第一章 整式的乘除 提优测评卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第一章整式的乘除提优测评卷

用时：120分钟总分:120分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列算式不能运用平方差公式计算的是（）.

A.（x+a）（x-a）B.(x+a)(-a+x)

C.（a+b）（-a-b）D.(-x-b)(x-b)

2.（2025泸州中考）下列运算正确的是（）.

A.4a-3a=1B.（2a）-l=-C.(3凉)2=9〃6D.(a-h)2=a2-/)2

a

3.（2025.德阳中考）下列各式计算正确的是（）.

A.2a+3b=5abB.-(a+3)=-a+3

C.-2x3a=-6aD.2ab^\=ab

4.下列计算正确的是（）.

A.l^=x3-x-lB.ab(a-b)=a2^-b2

C.3工（？-2丫-1）=3.--6,2-3.1D.-2x(r2-x-1)=-2X3-2X2+2X

5.（2025陕西西安交大附中期中）如图所示，用长为b、宽为a、面积为♦的四个长方形拼成一个“回形”正方形

•4

阻影部分小正方形的面积为16.则长方形的周长为（）.

A.4.5B.16C.4D.10

6.由多项式乘法可得（〃+力）（〃2-力2+々2方力2+力3=/+方3即得等式①（a+b）.（a2_Q6+/）="3+〃3,我

们把等式①叫作多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行变形正确的是（）.

A.(x+2y)(F+4n2)=/+承B.CV+3)CV2-3X+9)=J3+27

C.(丫+2)，)(小一2D叶4产)=—+213D.(〃+1)(〃2+“+|)=〃3+I

7.如图，下列代数式符合图中运算关系的是（）.

A.ab'B.a2b~]C.a2bD.a-[b2

a0.53

b0.253

运算结果13

8.已知10"=20,1（）0"=50,则；“+从；的值是（）.

A.2B.；C.3D.；

22

9.（2025浙江杭州滨江区期末）若实数x满足占1=0,则3/+4/-2升2025的值为（）.

A.2025B.2026C.2027D.2028

10.（2025•重庆中考）已知整式.M:oo+aix+/f+Cl+aX，其中劭为目然数，〃匚,。〃为正整数，且。（）+。1+口+。〃

=4.下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有I个单项式；②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4/

+4『+4"1；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个.其中正确

的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（2025.成都中考）多项式4/+1加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是.

（填一f•即可）.

12.（2025•河北邢台期末）已知加=），2+2八出川=-），,？=33+2产-5y+2,且MN+P的值与y无关则a=.

13.（2025•陕西西安交大附中期中）已知『+"5=0厕代数Q2+5）&H）的值是_____.

14利用（（a±6）2可求某些整式的最值.例如，/—2计3=（『-2什1）+2=（1）2+2由（1）2［。知，当x=l时，多项

式『-2什3有最小值2.对于多项式3f+2x+l,,当x=时，有最小值是________-

15中考新考法新定义问题4个数a,b,c,d排列成我们称之为二阶行列式规定它的运算法则为

ab

=ad-be.

cd若口厂2户3口二储则x=.

x+1x~2

16.（2024四11成都天府七中期中）已知（/+方2+3）（42+62_3）=7,而=3,则（«+/?）2=_.

17.（2025•广东深圳龙岗区期末）如置正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为I5,D,A,E三点共线且DE=5,

则图中阻影部分的面积为

1

11..................(a+by=a+d

121............(a+b)2=a2+2ab+bz

1331.........(a+6)3=a3+3a26+3a62+63

14641……(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（第17题）(第18题)

18如图是我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（a+b）”（n

/八2026

=123,4,...）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出（A-；）的展开式中含有

x2024项的系数是.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.（6分）计算:

(l)(3a202+(8a6Z>3)^-(-2a26);(2)(x12y-z)(x-2yiz).

20（6分）（2025・四川成都青羊区期中）已知4〃匕2〃=8,（2'"）2口2”=32.

（1）©求2m-n的值：

②计算（-8产+〃X0.1252A”的结果

⑵若2、=3,求（2小匕2町的值.

21.（8分）［材料阅读I

利用两数和（差）的完全平方公式（，母）2=。2±2帅+/可以解决很多数学问题.

例若X满足(9・x)(x-4)=4,求(9r)2+(x-4)2的值.

解设%x=a,x_4=b,贝！J(9-x)U-4)="=4,a+8=(9_x)+(x_4)=5,

匚(9r)2+g4)2=a2+/=(a+/))2—2加52-2x4=17

请仿照上面的方法求解下面问题：

［初步应用1⑴已知。2+力2=56,(〃+/>)2=100,则ab=;

［问题解决1(2)(〃-2022)2+(〃-2023)2=11,求(n-2022)(2023-n);

I拓展延伸］(3)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形EMFD的

面积是15,分别以MF,DF为边长作正方形，求阴影部分的面积.

