高三数学一轮教案-基本立体图形简单几何体的表面积与体积

§7.1基木立体图形、简单几何体的表面积与体积

【课标要求】1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的

结构2知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能

用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.

1.空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

.名称棱柱棱锥棱台

D),志cO，

翘

图形

ABABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点但不

侧棱平行且相等延长线交于一点

一定相等

侧面

平行四边形三角形梯形

形状

（2）旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

③

图形

4氐1

互相平行\

且相等，相交于二延长线交

母线

垂直于底点于一点

面

等腰三角

轴截面矩形等腰梯形圆

整

2.直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

⑵规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中V轴、步轴的夹角为45。或135。.

②原图形中平行了坐标轴的线段，直观图中仍分别平行丁•坐标轴,平行于x轴和z轴的线段在直观图

中保持原长度丕变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

\圆柱圆锥圆台

侧面展

蠹，帑

升图

侧面积

SOTH«i=2nr/S期6*尸兀（门+「2）/

公式

4.柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何

柱体S&=S刊+2SftV=Sh

锥体S表=s例+s底

Js上S下他

台体S&=S«+S上+SF

球St-AnR1吗的

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

（1）菱形的直观图仍是菱形.（X）

（2）圆台的母线长都相等.（7）

（3）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.（X）

(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(X)

2.已知正三棱柱A8c481G中，AS=AAi=2,则该三棱柱的体积为()

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

答案C

解析在正三棱柱A8C4SG中,AB=AAy=2,

所以S"苫X2X2Xsin60°=V3,

所以V-培-A0==3&8cA4尸26.

3.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图，则直观图的面积为()

A.36B.18V2C.9V2D.—

2

答案C

解析在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的坐，而边长为6的正方形面积为36,所以所求的直观

4

图的面积为乎X36=9心

4.已知圆锥P0的母线长为2,。为底面的圆心，其侧面积等于275兀，则该圆锥的体积为.

答案兀

解析设圆锥P0的底面圆半径为由母线长为2,侧面积等于2K兀，

得［X2"X2=28兀,解得r=V3,

因此圆锥的高/?=V22-r2=-(V3)2=l,

所以该圆锥的体积V=^jtrh=^jtX(点)2x1=兀

1.掌握三个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)(祖晒原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

(3)直观图与原平面图形面枳间的关系：5直观图=咚5炭图形，5此怕彩=2鱼5内税图.

4

2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点

(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.

题型一基本立体图形

命题点I结构特征

例1（多选）下列说法中正确的是（）

A.各恻棱都相等的棱锥为正棱锥

B.长方体是直四棱柱

C.用一个平面去截圆锥，圆锥底而和截面之间的部分为圆台

D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面

答案BD

解析对于A,各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误；

对于B,易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确；

对于C,根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，故C错误；

对于D,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确.

命题点2直观图

例2用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形CM8C的直观图为如图所示的直角梯形（TABC,其

中方0三。'4',A'B'LO'A',若原平面图形0A8C的面积为3夜，则07V的长为（）

A.2B.V2C.V3D.1

答案D

解析方法一如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形O48C,

设OA'=x,可得OB=五x、

贝ljOB=2O'B,=2>/2x,BC=B'C'=^,0A,

且OB为原平面图形中梯形的高，所以原平面图形048c的面积为S=1（X+0X2V2A-=3V2,

解得可・

方法二由S直观图二-5原图形可得S直视图=5,

42

设O'A'=x,贝ljO'B'=yf2x,BCq,A'B'=x,

«5

根据直角梯形的面积公式得n+3-I,

解得尸李

命题点3展开图

例3（2025・大同模拟）已知圆台的上、下底面的圆心分别为Oi，。2，母线A8=l（点A位于上底面），且

5O2=2AO”圆O2的周长为与，一只蚂蚁从点4出发沿着圆台侧面爬行一周到点以则其爬行的最短路

程为（）

A.lB.V3C.2D.V5

答案B

解析将圆台的侧面沿着母线A8剪开，展成平面图形，延长BA,8Ml交于点O,连接A4,AB],BBi,

如图，

显然弧的长为冬,弧A4的长为5,设NBOB尸a,则a乂04三，aX08等，

则O6-2QA,即OA+1-2OA,得OA-1,于是A是06的中点，口弋,

因此△03Bi是等边三角形，有AB|_L05,且ABi与弧AA相切，则AS在此侧面展开图内，

所以蚂蚁爬行的最短路线为线段ABi,ABEBtan卜后.

思维升华（1）辨别空间几何体的两种方法

①定义法：紧扣定义进行判定；

②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.

（2）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于），轴的

线段平行性不变，长度减半.

（3）在解决空间曲线（段）最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.

