2025年高考数学试卷（全国一卷）含解析

2025年普通高等学校招生全国统一考试全国一卷

数学试卷

注意事项：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡

的规定位置。

2.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

3.作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指

定位置作答,在其他位置作答一律无效。

4.本试卷共4页,满分150分,考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并

交回。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.(l+5i)i的虚部为()

A.-lB.OC.lD.6

2.已知集合口={1次是小于9的正整数},A={1,3,5},则gA中元素的个数为()

A.OB.3C.5D.8

3.已知双曲线C的虚轴长为实轴长的5倍，则。的离心率为()

A.V2B.2C.币D.20

4.已知点(以0)(〃>0)是函数)，=2tan1-的图象的一个对称中心，则。的最小值为()

A」B」C」D.他

6323

5.设/⑴是定义在R上且展期为2的偶函数，当2CW3时，f(x)=5-2x,则/(-()=()

A」B.--C.-D」

2442

6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视

风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船

行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与

风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向

量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位：m/s),则该时刻的真风为()

学数名称风速大小(单位:m/s)

2轻风1.6~3.3

3微风3.4~5.4

4和风5.5~7.9

5劲风8.0-10.7

图1

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

7.已知圆/+()，+2)2=，(厂〉0)上到直线〉二61+2的距离为1的点有且仅有2个，则厂的

取值范围是()

A.iOJ)B.(l,3)C.(3,+oo)D.(0,+oo)

8.已知2+log2X=3+log3y=5+log5z,则x,yfz的大小关系不可能是()

A..x>y>zx>z>yC.y>x>zD.y>z>x

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.在正三棱柱ABC—AqG中，。为3c中点，贝M)

A.AO_LA。B._L平面AA,。

C.AD/AgD.CG〃平面AAO

10.已知抛物线C:V=6x的焦点为R过产的一条直线交C于A,B两点，过A作直线

3

/」=一士的垂线，垂足为。，过产且与直线A8垂直的直线交/于点E,则（）

2

A.\AD\^AF\B.\AE\=\AB\C.\AB\>6D.|•|BE|>18

11.已知△ABC的面积为■!",cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBs\nC=—,则（）

44

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=V2

C.sinA+sinB=—D.AC2+BC2=3

2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.若直线y=2x+5是曲线『=e'+x+。的一条切线，则〃=.

13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数

列的公比等于.

14,有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次，每次取1个

球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望£（X）=.

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000

人，得到如下列联表：

超声波检查结果

组别合计

正常不正常

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

（1）记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为p,求〃的估计值；

（2）根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

_n（ad-be）2

附:

（a+0）（c十c/）（。十c）（力十d）

产（一之无）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.已知数列｛q｝中，％=3,4a—!—.

（1）证明：数列｛加/〃｝为等差数列；

n

（2）给定正整数设函数/（尤）=41+〃21+-+amx,,求:（-2）.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA_L底面A8CO,AB±AD.BC//AD.

P

C

(1)证明：平面％B_L平面见D

(2)设==BC=2,4短=1+6，且点尸，B,C,。均在球。的球面上.

(i)证明：点0在平面A8CD内；

(ii)求直线AC与P0所成角的余弦值.

18.已知椭圆。:=+==1(“>〃>0)的离心率为述，下顶点为A,右顶点为8,

a~b~3

(1)求。的方程；

(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线A尸上，且满足|4?卜|44=3.

(i)设尸(/几〃)，求点A的坐标(用机，"表示)；

(ii)设。为坐标原点，。是C上的动点，直线OR的斜率是直线0P的斜率的3倍，求

归。|的最大值.

19.(1)求函数/(X)=5cosx-cos5x在区间0,—的最大值;

4

(2)给定。£(0,兀)和OER,证明：存在ye［巳一夕。+句,使得cosyWcos。；

(3)设〃wR,若存在勿£R使得5cosx-cos(5x+c)与〃对xwR恒成立，求h的最小值.

参考答案

I.答案：C

解析：(l+5i)i=-5+i,其虚部为1.故选C.

2.答案：C

解析：。={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故务A={2,4,6,7,8},故电4中有5个元素.故选C.

3.答案：D

解析：依题意得人=不〃，又=〃+//，所以/=/+(/。)2=8/,g|jc_242a.故

e=2VL故选D.

