8字相似模型-浙教版九（上）数学知识点训练（含答案）

8字相似模型一浙教版数学九（上）知识点训练

阅卷人

得分

1.如图，线段4B,O相交于点0,ACIIBD,若04=6,0C=3,0D=2,贝u0B的长是（）

A.3B.4C.5D.6

2.如图，△ABC中，AE交BC于点D,ZC=ZE,AD=4,BC=8,BD：DC=5：3,则DE的长等于

E

A.孕B./C.学D.学

3434

3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点0,设△0CD的面积为m,△OEB

的面积为正，则下列结论中正确的是（）

A.m=5B.m=4V5C.m=3V5D.m=10

4.如图，ZkABC的中线BD,CE交于点G,且△ABC的面积为12,则（）

C.CD2=DGDBD.△DEG的面积为1.5

5.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形力BCD的边CD上，”与DC交于点"，若48=6,CE=2,则

的长为（）

第1页

A.2B.3C.1D.§

6.如图，点D,E,F分别在△ABC的边上，需=/DE||BC,EF||AB,M是。尸的中点，连结CM并延长

交于点N,则空的值是（）

A

11

C--

6D.7

7.凸透镜成像的原理如图所示，AD||/||BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线。8的距离之比为

5：4,则物体被缩小到原来的（）

4

C-

9

8.如图，在RtzxABC中，^ACB=90°,。是8c上的一点，且BD:CO=1:2,E是4B的中点，连结40,CE

交于点F.若4C=CO=2时，则阴影部分△ACF的面积为（）

6C4

-一D5

B.5353

9.如图，AB与CD交于点、0,且4CIIBD.若盥骷器=方则煞=_________

UD-TUU'TDLJLDU

第2页

c

10.如图，B,F,C三点共线，AC与BD交于点E,EFIIAB||DC,若BF：CF=5：7,则件的值

为_________

11.如图所示，在△ABC中，E、。分别是AC、AA的中点，连结BE、C。相交于点G,若CD上BE,BE=

12,CD=9,则四边形4DGE的面积为.

12.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE//AC,若S^OE：SACOA=1：25,则SABDE：

SACDE=-

阅卷入

三、解答题

得分

13.如图，

第3页

AD与BC交于点O,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F,BO=1,CO3,AO=DO=?

(1)求证：ZA=ZD.

(2)若AE=BE,求证：CF=DF.

14.如图，四边形ABC。中，AC平分ND48,AC1=AB^AD,NAOC=90。，E为48的中点.

(1)求证：△AOCs/^ACB；

(2)若AQ=4,A8=6,求空的值.

AF

15.如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE,点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交

ED的延长线于点F,交AB于点从

(1)求器的值；

(2)FC=18,求HG的长.

16.如图，四边形4BCD中，AC平分4/MB,/-ADC=^ACB=90°,E为4B的中点，连接CE,DE.

(2)若4D=4,AB=6,求差的值.

17.如图，AC是。O的直径，弦BD交AC于点E.

第4页

D

(1)求证：△ADE^ABCE；

(2)如果AD2=AEAC,求证：CD=CB.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+bx+c与直线i:y=kx+m交于4（1,1）,8两点，与），轴交

于C（0,5）,直线/与），轴交于点，

(1)求抛物线的函数解析式:

(2)设直线/与抛物线的对称轴的交点为凡若爵=本求直线/的函数解析式;

(3)若在x轴上存在一点P,使乙4P8=90。，且AP=8P,求出力的值.

19.【阅读与思考】

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的垄务.

如图1,在△/18C中，中线/O,CE相交于点G,连接。E,

VD,E分别是AC,彳8边的中点,

：.DE//AC,且OE」/1C.

2

.•.②______S_______,______S_______

.BE=BDDEEG二DG二DE二1

~BA~~BC~1C~2,CG~AG~AC~2

图2图3

任务：

（1）笔记中横线部分应填写①；

②s,s.

（2）如图2,在AMNH中，点K,I,分别在MN,MH边上，连接HK,NL交于点F.若MK=

gMN,ML=』MH,猜测KF与H/7的数量关系，并说明理由.

•J。

第5页

(3)如图3,在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD.BC、CD的中点，BELEG,

AB=3,AD=2V5»求AF长.

第6页

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・AC||80,

.*.△AOCBOD»

.AO_C0

，，BO~DO,

'：0A=6,OC=3,OD=2,

・6_3

''BO=T

解得：BO=4,

故答案为：B.

【分析】易证△AOCS^BOD,然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：VZADC=ZBDE,ZC=ZE,

/.△ADC^ABDE,

,AD_DC

9*BD~~DE'

VAD=4,BC=8,BD：DC=5：3,

Z.BD=5,DC=3.

・BDDC5x315

・・；

DE=-ATDT—=-74—=-4r-

故选:B.

