陕西榆林市2026届高三模拟预测数学（解析版）

2026年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试（五）

本试卷共150分考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数z二0一D（〃+i）g€R）为纯虚数，则〃=（）

A.-1B.OC.ID.y/2

【答案】A

【解析】

【详解】因为（l-i）（4+i）=4+l+（l-a）i为纯虚数，所以。+1=0,故。=一1.

2.若全集。={1,2,3,4,5,6,7},加={2,3,4}”={1,4,5},则时C|@N）=（）

A.0B.{2）C.{2,3}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】按照集合间的运算的定义计算即可.

【详解】•・・U={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,4},N={1,4,5}

.•岂N={2,3,6,7},.•.Mn&N）={2,3}.

故选:C

3.如图所示，每个小菱形的边长均为I,向量己与方的夹角为:，则於2二（）

4

A.-2-V2B.2-y/2c.2+V2D.4-2V2

【答案】B

【解析】

【详解】由图可知，c=-2«+2^d=2a+3b^因为每个小菱形的边长均为1,

向量。与5的夹角吗，所以温=同•忖cosa,b-

则一21+25＞（2万+35）=7罚一2万.5+652=2—0.

4.在VA3c中，角A,B,。所对的边分别为小b,c,若c=2,lanC=Y2,则VA3C外接圆的半径为

4

（）

A.IB.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

【详解】由于（anC=¥，且。£（0,兀），所以sinC=；.

设VA3c外接圆的半径为A,

因为c=2,所以2R=-^=6,可得R=3.

sinC

5.甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲

获胜，反之则乙获胜.已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获

胜的概率为（）

【答案】D

【解析】

【详解】总事件数为6x5=30,乙获胜的事件数是3x2+3x3=15,

则乙获胜的概率是”=’.

302

6.如图所示，在正三棱柱ABC—A4G中，BC=CC.=2,D,E分别为线段84，AG的中点，点尸

在B|E上，若B尸工AD,则sin/g8b=()

D¥

【答案】C

【解析】

【分析】利用正三棱柱性质以及线面垂直判定定理可证明AC1平面即可得ACJLBb,再由线

7T

面垂直性质可知8歹_LDG,根据棱长计算求得/第3尸二三，可得结果.

6

【详解】如图所示，取AC的中点G,连接8G,EG,DG.

•.•£：为线段46的中点，・二86,4仁石6〃44

..EGJ■平面ABC,・.・4Cu平面ABC，:.EG±AC.

vBGC\EG=G,BG,EGu平面瓦8GE,

AC_L平面片BGE-BF<=平面耳8GE,AC1BF.

•.•BF±AD,ADryAC=AAD.ACu平面ACD,

平面ACO,左匚平面人。。，../?/7，以；.

•/三棱柱ABC-A}B£的棱长为2,BiE=BG=5BD=T,

:./BDG=上,NBQF=三，:.sin/BQF=上.

362

j-2v23兀1

7.将双曲线。：二一与二1(〃>0/>0)绕原点。逆时针旋转二后，得到函数/(x)=x+—的图象，己

alr8x

知直线V=x是函数/(x)图象的一条渐近线，tan^=&+l,则必=()

O

A.1B.2C.遍D.2近

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得双曲线旋转后的实轴所在直线方程，结合函数/'(X)=X+，的解析式，利用双曲线的性质

X

求。力的值即可.

如图所示，易知直线442的倾斜角为三，

o

则直线A4的斜率攵=tan^=J5+l,

8

则直线AA：y=(g+l)x，

y=(应+1卜

辿+2,

由:1，得产=T)’

y=x+—2

22

则a=|OA2|=f+9=2+2近.

由题意可知，函数/(工)图象的另一条渐近线为直线冗=(),

过点A和点&分别作直线A4的垂线分别交直线),=演工=0于点MM,Q,P,

si.n—Tt2sin2—1-cos—1

a---------------=a----------=a---=(\/2-1V/,

b=\1A1P\1=atan—=a------=

-8兀个•兀兀.兀J217

cos—2sin-cos—sin—2L±

88842

ab=(\[2-\)a2-2.

8.已知函数/(x)的定义域为Z,若/(x+y)=/(x)/(i—y)+/(y)/(i—x)，且/⑴=—/(—1)=1，

10

则Z/(2i)=()

!=1

A.0B.IC.10D.20

【答案】A

【解析】

【分析】利用赋值法得函数/(x)的对称性和周期性，从而得解.

详解】令x=y=U,则/(。)=0,

令x=y=1,则/(2)=2/(1)/(0)=2/(0)=0.

令y=l,则/(x+l)=/(—x+1),所以函数/(x)的图象关于直线x=l对称.

令y=-1，则/(D=fMf(2)+/(I-%)/(-1)=,

所以/*)=,/(X)的图象关于点(0,0)对称.