4.答案：B

解析：4x--=—,keZ,得1=@+工，kwZ,故y=2tan(x-E］的图象的对称中心为

3223I3)

f—+-,ol,keZ,由题意知〃=如+色，keN,其最小值为四.故选B.

I23J233

5.答案：A

解析:解法一：当戈£［一1,0］时，-x+2e［2,3］,所以当JCW［-1,0］时,

(3、31

/(x)=f(-x)=f(-x+2)=5-2(-x+2)=1+2x,所以/一一=1一一=一一.故选A.

\4J22

解法二:/罔寸图=尼+2卜5-2、仔+2卜

6.答案：A

解圻：真风风速对应的向量=视风风速对应的向量-船行风风速对应的向量=视风风速对应的向

量+船速对应的向量=43,如图，|48|=2&e(1.6,3.3),故选A.

y

0123%

7.答案：B

解析：易得圆心（0,-2）到直线y=A/JX+2的距离d=2.当r=〃-1=1时，圆

1+（尸2）2=，（厂>0）上到直线旷=岳+2的距离为1的点有且仅有一个，当r=d+l=3

时，圆/+（〉，+2）2=产（厂>（））上到直线），=百1+2的距离为1的点有且仅有三个，故当

1<13时，圆/+（），+2）2=/（,〉0）上到直线>?=61+2的距离为1的点有且仅有两个.故选

B.

8.答案；B

解析：解法一：^-24-log2x=3+log3y=5+log5z=0,Wx=-,y=—,z=:,此时

x>y>z；2+log2x=3+log3y=5+log5z=5,得x=8,y=9,z=1,止匕时y>x>z；令

65

24-log,x=3+logy=5+Iog5z=8,x=2=64,y=3'=243,z=5=125,此时

y>z>x.故选B.

3

解法二：iS2+log2%=3+log.y=5+log5z=r,贝ijx==/«）,y=y-=s（t）t

z=5"5=J⑴,在同一平面直角坐标系中画出函数/⑺，g（f）,〃⑴的图象,

由图可知x,)，，z的关系不可能为x>z>y,故选B.

9.答案：BD

解析：错误项分析：A(X)由三棱柱的性质可知，明，平面ABC,则AA_LAO,假设

AD1A.C.又AAflAC=A，4VAeU平面AACC，所以平面AAGC,矛盾，所

以AD与A}C不垂直.

B(V)因为三棱柱A8C-AMG是正三棱柱，所以AAJ~平面A8C,则_L8C,因为。

为8C的中点，AC=AB,所以4力J,8C,又4。。的=4,4。,/14(2：平面442，所以

8C_L平面4A。，又BC//BG，所以4G_L平面AAQ.

错误项分析：C(X)AB//AM,AD与AB相交，所以AD与A片异面.

D(V)CC#AA\,。^e平面44,。，人入匚平面人人。，所以CQ〃平面A4Q.

故选BD.

10.答案：ACD

解析：A(V)直线/为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AO|=|A/q.

方法一：错误项分析：B(X)当A8_Lx轴时，A(T，3),B3一3),《一看。｝

IAZ?1=6,ME|=3x/2,此时|AE国/W|.

a

C(V)易知直线A8的斜率不为()，设直线八8:工=/町叶5,4(x，y),8仇，％)，由

3

X=777V+—

29

■'2,Wy-6/ny-9=0,则另+为=6m，y\y2="»

y2=6.r

22

%+W=m(乂+%)+3=6m+3,IAB|=4-x2+3=6m+6>6.

D(J)当m=0,即A8_Lx地时，由B知，\AE\=\BE|=3>/2,|AE|♦|BE|=18.当加工0时,

直线=+|EF|=V9+9/w2,

in2I2)

r

S△八E8=」|AEII3£|sinNAE8=LA8||Eb|=1(6+6/).A/^7^=9(l+〃z2F>9,所以

222

1Q

\AE\-\BE\>------------>18.综上，|AE|・|8E|218.

sinZAEB

故选ACD.

方法二：错误项分析：B(X)以焦点弦为直径的圆与准线相切，A8为直径，AE为弦,所以

\AB\>\AE\.

C(V)抛物线的焦点弦中通径最短，p=3,则|A8|N2〃=6.