【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出△ADCs/XBDE,根据相似三角形的对应边

之比相等得出器=器，结合题意，代入计算即可求出DE的值.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：・.・AB〃CD,

/.△OCD^AOEB,

又・・・E是AB的中点,

.\2EB=AB=CD,

...迎江（弟）2,即匹=（"，

CDm\2J

解得：m=4弥，

故选B.

【分析】先根据平行四边形的性质求出入OCDS/\OF.R,再根据相似二角形的性质解答即可.

4.【答案】B

第7页

【解析】【解答】解：•・•△ABC的中线BD,CE交于点G,

.,.DE//BC,DE

AZADE=ZACB,ZAED=ZABC,

・•・△DEGBCG,

・•・黑二等=2,即BG=2DG；故B正确；

•；D是AC的中点，

=6，

•；E是AB的中点，

:C^BED—2s"BO=3，

又「BG=2DG,

•,SAGE。=々SAEBD=1,故D错误，

A,C选项无法得到，

故答案为：B.

【分析】根据三角形的中位线得到DE〃BC,DE=/c,然后证明△DEGs/xBCG,即可得到B正确，然

后分局三角形的中线分得的三角形面积是原三角形面积的一半得到SAGE。=1，得到D错误，即可解题.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：:四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，

AAD=CD=AB=6,GF=CG=CE=2,

ZD=ZCGF=90°,

又丁点G在边CD上，

・•・DG二CD-CG=4,ZDGF=180°-ZCGF=90°,

XVZAHD=ZFHG,

・•・△ADH^AFGH,

.DH_AD_6

t，GH=GF=T

，DH=3GH,即DG=4GH,

.,.GH=JOG=1,

.\DH=DG-GH=4-1=3.

故答案为：B.

第8页

【分析】根据正方形读题标量，为进一步求出目标线段DH,故在与目标线段中，易发现并证明

△ADH-AFGII,利用相似的性质求出目标线段DII即可.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，记EF与CN的交点为G,

VEF\\ABf

：.△GFM〜NDM,

.GM_FM

••丽一西’

•・•点M是。尸的中点,即0M=FM,

:・GM=MN,

SBC，盥』

.CE_BD

••通=而=o3，

*：EF\\AB,

.CG_CE

••丽=通=o3'

­­CG=3GN=3(GM+MN)=6MN,

・MN_MN_MN1

=CG+MG=7MN=T

故答案为：D.

【分析】先证明△GFM~NDM结合中点的含义可得GM=AYN,再证明阳=染=3,可得

GNAE

CG=3GN=6MN,从而可得答案.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：8C,CG1Z,8011,

・•・四边形0BCG为矩形，

：・0B=CG,

9-*AH1HO,BO1HO,

第9页

/.△AH~ABOF],

,AH__叫_5

••丽-0F1=4,

•AHAH5口口6「4lj

-CG=0B=4f[^^=sAyHi

・•・物体被缩小到原来的£

J

故答案为：A.

【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG,证明△AHRS/^BOR,然后根据相似三角形的

性质进行解答.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过点A作4G||BC交CE延长线于点G,

'：AGIIBC,

：,&AGF〜&DCF,Z-GAE=Z-CBE,

.AF_AG

••而=优'

是AB的中点，BD.CD=1:2,AC=CD=2,

：.AE=BE,BD=1,

：.BC=CD+BD=2+1=3,

在△AGE和△BCE中，

(4GAE=UBE

AE=BE,

(4AEG=乙BEC

：.LAGEBCE(ASA),

：.AG=BC=3,

.AF_AG_3

，'DF=DC=2,

・S&ACF_3

,•小二，

.S&ACF_3=3

*'S^ACD~2+3一百，

•・ZCB=90°,

第10页

,AC"CD=ix2x2=2>

乙乙

•_3c_3_6

•*c^^ACF=5=5X9Z=耳，

故答案为：B.

【分析】过点A作AGII8C交CE延长线于点G,根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出△

AGFDCF,根据相似三角形的对应边之比相等得出需=器，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等

的两个三角形全等可证明三ABCE,根据全等三角形的对应边相等得出4G=8C=3,推出需=参

3

引根据SMCD=讶AC,CD计算面积得出S“CF=F^A/ICD=F-

S^ACD乙JJ

9.【答案】1

【解析】【解答】解：•.TCIIBD,

•••△4C0八BDO,

.AC_OA+OC+AC_1

••丽—OB+OD+BD-2'

故答案为：\

【分析】根据相似三角形的判定证明△4C0SA8D0,利用相似三角形的性质即可求解。

10.【答案】磊

【解析】【解答】解：〈E尸IIIIDC,

噂二需今，△ABE〜△COE

•S&ABE_（BE：_25

.”△。跖一（诟）-49

故答案为：g

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得黑=器=报再杈据题意可得△ABE〜△CDE，再根据相似三

角形的性质，求解即可.