由/*+1)=/(-1+1)和/1)=一/(I-的，可得/*-1)=一/*+1),

令？=大_1,则/。)=一/。+2),

故f(x+2)=/(-x)=-/(x),则f(x+4)=-f(x+2)=4-/(x)]=/(x),

/(均是周期7=4的函数.

10

又/(0)=0J⑴=1,/(2)=0,/(-1)=-1,所以Z/(20=10x0=0.

/=!

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C:)?=i2x的焦点为F,点M(x。,为)在抛物线C上，若|M尸|=9,O为坐标原点，则

()

A.xG-B.yQ—±6>/2

c.IOM1=6GD.点F到直线()M的距离为2&

【答案】BC

【解析】

【详解】抛物线C：V=12x的焦点/(3,0),准线工=一3,

对于A,由抛物线的定义，得|例斤|=厮+3=9,则厮=6,A错误；

对于B,由点M(%,%)在抛物线。上，得$=12x6=72,则为=±6五，B正确；

对于C,|OM|二俄+尤=)36+72=65C正确；

对干D,设点尸到直线OM的距离为d,则久。.=3|。蛆・"二d=6D错误.

(兀、

10.已知直线)，=1与函数/(1)=tana)x+-(/>0)的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为

7T

司,42，且|%一式2|二5，则(

X.CD=—

2

B.函数/(x)的定义域为‘xxw自+"MwZ，

62

c.点H，o)是函数/(幻的图象的一个对称中心

D.函数与函数g(x)=］的图象在工£(一2,4)上的交点个数为4

31

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用函数最小正周期求出口判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代

入法求函数的对称中心判断选项C：作出函数图象得交点个数判断选项D.

71

【详解】由题意可知，函数/(x)=tanCOX+—3>0)最小正周期丁二、一工2|二5,

62

则有二二:，故0=2,A项错误:

co2

因为/(x)=tan(2x+?,所以2x十二#灼r十四#eZ,

k6J62

所以xw包+工,2£Z,B项正确：

26

,c兀Z兀irahT\z«A元兀zr

令?xH—=—,ksZ,解得x=---------,kwZ,

62412

(k兀jr|

则函数/(X)图象的对称中心为—--,0«wZ,

I412J

（5兀、

令k=2,故—,0是/（元）图象的一个对称中心，故C项正确;

I"/

画出函数/（X）与函数g（x）的图象,

易知两函数图象在1£（-2,4）上共有4个交点，故D项正确.

11.一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为点的小球在

该容器内自由运动，则（）

A.该圆锥的侧面积为5。兀

B.小球球心到圆锥顶点的距离的最小值为2

C.小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4

D.小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为20兀

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，利用圆锥的几何结构特征，圆锥和圆台的侧面积公式，结合圆锥的轴截面，以及三角形

的性质，逐项分析判断，即可求解.

【详解】由题意知，圆锥的底面圆的半径为r=5,母线长为/=10,高为〃=5百，

对于A,该圆锥的侧面积为S=7ix5xlO=5O兀，所以A正确；

对于B,在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示，

因为小球的半径为石，在直角△A/7。中，可得AQ|=—空一=&-=26

1sin4A/sin30

即小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为，所以B错误；

对于C,直角尸中，可得AE=—空一=&—=3,

tanZOtAFtan30

所以AE=AF=BG=BJ=CK=CD=3,且AB=BC=AC=10,,

又因为“EF和/XAG。都是等边三角形，所以EF=3,GD=AB-BG=7,

FF3GD7

则圆台的上、下底面圆的半径分别为二二二,一=-,母线长/G=AG—Ab=4,

2222

因为JL4氏。2G_LA8,可得。02==4,

当小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离。1。2=4,所以C正确:

EF3GD7

对于D,由截得圆台上、下底面圆的半径分别为斤=5,可弓母线长为8=4,

(37、

所以截得圆台的侧面积为兀、(2+5)、4=20兀，

在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为曳=竺二竺乙二2,

22

可得其面积为兀x2?=4兀，

所以圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为20兀+4兀=24兀，所以D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/")={],则/(-1)=______.

——lnx,x>0

lx

【答案】1

【解析】

"-x),x<0

【详解】因为“力=《|,则"7)=/⑴=lTnl=l.

——lnx,A>0

lx

13.已知数列｛《,｝的前n项和为S“，q=2,/电向=(〃+1电+〃2+〃，则。”=

【答案】2〃

【解析】

【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得S,=/+〃,然后根据通项与前•〃项和的关系可得数列的通项

公式.

【详解】因为〃Se=(〃+1)S.+/+%等式两边同时除以〃5+1),

得工1L=2+1,当〃=1时，&=4=2,

n+\n11

S

所以数列｝是首项为2,公差为1的等差数列，

n

S

所以一=〃+1,即S“=〃，

所以当2时，an=Sn-Sn_(=In,

当〃=1时，2也符合上式，

所以4二2〃.

14.若VxeR,4cos3工+2以拈2工一1一4>()恒成立，则实数〃的取值范围为.

【答案】(-oo,-3)

【解析】

【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最

值即可.

