程求得cose=-"，即可得.

4

【详解】（1）取力C中点为£,连接尸£,BE,

•••PA=PC,AB=BC,

••PE1AC,BE1AC,

又PEcBE=E,PE、BEu平面PBE,

.•.力CJ■平面P8E,又P8u平面尸“，

••AC1PB.

(2),••平面21C_L平面力。，平面尸/icn平面4CB=4C,PEtAC,PEu平面P4C,

二•PEI平而4C8.易知E4,EP,E月两两互相垂直.

以E为原点，以｛或，丽，乔｝为基底，建立空间直角坐标系，

/：\X，川,。,。)，8(0,&,0),c(-1,0,0),尸(0,0,1),尸(0,乎二)，

/•\

//./、・/、X

P5=(0,V2,-l),G4=(2,0,0),丽=(l，¥，g)

a\m=2X1=0

设平面43的法向量为而=。,必,马),则<_5.玩=王+孝必+；4=0，

CF

取乂=T，得帆=

E_\PBm-V2-V22近

COS(PB,m)=,=—j=~L=,

'/PB\\m\V3x>/33

史，又。［。，勺，

设直线尸8与平面/CT7所成角为夕，贝ljsin9=：

32

「•直线PB与平面ACF所成角的余弦值为;.

(3)以七为原点，以E4为x轴，后8为夕轴，垂直于平面48c所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

ZA

:ADAC为等腰三角形，DA=DC=6，

・•・EP=I,则力。,0,0),5(0,72,0),c(-1,0,0),

过£BEP=O,plljP（0,cos^sin<9）,则正=（-l,-cosa-sin。），而=（-l,a,0）,

故,无碉卜唇国[印黑邛，

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二.cosJ=-^^•或cosO=^^（舍），又。£[0,5],

442

•*-cosa=|cos^|=.

18.（17分）

我们曾用“算两次''的方法发现了组合恒等式，例如，C；=C：TC"=C；+C：T,请继续使用“算两次”

的方法完成卜面的探究.

⑴计算：（c；）2+（G）HC）2,（c；f+（c；）2+©）2+（c；）2并与c：,c：比较，你有什么发现?

（2）写出（1）的一般性结论并证明；

2

（3）证明:Z（-D*（c*,）=（-irqB

【答案】（1）答案见解析

（2）0+（C；）2+-+（C：-,）2+（C：）2=C；„,证明见解析；

（3）证明见解析

【分析】（1）根据组合数定义进行计算，并比较即可得出结论；

<2）根据从特殊到一般的思想可得（c：）2+（cy+…+（c：-y+（c：y-4,再结合二项式定理即可得证;

（2）（”/产=（"x产（i+x）2”,比较等式左右两侧的系数即可得证.

【详解】（1）（C?）2+（Ci）2+（C-）2=1+4+1=6,（C；'）2+（CD2+（C；）2+（Cj）2=1+9+9+1=20,

从而（c；『+（c；r+（c；）2=c：,（c；y+©）2+（c；）a（c；）2=c：；

（2）（C：）2+（C!,）2+-+（C：-'）2+（c：）2=CL,证明如下：

（i+x）2fl=（i+x）n（i+xr,等式左侧/的系数为a.,

等式右侧X"的系数为g）+（C：端）+…+（C：y）+（C：C：）=等）2+©）2+…+（C：-1）2+（C：）2,

而等式恒成立可得左右的X”的系数相等，即（《）2+93+…+（C：T）2+（C：）2=G,；

（3）（14产=（"x）qi+x）2。，等式左侧的系数为（7）"C