跟踪训练1（1）下列说法正确的是（）

A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱

B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

C.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台

D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体不一定是圆锥

答案D

解析对于A,底面和侧面的公共边不是侧棱，A错误；

对于B,底面是正多边形的棱锥，顶点与底面中心的连线不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱锥，B

错误；

对于C,两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一

点，C错误；

对于D,直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，以其斜边所在直线为轴旋转

一周形成的几何体由两个共底的圆锥组合而成，D正确.

(2)如青，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形A'B'C'D',且O'D'=2,

则原平面图形的周长为()

A.4加+4B.4V6+4

C.8VZD.8

答案B

解析根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，

其中OA=2y12,0。=4,

AB=CD=2,

贝ljAD=y/8+16=2x/6,

故原平面图形的周长为2+2+2历+2乃=4乃+4.

⑶如图在一根高为11cm,外圆周长为6cm的圆柱体外表面漉绕一根细铁丝，组成10个螺旋，如果

铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的最小值为()

A.61cmB.V157cm

C.V2021cmD.V1037cm

答案A

解析..•圆柱体的高为11cm,外圆周长为6cm,

又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，

则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，

其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6cm,高为圆柱的高11cm,则大矩形的对角线即为铁丝长度的

最小值，

此时铁丝长度的最小值为V1124-602=6l(cm).

题型二表面积与体积

命题点I表面积

例4(1)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于

()

A.8兀B.4兀C.8D.4

答案A

解析以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得圆柱的底面半径『2,高h=2,

・••所得圆柱的侧面积S=2兀〃z=2兀X2X2=871.

(2)(2025•枣庄模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面

积为()

A.6兀B.16兀C.2671D.32兀

答案B

解析圆台的上底面圆半径尸=1,下底面圆半径=3,

设圆台的母线长为I,扇环所在的小圆的半径为X,

2irX3=TT(Z4-x),

依题意有

2TTX1=TlX,

解得｛:二；

所以圆台的侧面积5=兀(尸+「)/=兀(1+3)X4=1671.

命题点2体积

例5(1)(2024.武汉模拟)“极目一号”IH型浮空艇(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的,

它曾多次成功完成大气科学观测，彰显了中国的实力.“极目一号”III型浮空艇长55m,高19m,若

将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”HI型浮

空艇的体积约为(参考数据:9.52=90,9.53=857,315X1005«,7^3.14)()

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m2

答案A

解析由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R=^=9・5(m)，而圆台另一个底面的半径为

m,

贝ljv半球=[xgx兀X9.53若士兀(n?),

V圆柱=兀义9.52X14~1260mm3),

V圆台=：><(9.5/W9.52nxn+兀)X3,

•5O

所以HV半球+v圆柱+v圆台意早7r+i260兀+三詈m9064(0?).

(2)木楔子在传统木工中运用广泛，它使得梯卯配合的牢度得到最大化满足.如图为一个木楔子，其中四

边形A8co是边长为1的正方形，且△4£>£：,△8CT均为正三角形，EF//CD,EF=2,则该木楔子的

体积为()

.4^2

A—B.V2

答案D

解析如图，分别过点4,8作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,CH,

由题意知等腰梯形48FE全等于等腰梯形DCFE,

则EG="F二芋4,AG=GD=BH=HC=J12-（步当

取A0的中点。，连接GO,

因为AG=GD,所以GOA.AD,

G02

则=J(T)-(D2=T，

XX,=

所以5A4DG=SA«CW=|TT-

因为AB//EF,AGA.EF,所以AB_LAG,

因为四边形A8C。为正方形，所以A8J_A。，

又因为ADC\AG=A,AD,AGu平面ADG,

所以ABJ_平面AOG,

所以E/_L平面AGO,

同理可证E/_L平面BCH,

所以多面体的体积V=V三梭锥EADG+V三棱锥FBC//+V三梭柱AGDHHC=2V三梭锥EADG+V三梭柱AGDHHC

，XJLX2+立XI*

34243

思维升华求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不

割补法

规则的几何体补成规则的几何沐

通过选择合适的底面来求几何钵体积的一种方法，

等体积法

特别是三棱锥的体积

跟踪训练2(1)(2024•新课标全国I)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为

V3,则圆锥的体积为()

A.2JJ兀B.3百兀C.6X/3TTD.9百兀

答案B

解析设圆柱的底面半径为，

则圆锥的母线长为正F,

而它们的侧面积相等，

所以litrXV3=7trXV3+r2,

即2V3=V3TH，故片3,

故圆锥的体积为、X9XV5=3百兀

«3

(2)(多选)如图，在直三棱柱A8a由|G中，48=2,BC=3,CG=4,且48_L8C,P为8c的中点，则

()