【详解】易知av4cos3x+2cos2x—1»

令/(x)=4cos3x+2cos2x_1,r=cos,则f(t)=41+2r2-1,

所以/'Q)=4«3r+1).当_g<r<0时，ra)<0,

当•或Ov/Wl时，/v)>o,

3

所以/⑺在（—g,o）上单调递减，在—1,—；）,（0,1］上单调递增.

由/（-1）=-3</（0）=-1,得函数/（/）的最小值为-3,

因为av4cos31+28$2%一1，所以。〈一3.

所以实数〃的取值范围为（TO,-3）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机来摘了100个橘子，称重后得到的数据分成

六组，分别为［40,50）,［50,60）,…,［90,100］,（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图.

（2）已知［60,70）上的平均重量是65克，方差是6,［70,80）上的平均重量为75克，方差是3,求两组重

量的总方差

【答案】（1）75（2）28.2

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出。，再估算出样本的中位数.

（2）利用分层抽样的方差公式计算即得.

【小问1详解】

由频率分布直方图，得10x（0.005十0.010x2+0.020十0.025十以）=1,解得〃=0.030,

数据在［40,70）的频率为0.05+0.1+0.2=0.35，在［40,80）的频率为0.65,

所以样本的中位数约为70+°5一°加x10=75.

0.3

【小问2详解】

由⑴知数据在［60,70）上与［70,8与上的频率之比为2:3,

23

因此样本数据的总平均重量彳=65、^+75><5=71（克），

所以总方差Y=[6+（65-71）2]x-+[3+（75-71）2]x-=—=28.2.

555

16.如图所示，在正四棱柱ABCO-AAG。中，E为B片的中点，AB=BE=1.

（1）求点用到平面AEg的距离；

（2）求二面角A—EG-A的正弦值.

【答案】（1）昱

3

⑵述

3

【解析】

【分析】（1）设点用到平面AEG的距离为d,利用等体积法，即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEG和AEG的法向量，利用面面角的向量法，即可求解.

【小问1详解】

设点用到平面\ECX的距离为d,

因为A4CO-44GA是正四棱柱，E为BB]的中点,AB=BE=1，

所以A,£：=G£=AC；=4i7=血，

则％四=平'（可¥，S.=；xlxl=；,

I乙乙乙

=

由4-AEG=耳G，即4SaAEjd~S&A81GxB^E,得到<Xd=!X：X1,

解得△故点用到平面A^G的距离为且.

33

【小问2详解】

以8czM,34所在的直线分别为x,)，,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为==2,所以4(),1,0)，A((),1,2),4(),(),1)，G(L0,2),

则反1二(1,0,1),取=(0,1,1),EA=(0,1,-1),

设沅=(X”X,zj为平面AEG的法向量,

m-EC,=0x+z.=0

所以,即《,令一=1,得y=1,Z]=-1,

m-EA=0[y+4=。

所以平面AEG的一个法向量为〃2=(1,

设万=(W，)’2，Z2)为平面AEC］的一个法向量,

n-EC'=0x?+z7=0

所以_,即,令工2=1,得％=Z?=-।,

n-EA=0y2-z2=()

所以平面AEG的一个法向量为«=(I—)，

设二面角A-£G-A的平面角为。，

比.万_lxl+lx(-l)+(-l)x(-l)

因为cos成元==f

阿・同一J*Af+ly3

则sin夕=Ji-cos2比，”=

所以二面角A-EC.-A.的正弦值为豆2.

3

17.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“,日％=94=30.

（1）求｛4｝的通项公式;

（2）求数列的前〃项和;

（3）证明:

【答案】（1）%=3〃

2〃

(2)

3(〃+1)

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本品运算计算求解;

（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和；

（3）放缩法解等比数列求和公式证明不等式问题.

【小问1详解】

4+2d=9,

设等差数列｛。〃｝的公差为力由题意可知，

4q+6d=30,

解得q=3,"=3,故a”=q=3n.

【小问2详解】

由（1）得S〃==：〃（〃+］）,所以\_=22(11

3〃(〃+1)n+1

12（1、1A2n

数列《丁｝的前〃项和为彳1--+

3K2）n+\)3(/z+1)

【小问3详解】

122

由（2）知百二而而,田门其中『=4,8,…,2”，

111112f111111

当〃N2时，—+—+—+—+十^7<5匕+不+牙+牙+…+落

J1%%

1

1

21

-

++

-

-

-

2

3

6

6

4

1

1

当时<

〃--

92

$邑

1

1

11

11

<—

不

…十

三+

3+

3+

三+

述，

综上所

2,

J2H

"

-1),

),8(0,

4(0,1

已知点

系中，

角坐标

平面直

18.在

为

之积

斜率

线的

两直

P,且

于点

相交

4。与

直线

;

迹方程

的轨

点P

求动

(1)

O|；

长|C

，求弦

两点

C,。

交于

轨迹

。的

动点

()与

+1=

-2)，

4：工

直线

(2)

得