11.【答案】24

【解析】【解答】解：连接DE,如下图

YE、D分别是AB、AC的中点

第11页

:・DE||BC,DE=+BC

△ADEABC,△DEGCBG

.ED_DG_GES&ADE_（DEy_1

,一（阮）"4

••阮一交一防一2'

.13

'*^^ALE=4sUBC，S四边形BCED=4sMBC，

,・SaACE=四边形BCED

*：CD_BE

工S四边形BCED=《CDxBE=S4,S^DCE^CDXGE,S^DCB=3。。*BG,S^DG£=DGxGE»S&GCE=

1

GCxGE,

乙

.1i

,・SA4CE=S&DCE=2s^OCB=gS,滋磔0营。=18,

S&DGE-；SaGCE=』S&DCE-6,

:.S四边形ADGE=S&ADE+SADGE=24

故答案为：24

【分析】连接DE,利用三角形中位线的性质可得DEII9C,DE=2口。，则△4DE〜△4BC,△OEG

瓯则谈4，番=聆=霹=等则与修陶地=/3因为C℃E，可得S%-CED=%DX

BE=54,SADCE=4coxGE,S^DCB=4coxBG,S^DGE=；DGxGE,S^GCE=GCxGE,得到=

工S=黄四边形=qS^DCE，求解即可.

ADCBBCED$ADGE=2sziGCE

12.【答案岂

【解析】【解答】解：・.・DE〃AC,

・•・△DOE^ACOA,

,S^DOE_、21

S^co力CA25

DE1

VDEZZAC,

・•・△BDE^ABAC,

SD_DE_1

"BA=CA=5,

第12页

1

句=4，

.S>BDE__1

S^ADEDA4

故答案为：i

【分析】由DE〃AC,可判定△DOEs/\COA,△BDE-ABAC,再根据相似三角形的性质及等高三角形的

性质求解即可.

13•【答案】（1）证明：VBO-1,CO-3,AO-/DO-

.OB_A0

，9OC=DO

VZAOB=ZCOD,

••・△OAB^AODC,

AZA=ZD.

（2）解：VZA=ZD,

.•・AB〃CD,

易得△AOE^ADOF,△BOE^ACOF,

.殁

，9DF=OF''CF=OF'

.AE_BE

，9DF=CF

VAE=BE,

.\CF=DF.

【解析】【分析】（1）先根据题意得到零=锯，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意证明

△OAB^AODC得到NA=ND；

（2）根据平行线的判定得到AB〃CD,进而根据相似三角形的判定与性质证明△AOEsADOF,

△BOEsMOF得到器=器，罄=器，从而即可得到盖=修，再结合题意等量代换即可求解。

14.【答案】（1）证明：•••AC平分乙0A8,

:.Z.DAC=匕CAB,

AC2=AB•AD

.AD_AC

，9~AC~~AB

ADCsxACB：

（2）蟀：由（1）1^^/ADC=/ACR=90°

•・•点E为边4B的中点,AB=6,

第13页

•••CE=AE=^AB=ix6=3»

：.Z-ACE=Z.EAC

•••AC平分皿18,

:.Z.DAC=Z.CAB,

：.^DAC=AACE

cE4D

4D4F

----

cEcF

L

4o-4

4F

-=-

3F»

AC7

AAF=4-

【解析】【分析】(1)根据角平分线可得，。4C=KC48,由4c2=48•4。可得第=籍，从而得到△AOC~

△4CB即可证明；

(2)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CE,根据平行线的判定得到CE||力。证明△力。尸〜

△CEF,最后相似三角形的性质即可证明求解.

15•【答案】(1)解：•・•点D、E是4ABC边AB、AC的中点，

・・・口£是^ABC的中位线，

；・DE〃BC,BC=2DE,

:.ZBCG=ZF,ZCBG=ZFEG,

•・•点G是线段BE的中点，

.\BG=EG,

在^BCGffAEFG中，

乙BCG=zF

乙CBG=^FEG，

BG=EG

，△BCG0△EFG(AAS),

ABC=EF,CG=FG,

VBC=2DE,

.\BC=EF=DF+DE=2DE,

.\DF=DE,

/.BC=2DF,

又・・・DE〃BC,

第14页

••・/F=NFCB,ZFDB=ZDBC,

・•・△niD^ACIID,

.FH_FD_1

(2)解:VCF=18,

.\CG=FG=9,CH=CF-FH=18-FH,

..FH_FD_1

,CH~BC~2

AFH：(18-FH)=1：2,

AFH=6,

・・・HG:FG-FH=9-6=3.