D(V)由选项B可知如图，设44口=夕，由

S△八E8=glAE|g=g|ABH阳，可得

2P2

.H叫A5H处急>2p2=18.

sin30

故选ACD.

11.答案：ABC

解析：A(J)cos2A+cos2B+2sinC=1-2sin2A+l-2sin2B+2sinC=2,所以

sin2/A+sin2B=sinC.

8(「)令〃=8。，h=AC,c=AB,则，^=，一二—^=2R(/?为3c的外接圆半

sinAsinBsinC

径)，由sin?A+sin?4=sinC,^a2+b2=c-2R>c2.^a2+Z>2>c2♦则△ABC为锐角三角

形，则A+8>四，即A>四一8,则sinA>sin(二一B]=COSB,所以

22\2)

sinC=sin2A+sin2^>cos2B+sin2B=1,矛盾.故/+从=c?,即C=A+8=E,所以

2

cos(A+5)=cos/IcosB-sinAsinfi=O,又cosAcos3sinC=cosAcosB=一,所以

4

5巾45抽8=」.因为5八八”=，油5血1。=,位>=,，所以a》=L,所以

4*2242

1

———二(2R)2=3=2,所以2R=6,所以。=2RsinC=&.

sinAsin81

4

i3

C(7)(sinA+sinB)2=sin2A+sin2B+2sinAsinB=sinC+2sinAsinB=l+2x—=—,所以

42

sinA+sinB=逅

2.

错误项分析：D(X)AC2+BC2=AB2=c2=2.

故选ABC.

12.答案：4

解析：设直线y-2x+5与曲线)，=e*+x+a的切点坐标为(%,？“+y+4),由y=e'+〃得

y'=e"+l,所以)(7=e"+1=2,解得%=0,所以切点坐标为(0,1+a),又切点(0,1+〃)在

切线y=2x+5上，所以1+a=5,解得4=4.

13.答案：2

解析：解法一：设等比数列为｛4｝,其公比为小前.〃项和为S“，因为等比数列｛4｝的各项

,_q(1-4’)

均为正数，所以q>(),又Sj=4,Sg=68,所以qwl.由$4=4得--------=4①，由Sg=68

得4(1一力=68②,昊得上父=竺，即(1+卜)(：力=1+=]7,所以4=16,又

\-q①1引41-/'?

<7>0,所以q=2.

解法二：设等比数列为｛/｝,其公比为外前〃项和为S”，因为等比数列｛q｝的各项均为正

数，所以^〉0,因为S4=4,Sg=68,所以S「S4=64,因为S«,SS-54,兀-S§,…成等

比数列，且公比为q4,所以区=3=16,又00,所以”2.

S&4

14.答案：g

解析：X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=l)=C；(g5_1

125-25

/［、36012/1、360_12

P(X=2)=C；-x6=P(X=3)=C^xl-Ix6=

■⑸12525125-25

所以X的分布列为

X123

11212

P

252525

所以E(X)=lx-!-+2x竺+3xU=?

25252525

15.答案：(1)/7=0.9

(2)认为超声波检查结果与是否患该疾病有关

解圻：(1)由题表可知，检查结果不正常者有20()人，检查结果不正常者中患有该疾病的有

180人，

所以由样本估计总体得〃=翳=0.9.

(2)零假设“°：超声波检查结果与是否患该疾病无关.

_1000X(20X20-180X780)2

2=765.625>10.828,

800x200x200x800

所以依据小概率值。=0.001的独立性检验，我们推断乩不成立，即认为超声波检查结果与

是否患该疾病有关.

16.答案：(1)证明见解析

(2)八一2)=/件J*

解析：(1)%1二且-+——!——两边同时乘〃(〃+i),得(〃+i)%+],

n〃+1〃(〃+1)

又lxq=3,所以｛〃可｝是首项为3,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可知数列｛〃《｝的通项公式为％=3+(〃-l)xl=〃+2,

>>1

又f'(x)=a1+2a2x++mainx,

故f\-2)=3+4x(-2)++(〃?+2)x(-2)”i,

所以一2/(-2)=3x(-2)+4x(-2尸+…+(m+2)x(-2)M,.

两式相减,得3r(-2)=3+(-2)4-(-2)2+…+(-2产-(m-2)X(-2),M

=*+讣(一"，

所以/'(一2)=，一3+<1x(-2y".

