人教八年级下册数学专项练习-平行四边形的性质

平行四边形的性质.专题训练

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（朝阳区校级月考一）平行四边形的一边长为10,那么它的两条对角线的长可以是（）

A.4和6B.6和8C.8和12D.20和30

2.（河南模拟）如图，在口48€7）中，AELBC,垂足为E,AFLCD,垂足为F.若AE：AF

=2：3,oABCD的周长为10,则AB的长为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

3.（句容市期中）如图，点P是矩形ABC。的对角线AC上一点，过点P作E尸〃BC,GH//

AB.分别交AB、CD、AD.BC于E、F、G、H,连接尸B.若AE=3,P产=8.则图中阴

影部分的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

4.（红安县期中）如图，在平行四边形A8CQ中，CQ=2AO,BELAD于点、E,尸为DC的

中点，连接ERBF,下列结论：

®ZABC=2ZABF；②EF=BF；@SWDEBC=2S.^FB；®ZCFE=3ZDEF,

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（温州月考）如图，在。ABCO中，BELCD,BF1AD,NEBF=45°,CE=3,DF=1,

则oABCQ的面积是（）

DE

A.18-3V2B.15-3&C.15-3V2D.18+3企

6.（泉港区一模）如图，E、/在口ABC。的对角线AC上，AE=EF=CD,ZADF=90°,

ZBCD=54°,则N4QE的大小为（）

A.46°

7.（宁波模拟）如图，平行四边形纸片ABCZ）和E/G，上下叠放，AD//EHR.AD=EH,CE

交G”于点。，已知SoA8s=a,S。EFGH=b（a<b）f则S阴影为（）

A.b-aB.-（b-a）C.-aD.-b

zzz

8.（太仓市期中）如图所示，平行四边形A3CO中，AC=4cm,BD=6cm,则边A。的长可

以是（）

A.4an

9.（东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，nABCQ的顶点坐标分别为A（3,〃），B（2,

2）,C（b,3）,D（8,6）,则的值为（）

A.8B.9C.12D.11

10.（江都区期末）如图，在□ABC。中，ZABC=45°,8c=4,点尸是CO上一个动点,

以布、尸8为邻边作另一个口4£/2，当尸点由。点向。点运动时，下列说法正确的选项

是（）

①。AE8尸的面积先由小变大，再由大变小

②口AEBF的面积始终不变

③线段EF最小值为4夜

A.①B.②C.①③D.②③

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（渝中区校级期末）如图，己知口48。）的周长为18c〃z,BC=2AB,NA=2NB,则口ABC。

的面积为.cnr.

12.（江干区校级期末）在nABCO中，48=3,NA8C的平分线交平行四边形的边于点£,

若DE=l,贝gABCO的局长是

13.（南岗区期末）在d48。中，乙4=30°,4。=4后，连接80,若80=4,则线段CQ

的长为

14.（岳麓区校级期末）如图，在平行四边形ARC力中，Aa=4,RC=6,AC的垂直平分线交

AD于点、E,则△（7£>£的周长为.

15.（渝中区校级一模）在口A8CZ）中，AB<BC,对角线AC的垂直平分线交A。于点E,连

结CE,若口48。的周长为20c7〃，则△COE的周长为cm.

AED

B

16.（江都区月考）。ABCD中，对角线AC和8。相交于O,如果AC=10,BD=6,AB=，n,

那么的取值范围是

17.（亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，NAQC=118°,BELDC于点E,。/口_8。于

点凡BE与DF交于点H,则度.

18.（海陵区校级期末）如图，在△A8C中，AC=4V3,ZCAB=30°,。为八8上的动点,

连接CQ,以AQ、CO为边作平行四边形AOCE,则DE长的最小值为

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（吉林二模）如图，平行四边形48CD,延长AO到点E,使连接8E与。。相

交于点0.求证：△80C之△EOO.

2（）.（赣榆区期中）如图，在d/SCQ中，E为BC边上一点,S.AB=AE.

（1）求证：△ABCgZiEAO；

（2）若NB=65°,ZEAC=25°,求NAEO的度数.

D

21.(开福区校级期末)如图，在平行四边形A8CZ)中，点E为A。的中点，延长CE交BA

的延长线于点F.

C1)求证：AB=AF；

(2)若BC=2AB,ZBCD=100°，求NABE的度数.

22.(宿松县模拟)如图，在平行四边形ABC。中，点E是A8边上一点，CE=AB,DFA.BC,

垂足为点尸，交CE于点G,连接。E,EF.