22.(8分)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则

是两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和.它给出了Q+6)〃(n为正整数)的展开式(按a的次数由大

到小的顺序排列)系数的规律.例如，在三角形中第三行的三个数I,2,I,恰好对应(。+人)2=『+2〃什/的展开式中的

系数；第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应("幻3=〃+3/人+34/+尸的展开式中的系数等

(1根据上面的规律，写出3+〃)5的展开式；

(2闲J用上面的规律计算：25-5X24+10X23-10X22+5X2-1.

1

11.....................(a+6)1

121.....................(a+6)2

1331......................(a+6)3

(第22题)

23.(8分)(2024.淮北三模)发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数.

如：132-32=160,160是20的8倍；262-62=640,640是20的32倍.

(1戡们知道32可以写成3x10+2,那么十位数字为1,个位数字为a的两位数可表示为；

(2)若(1)中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则;

⑶设一个两位数的十位数字为x,个位数字为y(0<x<10,0<y<10).fix,y为整数，请用含x,y的式子论证''发

现”的结论是否正确.

24(8分)我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗?这里，我们以，两位数的平方”为例，请

观察下列各式的规律，解答问题.

272=(27+7)X20+72=729,

322=(32+2)X30+22=1024,

562=(56+6)X50+62=3136,□

(1请根据上述规律填空：49?=

(2戏们知道，任何一个两位数(个数上的数字为n,十位上的数字为m都可以表示为10m+n,根据上述规律用含

m,n的代数式表示(10w+〃)2的结果，并用所学知识说明你的结论的正确性.

25(10分)规定两数a,b之间的一种运算记作aXb,如果r/F那么如：因为3?=9.所以3X9=2.

(1根据上述规定，填空二※16二,^36=-2.

(2亦明在研究这种运算时发现一个现象：3”匚4〃=3派4，小明给出了如下的证明：

设33』,则(3)=4",即设)"=4〃,

所以3'=4,即3^4=x,

所以3"口4〃=3派4.

请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①i式说明：5X7+5X9=5X63;

②猜想：0-2）味。汁1）"+（戈-2）咏（y-3）"=X（结果化成最简形式）.

26（12分）（2025•陕西宝鸡渭滨区期末）王老师在讲完乘法公式（社〃）2=。2±2融+附勺多种运用后，要求同学们运

用所学知识求代数式/+4.什5的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：

X2+4X+5=X2+4X+4+1=（x+2>+1.

因为（户2）2对,所以当x=-2时，。+2）2的值最小,最小值是0.

所以（X+2）2+1>1,

所以当（工+2）2=0时，（x+2>+l的值最小，最小值是1,

所以/+4x+5的最小值是1.

依据上述方法，解决下列问题

⑴当x=时.一+615有最小值是________；

⑵多项式：2+2让18有最_______（填“大"或小'）值，该值为；

⑶已知-工2+5户产20=0,求y+x的最值；

（4）已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足/+/-2«-8什17=0,求匚"C的周长.

1.c［解析］A.原式=fp2,故该选项不符合题意；

B.原式=(x+a)(x-〃尸/一片,故该选项不符合题意；

C.不能运用平方差公式，故该选项符合题意；

D.原式=(-br)(-/)+幻=(-/>)2-『=52-『故该选项不符合题意.故选C.

2.C

3.C［解析］A.2a与3b的字母部分不同，不属于同类项，无法合并，故本选项的计算错误；

B.-(a+3)=-a-3,故本选项的计算错误；

C.-2x3a=6a,故本选项的计算正确；

D2H+；=4",故本选项的计算错误.故选C.

4.C

5.D［解析］由题意彳导劭=；,0-4=16,

:(人々)2+4"=(什Q)2=］6+4xg=25,

/.a+b=5或a+b=-5(舍去),

・••长方形的周长=2(a+b)=10.故选D.

6.B

7.B

8.C［解析「・,10a=20,100fe=50,□10axl00z,=10tf+26=20x50=1000=103,/.a+2b=3,

匚：〃+/>+：=；Q+2/>+3)=:x(3+3)=3.故选C.

9.B［解析］:口/+、-1=0,口%2+尸1,

匚标3+4.0-2什2025

=3/+3/+/-2什2()25

=3%(『+幻+/-2^+2()25

=3X+F-2X+2025

=/+x+2025

=2026.

故选B.