17.答案：(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析

(11)——

3

解析：(1)因为PA_L平面48CO,ADu平面43CD所以A4J_A£),

又AD_LAB,PAfAB=At所以AP_L平面以8,

又A£)u平面%。，所以平面24。_L平面力注

(2)(i)以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为X,y,z轴的正方向，建立空间

直角坐标系4-町2,如图所示，

z

则B(0,O,O),C(&,2,0),。(01+6,0),P(0,0,x/2),设0(©6,c),

因为点P,B,C,。均在球。的球面上，所以|QB|=|OC|=|OO|=|OP|,

贝IJ①-V2)2+b2+c2=(a-V2)2+S—2尸+c2

222222

=a+(h-\->/3)+c=a+b+(c-y/2)f

得q=0,b=\»c=0»即0(0,1,0),

所以点。在A。上，即点。在平面ABC。内.

(ii)AC=(V2,2,0),PO=(0』,-&),

ACPO2_V2

则cos〈AC,PO)=

\AC\\PO\76x5/33

所以直线4c与广。所成角的余弦值为今

18.答案：(1)y+/=l

(2)(i)1,3〃？2a

(〃广+(“+1)2〃厂+("+1)2,

⑴IKQ/+3后=3(百+6)

解析：(1)由题意知£=拽，所以£=§,

a3a29

设a2=Or,t>0,则r2=8/,所以〃=r.

又|A例2="+〃2=[0/=]0,

所以r=l,所以。的方程为人+y2=1.

9-

(2)(i)设R(x,y),由(1)知A(0,-l),又

所以AP-AR=(m,/?+1)•(x,y+1)=mx+(n+l)(y+1)=|AP\•|八R|cos0=3.①

由k"=k,AR，得竺史=士^，②

mx

由①②得户力斯〃+2-m2-ir

‘—疗+(〃+])2

3mn+2-nr-n2

故R

nr+(/?+1)2'm2+(n+\r

tr

(ii)由(i)得k()R="+2————=3kop=~~，得^+〃？+8〃-2=0,

3/m

即疗+(〃+4尸=18.

由题设Q(3cosasin。)，K(0,-4),

则IKQ『=(3cos6)2+(sin8+4/=-8sin28+8sin8+25,

(iy

Ss=sin6>,则|长。|2=-852+85+25=-81一5)+27(-1<5<1),

故当s=sin9=g时，|KQ|取得最大值，且IKQLL3G，

故|PQ|的最大值为IKQM+3及=3(8+0).

19.答案：(1)3&

(2)证明见解析

⑶%=36

解析：(1)解法一：因为/(x)=5cosx-cos5x,

所以尸(x)=-5sinx+5sin5x.

令r(x)=0,Wsinx=sin5x,又xw0,—,所以x=5x或工=兀一5工，

4

所以x=0或Y，

所以X,/'*）,/（X）的关系如表所示:

/1

T.7171

X0

（喝6

（。）0大于00小于0

/(x)单调递增极大值单调递减

因为ff—l=5cos--cos—=3\/3,

\16J66

所以函数f(x)=5cosx-cos5K在区间0,—的最大值为3百.

4

解法二：因为/(x)=5cosx-cos5x,

所以/z(x)=-5sinx+5sin5x.

=5(sinxcos4x+sin4xcosx-sinx)

=5sinx(cos4x+4cos2xcos2x-l)=5sinx-4cos2x(l-4sin2x),

易得当0,：时，5sinx-4cos2x>0,令/(工)>0,得xw(06，令八不)<0,得

所以X,f\x）,/（X）的关系如表所示:

1

_

7i甘二_

||_

X09_

_

（喝6641_

r3)0大于00小于0

f(x)单调递增极大值单调递减

因为/[—|=5cos--cos—=3\/3,

V6)66

所以函数/（x）=5cosx-cos5/在区间0弓的最大值为3G.

解法三：由题得f\x)=-5sin^+5sin5.r=5x2cos-----sin------=1Osin2.vcos3x,

一—

由xw0,—，得sin2xN0,故x,f\x),f(x)的关系如表所示：

4

7C'兀71

X0

（喝6

fM0大于00小于0

f(x)单调递增极大值单调递减

因为/[—|=5cos--c