(1)求证：ZAED=90°-^ZDCE；

(2)若点E是A3边的中点，求证：ZEFB=-ZDEF.

2

23.(射阳县二模)如图，在口43。。中，点E为BC上一点，连接AE并延长交OC的延长线

于点凡AD=DFf连接OE.

(1)求证：AE平分N84。；

(2)若点、E为BC中点"ZB=60°,AD=4,求口/18。的面积.

，D

BE

24.(江都区二模)如图，四边形48CD为平行四边形，E为的中点，连接AE并延长交

0c的延长线于点E

(1)求证：△ABE^AFCE、

(2)过点。作。G_LAE于点G,"为0G的中点.判断C”与。G的位置关系，并说明

理由.

A___________________D

/\

G

BrC

平行四边形的性质-专题训练（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（朝阳区校级月考一）平行四边形的一边长为10,那么它的两条对角线的长可以是（）

A.4和6B.6和8C.8和12D.20和30

【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三

边关系判断可知.

【解析】如图，BC=10cw,

四边形ABCD是平行四边形，

AOB=-BD,OC=-AC；

22

A、若AC=4,BD=6,

则OB=3,OC=2,

V2+3<10,不能组成三角形，故本选项错误；

B、若AC=6,BD=8,

则OB=4,OC=3,

V3+4<10,

・・・不能组成三角形，故本选项错误；

C、若人。一8,BD-T2,

则08=6,0。=4,

74+6=10,不能组成三角形，故本选项错误；

。、若AC=20,BD=30,

则08=15,OC=10,

V15-10<10<15+10,能组成三角形，故本选项正确.故选：D.

2.（河南模拟）如图，在DABCO中，AE_LBC,垂足为£,Af\LCO,垂足为E若A£：AF

=2：3,oABCQ的周长为10,则A8的长为（）

D

A.2B.2.5C.3D.3.5

【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半.根据平行四

边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比.

【解析】•・•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,

A5C+CD=104-2=5,

根据平行四边形的面积公式，得8C：CD=AF：AE=3：2.

；.BC=3,CD=2,

：.AB=CD=2,

故选：A.

3.（句容市期中）如图，点P是矩形4BCD的对角线AC上一点，过点尸作EBC,GH//

AB.分别交AB、CD、AD.BC于E、F、G、H,连接PB.若AE=3,P尸=8.则图中阴

影部分的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

【分析】注意到易证得则有若=£,整理得，FC・PE=AE・PF=8X3=

FCPF

24,而阴影部分的面积为58E・P£由四边形ABC。为矩形，则BE="C,即阴影部分的

面积为LFC・PE=1X24=12,即为答案.

22

【解析】・・•矩形A3C。的对角线AC

・•・ZEAP=/FCP

：.XAEPsXCFP

.,.—AE=一PE

FCPF

FC*PE=AE・PF=8X3=24

,:EF〃BC

・・・四边形为矩形

：.EB=FC

•・•阴影部分的面积为｝BE♦尸E

，阴影部分的面积为3BE・PE=?/。•尸E=[x24=12,故选：B.

4.（红安县期中）如图，在平行四边形AACQ中，CD=2AD,AE_L4£）于点£厂为DC的

中点，连接EF、BF,下列结论：

®ZABC=2ZABF^②EF=BF；③S四DEBC=2S.EFB;®ZCFE=3ZDEF；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】延长石尸交8C的延长线于G,取AB的中点“连接"7.想办法证明Er=FG,

BEA.BG,四边形8cTH是菱形即可解决问题.

【解析】如图，延长ER交3c的延长线于G,取43的中点H,连接FH.

・；CD=2AD,DF=FC,

：.CF=CB,

：.4CFB=/CBF,

'：CD//AB,

:・/CFB=NFBH,

:・/CBF=/FBH,

：.ZABC=2ZABF.故①正确,

•:DE//CG,

：./D=/FCG,

[ZD=NFCG

在△。汽E和△CFG中，\DF=CF

[LDFE=乙CFG

:•△DFEWMFCG（ASA）,

：.FE=FG,

9：BELAD,

：.ZAEB=90°,

•:AD//BC,

：.ZAEB=ZEBG=90°,

；.BF=EF=FG,故②正确，

°：S&DFE=SKFG,

**•S四边形DEBC=S^EBG=2S^BEF,故③正确,

♦：AH=HB,DF=CF,AB=CD,

:,CF=BH,VCF〃BH,

・•・四边形BCFH是平行四边形，

・・•CF=BC,

・•・四边形BC-7是菱形，

I./BFC=NBFH,

♦：FE=FB,FH//AD,BEYAD,

：.FH±BE,

：./BFH=ZEFH=/DEF,

；./EFC=3/DEF,故④正确，故选：D.