10C［解析］当n=l时.〃o+"|=4,

当。0=0必=4时.整式M为4x,

当a。X）时，整式M不可能为单项式，

当n>l时,・・公初，…品为正整数，

・•・整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；

=

当n=3时，«（>+«）+«2+«34,

当。0=0时，”1十”2十的二1，

2323

则a1如,a3中有T可能为2,故会有三种情况,对应的整式M为x+x+Zv^+2.^+.?,2r+x4-x;

当。0=1时，。1+敢+。3=3,

则a}=a2=a3=\,,故会有一种情况，对应的整式M为l+x+f+J；

当a。>1当3V3,与ai,a2,...,aD为正整数矛盾,故不存在,

・••满足条件的所有整式M的和为5/+5F+5.什1故②错误；

•・•多项式为二次三项式,An=2,

。0+。]+。2=4.

:多项式为三项式，故a0/0,

当a。=1时，勺+〃2=3,

则有1+.什23,1+2什『两种，

匚1+x+2f=2（x++^>0,1+Zx+x2=（x+1）2>0,DI+x+2x2,1+2x+/两种都满足条件，

当a0=2时.Q[+〃2=2,

则有2+x+x2一种，

2+X+X2=（X+0+40,

匚2+x+x2满足条件；

当a0>2时,4]+敢<2,与ai,a2an为正整数矛盾,故不存在，

所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，其中正确的个数是2.故选C.

114x（答案不唯一）[解析而题意得，加上的单项式可以为4x,则4/+|+4-（2工+1）2（答案不唯一）.

12.-5

135［解析］DiZ2+a+5=0,

［(a2+5)(a+l)=«3+«2+5a+5=a(a2+a+5)+5=0+5=5.

［解析］3.，+2什1=3(/)+1=3Kx+J+1=3(x+J+：.

，当x=V时，3/+2什1［有最小值|

-2*+3

15.-gI解析］卜上+1%-2

:.।x-2)(x-2)-(x+3)(x+1)=13,

即X2-4X+4-X2-4X-3=13,

・18x=12,解得x=-g.

1610［解析］:(tz2+/>2+3)(a2+/?2-3)=7,«6=3,

C(a2+/>2)2-32=7,

C(。2+/>2)2=7+9=16,门。2+力2=4,

匚(。+6)2=/+/+2心4+2'3=4+6=10.

17.10

18-4052

19.(1)原式=9a4/)2+(-4a4/?2)=5«4/)2,

⑵原式=［x+(2y-z)］［x-(2y-z)］=x2-(2y-“尸=/一芍2-/+4>2.

20.(1)□□4w-2,,=8,C22w-2n=8,D22m-,,=23,gp2m-n=3.

一□(2〃')212"=32,口22〃匕2"=32,

□22w+n=25„gP2m+n=5,

匚(一8)"耿01252m

=(一8)外(3'=(-8)2入(一8^)'

二64x(.1)=64.

(2)C2X=3,

［(23A-+1-21V)2=(23X+1-2V)2

=(2田)，(2%2)2

一(3乂2)2-36.

21(1)221解析「・・(。+6)2=1()0,

匚(。+8)2=。2+62+2。/>=100.

*.*^+^=56,：.56+2ab=100,/.ab=22.

(2)设n-2022=a,2023-n=b,

贝!J(〃-2022)2+(〃-2023)2=(〃-2022)2+(2023-〃六力+户口1,

a+b=(n-2022)+(2023-n)=1,

E(a+Z))2=«2+62+2t7Z?=l\+2ab=\

/.2ah=l-lI=-10,

匚(〃一2022)(2023—〃)=Q8=|x(-10)=-5.

(3)由题意得、长方形EMFD的长DE=a=x-l,宽DF=b=x3则有a-b=2,

由题意得DEDF=(x-l)(x-3)=15,gPab=15,

匚(a+8)2=(“-/))2+4°。=4+60=64,

.•・a+b=8或a+b=8(舍去).

，阴影部分的面积为((x-1)2-(x-3)2=«2-Z)2=(«+b)(a-b)=8x2=16,

故阴影部分的面积为16.

22.(1)(a+b>)5=a5+5a4b+1()a3b2+1^b^+Sa^+b5.

(2)原式=25+5x24x(T)+10x23x(T)2+i0x22X(-1)3+5x2x(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.

23.(l)10+a

(2)2|解析|由该两位数的平方与a的平方的差是20的7倍可得Q0+a)2-/=20、7,解得a=2.

(3L个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数这个结论正确.理由如下：

二(10x+y)2-jJ=I00X2+20?C^=20(5A-2+A>,),3^.0<x<10,0<y<10,且x,y为整数，□5/+甘是正整数，□(1。工+4-炉是

20的倍数.

24(l)(49+9)x40+92=2401

(2)(106+〃)2=(106+〃+〃)x1Om+n2.