【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线，则DE〃BC,BC=2DE,证明△BCG和△EFG全等

DEBC=EF,CG=FG,则BC=2DF,然后根据^FHD^ACHB即可得出结论；

⑵先求出CG=FG=9,CH=CF-FH=18-FH,再根据(1)的结论得FH：CH=DF：BC,则FH：(18-FH)=i：

2,由此可求出FH.进而即可得出HG的长.

16.【答案】(1)证明：・♦・"平分2ZMB,

：.Z.CAB=2LDAC,

•••Z-ADC=^-ACB=90°,

:ADCs〉ACB(AA),

.AD_AC

^~AC~AB

'.AC2=AB-AD：

(2)解：•••乙4c8=90。，E为AB中点,

AAE=CE=EB,

：,Z-ECA=/.CAE,

•••4C平分乙DAB,

•••Z.DAC=Z-EAC,

•••Z-DAC=Z-ACE,

：.CEWAD,

:.△AFDs〉CFE,

.AD_AF

，9~CE~CF

•••CE=^AB=3，AD=4,

AF4

CF=r

第15页

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得=结合直角直等，利用AA证明△ADCSA

ACB,根据相似二角形的对应边成匕例证明即可；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=CE,根据等边对等角准备条件，证△4&）sZkcFE,根据相

似三角形的对应边成比例求解即可.

17.【答案】（1）证明：如图，犬々替命20・・NA与NB是CD所对的圆周角，・・・NA=NB,又・.・21=

Z2,?.△ADE^ABCE；

（2）证明：如图，ACVAD2=AEAC,・・・焉=兼，又・・・/A=/A,

OE

.*.△ADE^AACD,.*.ZAED=ZADC,又〈AC是。O的直径，AZADC=90°,即NAED=90。，,直径

AC1BD,・•・◎=",ACD=CB.

【解析】【分析】（1）由圆周角可得NA=/B,根据相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相

似，由此即可得证.

（2）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；由此可得

△ADE^AACD,由相似三角形的性质得NAED=NADC,由圆周角定理可得NADC=NAED=90。，由垂

径定理可得CD=CB.

18.【答案】（1）解：将点4（1,1），。（0,5）代入丫=%2+/+以

得｛1+竺1］，解得｛仁［

••・抛物线的函数解析式为y=/-5工+5.

（2）解：抛物线的对称轴为％=一4=1

如图I.过点A作AM垂直对称轴于点M,过点B作BN垂直对称轴于点N,则4M||BN,

D\

O\

.*.△AMFs匕BNF,

v4(1,1),

第16页

...53

AM=5-1=T

3BN=4AM=6BN=2,

59

-+2-,即呜手).

22

把点4(1,1)和84，素)代入y=kx+m,

k+m=1k=

得9心上11,解得

1#+巾=工m=

・・・直线1的函数解析式为y=1x+1.

(3)解：如图2,过点A作4Glx轴于点G,过点B作8”J.不轴于点H,

•••乙APB=90°,

LAPG+Z-BPH=90°.

•••乙APG+Z-PAG=90°,/.4PAG=乙BPH.

•:AP=BP,.MPAG三ABPH(AASy

•.AG=PH,PG=BH.

设点P(Q,0).

则AG=1,PG=BH=a—1,AG=PH=1,

:.B(a+l,a—1),

二Q—1=(a+1)2—5(Q+1)+5,

解得的=2+A/2,QI=2—V2»

.•・8(3+V5,1+式)或8(3-V2,l-V2).

①当8(3+或,1+鱼)，4(1,1)时，代入y=kx+m,

[k+771=1^(k=-V2-l

旬1(3-e)k+m=l+&'解得lm=2-或，

②当(3—企,1一企)，4(1,1)时，代入^=/^+7?1,

得心一右江舄「行解%工

综上所述，k的值为我-1或一或-1.

第17页

【解析】【分析】（1）利用待定系数法经过两点解方程组求出抛物线解析式;

（2）利用等=%构造“8字”相似，利用已知A点与对称轴信息推出B点坐标，最后利用待定系数法解方程

组得出一次函数解析式：

（3）将坐标系的等腰直角三角形转换为一线三垂直全等，利用全等性质设P点得出等量关系解之即可得出

B点坐标，同理利用待定系数法得出一次函数k值.

19.【答案】（1）DE是△ABC的中位线；△BDE；△BAC；△DEG；△ACG

（2）解：KF=|HF,理由如下:

连接KL

M

N

11

•：MK=*MN,ML=^MH

o0

.MK_ML_1

••丽一丽—4

・•・△KML^ANMH

"•MKL=/M>NArrHr,K-L=^—1K=1-

・・・KL〃NH

・•・△KFL^AHFN

.KF_KL_1

,,麻=而=4

.\KF=|HF

J

(3)解：连接AC,EC

AED

•・•四边形ABCD是平行四边形

第18页

・・・AD=BC,AD