5.（温州月考）如图，在oABCQ中，BELCD,BF1AD,NEBF=45°,CE=3,DF=1,

则□ABC。的面积是（）

A.18-3V2B.15-3企C.15-3V2D.18+3或

【分析】在四边形8EQ厂中，由四边形的内角和为360°及已知条件求出/。=135°,根

据平行四边形的性质求出N4=NC=45°,利用直角三角形的性质求出BC=AD=3V2,

进而求出面积即可.

【解析】VBEXCD,BF1AD,

；・NBEC=90°,/BED=/BFD=90°,

VZEBF=45°,

・・・/。=360°-90°-90'-45°=135°,

•・,四边形ABCD是平行四边形，

：.BC//AD,

AZC=180°-ZD=45°,

AZA=ZC=45°,

・・・CE=3,

；・BE=EC=3,

・・・8C=3VL

VDF=1,

：.AF=BF=3y/2-\f

的面积是ADXB/=3鱼x(3A/2-1)=18-372.故选：A.

6.（泉港区一模）如图，E、/在。ABCQ的对角线AC上，AE=EF=CD,ZADF=90°,

ZBCD=54°,则NAOE的大小为（）

A.46°B.27°C.28°D.18°

【分析】设由等腰三角形的性质和直角三角形得出ND4E=NADE=x,DE=

^AF=AE=EF,得出DE=CD,ZDCE=ZDEC=2x,由平行四边形的性质得出NOCE

=ZBCD-ZBCA=54°-x,得出方程，解方程即可.

【解析】设/ADE—x,

•：AE=EF,ZADF=9()°,

ZDAE=ZADE=x,DE=-AF=AE=EF

2t

♦：AE=EF=CD,

:.DE=CD,

：.ZDCE=ZDEC=2x,

・・•四边形ABCQ是平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZDAE=ZBCA=x,

：.ZDCE=ABCD-ZBC4=54°-x,

・・・2x=54°-x,

解得:x=18°,

即NADE=18°；故选:D.

7.(宁波模拟)如图，平行四边形纸片ABCQ和EEG〃上下叠放，AD〃EH且AD=EH,CE

交GH于点0,已知S。八8CD=4,SoEFGH=b(〃</?),则S明影为()

----------------------(F

)

A.b-aB.-2(Z?-67C.-2aD.-2b

【分析】证△E”。0△C8。(A4S),得出图中阴影部分面积的是平行四边形EHG/的一半

解答即可.

【解析】:平行四边形纸片ABCD和MG"上下叠放，AD〃EH且AD=EH,

：.EH=BC,EH//BC,

：.ZEHO=ZCBOf

(ZHOE=NBOC

在△E”°与aCBO中，J匕EH。=NCBO，

(EH=CB

•••△EHO0△C8O(A4S),

・•・丛EHO面积=Z\C8。面积，

「♦S阴彬=SA£G〃=EFGH=gb：

故选：D.

8.（太仓市期中）如图所示，平行四边形A8CD中，AC=4cm.BD=6cm,则边AQ的长可

以是（）

A.4cmB.5c/nC.6cmD.1cm

【分析】根据三角形的三边关系求出AD的范围即可判断；

【解析】,・•四边形/WCO是平行四边形，AC=4cmtBD=6cm,

：

.0A=-2AC=2,20D=-BD=3,

：.i<AD<5,只有4cm适合，故选：A.

9.（东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，=A8c。的顶点坐标分别为A（3,。），B（2,

2）,C（〃，3）,D（8,6）,则的值为（）

【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出〃、b即可.

【解析】如图，连接AC、BD交于点0,.

・・•四边形A3CD是平行四边形，

：.AO'=O'C,BO'=0'D,

TA(3,a),B(2,2),C(b,3),D(8,6),

•・•3+b-2"""+"""8"","a""+32+6，

2222

ci—5,b—7,

・•・〃+〃=⑵

故选：C.

10.（江都区期末）如图，在中，ZABC=45°,8C=4,点尸是CD上一个动点，

以外、尸8为邻边作另一个。AEBF,当尸点由。点向。点运动时，下列说法正确的选项

是（）

①口AE8尸的面积先由小变大，再由大变小

②口A仍尸的面枳始终不变

③线段上夕最小值为4企

A.①B.②C.①③D.②③

【分析】过点。作CGL/IB于点G,根据三角形的面积公式知aAB/的面积始终不变化,

进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出oAEB/的面积始终不变，便可判断①、②的

正误；连接ER与A8交于点H,由于E厂始终经过A3的中点从当丹/与A3垂直时,

石厂的值最小，求出此时的ER的值便可.

【解析】过点C作CG_LA8于点G,

则SM"=18-CG,

*：AB与CG的值始终不变化，

/的面积始终不变化，

•・•0AEBF的面积=2X△＞钻产的面积，

・•・0人防厂的面积始终不变

・••①错误，②正确；

连接ER与A8交于点儿

・・•四边形是平行四边形,

：.AH=BILE”=FH,

当b”_LA8时，/〃的值最小，^?二？/〃的值也最小，

此时，FH=CG,

•・・/ABC=45°,CGVAB.

:・BG=CG,

VBG2+CG2=BC2=16,

：.CG=2V2,

：.FH=2V2,

・•・线段E/最小值为EF=2FH=4a.

.,•③正确，

故选：。.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（渝中区校级期末）如图，已知口ABC。的周长为18c〃2,BC=2AB,NA=2NB,则口ABC。

的面积为_9V3_C/H2.

【分析】根据。A8CO的周长为18cm,BC=2AB,/A=2NB,可求得AB和BC,在Rt

△A8E1中可求得AE,可求出四边形A8C。的面积.

【解析】如图，过点4作AE_LBC于点E,

〈0A3c。的周长为18cBC=2AB,

・・・2(AB+BC)=18,

・・・6A8=18,

・"8=3,

・"C-6,

VZA+ZZ?=180°,ZA=2ZZ?,

•••3/8=180°,

AZB=60°,

：.AE=—,

2

.••0ABC。的面积为：

BC・4E=6x管=975（cm2）.故答案为：973.

12.（江干区校级期末）在□ABC。中，A8=3,NABC的平分线交平行四边形的边于点E,

若DE=1,则口48。）的周长是一14.

【分析】由平行四边形A8CD得至ljA8=CO,AO=3CAO〃3C,再和已知8E•平分NA8C,

进一步推出NA8E=NAEB,即A8=AE=3,即可求出AB、A。的长，就能求出答案.

•••BE为NABC的平分线，

,NABE=NEBC,

・・•四边形A3C。是平行四边形,

:・AD〃BC,

：./AEB=/EBC,

：./AEB=/ABE,

•*.AE=AB=3,

：.AD=AE+DE=4f

二口ABC。的周长=2CAB+AD)=14,

故答案为14.

13.（南岗区期末）在口ABC。中，NA=30°,4。=4\",连接8D,若BD=4,则线段CD

的长为4或8.

【分析】作OE_LA8于E,由直角三角形的性质得出OE=/O=2V5,由勾股定理得出4E=

V3DE=6,BE=7BD?一DE?=2,得出48=AE-BE=4,或A8=AE+BE=8,即可得出

答案.

【解析】作DE_LAB于E,如图所示：

VZA=30°,

：.DE=-AD=2y/3

2t

：.AE=V3DE=6,BE=>JBD2-DE2=^42-(2>/3)2=2,

・・.AB=AE-BE=4,或4B=AE+BE=8,

・.・四边形ABCD是平行四边形，

・・・CO=A3=4或8；故答案为：4或8.

14.(岳麓区校级期末)如图，在平行四边形ABCQ中，AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交

A。于点E,则△CDE的局长为10.

【分析】根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求出△COE的周长.

【解析】・・•四边形A3CO平行四边形，

：.AB=DC=4,BC=AD=6,

VAC的垂直平分线交AD于点E,

•EA—EC,

：.DE+EC=DE+EA=AD=6,

则ACDE的周长为：

DE+EC+DC=AD+DC=M=\0.故答案为：10.

15.(渝中区校级一模)在uABCO中，ABVBC,对角线AC的垂直平分线交4。于点E,连

结CE,若口4次第的周长为2()c〃2,则△CQ石的周长为1()0儿

【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可.

【解析】・・,对角线AC的垂直平分线交AD于点已

：.AE=CE,

••,0ABC。的周长为20CTH,

：.AD+DC=\Ocmf

：.△CQE的周长=OE+CE+CQ=AE+QE+CO=AO+CQ=lOc?〃，

故答案诙：10.

16.（江都区月考）口ABC。中，对角线AC和8力相交于。，如果AC=10,30=6,AB=m,

那么m的取值范围是2VmV8.

【分析】根据平行四边形的性质求出04、OB,根据三角形的三边关系定理得到OB-OA

<m<OA+OB,代入求出即可求得，〃的取值范围.

【解析】,・•四边形A3CO是平行四边形，AC=10,60=6,

・・・0A=0C=5,。。=08=3,

在△0A8中，OB・OA〈m<OA+OB,

・・・5-3<m<5+3,

：.2<m<S,

17.（亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，ZADC=\\S°,BE_LOC于点£,DFA.BC^

点F,BE与DF交于点、H,则NB”F=62度.

【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案.

【解析】,・•四边形A8CD是平行四边形，

:・AD〃BC,DC//AB,

VZADC=\\S°,DF上BC,

：.ZADF=90°,

则/£E>〃=28°,

9：BEVDC,

：.ZDEH=90°,

:・/DHE=/BHF=90°-28°=62°.

故答案为：62.

18.（海陵区校级期末）如图，在△ABC中，AC=4V3；NCAB=30°,。为AB上的动点,

连接CQ,以AD、CO为边作平行四边形AOCE,则QE长的最小值为2遮

【分析】取AC的中点O,当OOJ_A8时，OE的长最小，根据含30°的直角三角形的性

质可求OD,即可得出。E的最小值.

【解析】如图，取AC的中点。，当OO_LAB时，QE的长最小，

•：AC=4V3,

・・・AO=2V5,

VZCA^=30°,

/.OD=V3,

・・・。石长的最小值为2K.故答案为：2V3.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（吉林二模）如图，平行四边形ABC。，延长AO到点E,使。连接8E与。。相

交于点O.求证：△BO84EOD.

E

DOC

A'B

【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC,AO〃2C,推出ZDEO=

/CBO,求出。E=8C,根据ASA推出两三角形全等即可.

【解析】证明：・・,在平行四边形A8CO中，

AD=BC,AD//BC,

・•・ZEDO=NBCO,ZDEO=NCBO,

,：DE=AD,

:.DE=BC,

在△3OC和△EOO中，

(ZOBC=ZOED

•・JBC=DE，

V^OCB=(ODE

:•△BOCW4EOD(ASA).

20.(赣榆区期中)如图，在。ABC。中，后为8。边上一点，且A8=A£

(1)求证：AA5C^AEXD；

(2)若NB=65°,ZEAC=25°,求NAE。的度数.

【分析】(1)先证明N8—NEA。，然后利用SAS可进行全等的证明；

(2)先根据等腰三角形的性质可得NBAE=50°,求出N8AC的度数，即可得NAED的

度数.

【解析】(1)证明：•・,在平行四边形A8CO中，AD//BC,BC=AD,

:./EAD=/AEB,

又・.・AB=AE,

・・・/B=NAEB,

：.ZB=ZEAD,

和△£4£)中，

AB=AE

Z.ABC=Z.EAD,

BC=AD

•二△ABC也△£4。(SAS).

9

(2)解：：AB=AEt

・•・/B=NAEB,

；・NBAE=50°,

：.ZBAC=ZBAE+ZEAC=50°+25°=75°,

AABC^AEAD,

AZAED=ZBAC=15°.

21.(开福区校级期末)如图，在平行四边形ABC。中，点E为4。的中点，延长CE交B4

的延长线于点立

(1)求证：AB=AF；

(2)若BC=2AB,ZBCD=100°,求NA3E的度数.

【分析】(1)由四边形A8C。是平行四边形，点E为A。的中点，易证得尸

(AAS),继而可证得。C=AF,又由QC=AB,证得结论；

(2)由(1)可知8F=248,EF=EC,然后由N5CD=10(T求得BE平分NC8F,继而

求得答案.

【解析】证明：(1),・,四边形A3c。是平行四边形，

：.CD=AB,3〃AB,

:・/DCE=/F,ZFBC+ZBCD=180°,

•1E为AO的中点，

：.DE=AE.

在△DEC和中，

(XDCE=/F

\z-DEC=ZAEF，

VDE=AE

:.ADEgMAEF(AAS).

：.DC=AF.

：.AB=AF；

(2)由(1)可知EF=EC,

VZ^CD-100°,

AZF^C=180°-100°=80°,

•:BC=2AB,

:.BF=BC,

・・・BE平分NCBF,

：.x80°=40°

ZABE=-2ZFBC=-2

22.(宿松县模拟)如图，在平行四边形ABC。中，点E是AB边上一点，CE=AB,DFLBC,

垂足为点F,交CE于点G,连接。E,EF.

(1)求证：NAE£>=9()°-|ZDCE；

(2)若点£是/W边的中点，求证：ZEFB=-ZDEF.