A.三棱锥ABCCi的体积为4

B.三棱锥CArCi的体积为B

C.四棱锥的体积为8

D.三棱锥GA3C的表面积为14+2V13

答案ACD

解析对于=；><CGXS.M8c=94义92乂3=4,故A正确；

二段堆71-8CC1二梭量C1―71BC332

对于B'”三棱椎C-APC："三棱锥A-PCG'

而三棱锥AACG与三棱锥APCG有共同的高，

•・・P为BG的中点，

:・SA“C书S〉BCC\，

・•・，一•必=：X4=2,故B错误;

二棱锥/l-PCQ2二棱锥A—BCQ2

对于C，%棱锥c可三棱柱加三棱锥―/2X3X44=8，故C正确；

对于D,由题可知,AC=V13,ACi=V29,8G=5,

：.AI3-+BC^=AC^,

•••△4BG是直角三角形，A8J_AG,

•••二棱锥GABC的表面积为SziABc+SaBcg+SaAcg+SAABCI

二"2><3+93乂4+如旧乂4+打2义5=14+2内，故D正确.

课时精练

［分值:90分］

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.下面关于空间几何体叙述不正确的是（）

A.正四棱柱都是长方体

B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线

C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

D.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱

答案C

解析对于A,正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，A正确；

对于B,在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线

平行于轴时才是母线，B正确；

对于C,有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，C错误；

对于D,根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互

相平行的几何体是棱柱，D正确.

2.已知某儿何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（）

2

AA8n

TB.3兀

「10n

c•亍D.6兀

答案B

解析由题图可知，此几何体为从底面半径为1,高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的工后剩余的部

4

分，所以所求几何体的体积V=7Xl2X4-XrXl2X4=37r.

C47

3.已知一个直四棱柱的高为4,其底面ABC。水平放置的直观图（由斜二测画法得到）是边长为2的正方形，

则这个直四棱柱的表面积为（）

A.40B.32+16V2

C.64+16V2D.64+16V3

答案C

解析由于直观图是正方形，所以四边形A8C。是两邻边分别为2与6,高为4企的平行四边形，其周长

是2+6+2+6=16,面积是2义4a=8\/5,所以直四棱柱的表面积是16X4+8&X2=64+16鱼.

4.（2025・新乡模拟）已知某圆锥的轴截面是顶角为。的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为“的扇形，若

B=3a,则/等于（）

A.?B.？Dm

323

答案D

解析设圆锥的母线长为/,则圆锥的底面半径/-/sin^,因为根!面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，

所以用=2i/sin,,即/?=27tsin^,

因为。<好2冗，,则0<〃<§,

故，

所以口关于a单调递增，

验证选项可知当时，6=兀=3〃符合题意.

5.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由厄尔诺・鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲

拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久不衰，每年都会举办人小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶

魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45。，则该魔方的表面积是（）

A.54B.10836V2

C.16272^2D.8118V2

答案C

解析如图，

中间一层转动了45。后，此时的魔方相对原来正方体的魔方多出了16个小三角形的面积，

显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边为x,则斜边为,

故（2+四）x=3,可得户3券，

2

由几何关系得阴影部分的面积S《X（3-乎）二日竽，

所以所求面积S'=6X3X3+16X（?-竽）=1627271

6.多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数七与面数尸满足V+PE=2的数学关系.请运用欧拉定理

解决问题：碳60（Qo）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分

子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示.碳仪乂弓力的分子结构是一个由正五边形面和正六边

形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的个

数是（）

A.22B.20C.18D.I6

答案B

解析由题意可知V=60,F=32,

由V+FE=2可得E=90,

设正五边形面的个数为A,正六边形面的个数为y,则x+y=32,

因为一条棱连着两个面，

所以足球烯表面的棱数后35廿6y）=90,

联立«（5、+6y）=90,解得产=

tx+y=32,A=20，

即32个面中正六边形面的个数是20.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2023・新高考全国II）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，43为底面直径,4P8=I2O。,PA=2,点C

在底面圆周上，且二面角PACO为45。，贝义）

A.该圆锥的体积为7TB.该圆锥的侧面积为4V37T

C.AO2或D.APAC的面积为8

答案AC

解析依题意，ZAPB=\20°,PA=2,

所以0P=\,OA=OB=V3.

A项，圆锥的体积为［x兀乂（遮）2乂1=兀，故A正确；

B项，圆锥的侧面积为nXV3X2=2V37i,故B错误；

C项，取AC的中点O,连接OO,PD,如图所示，

贝ljACJ_OO,ACA.PD,所以NPZX?是二面角PACO的平面角，

贝1/00=45°,所以OP=OD=\,

故AD=CD=y/3^1=V2,

贝ljAC=2y/2，故C正确；

D项,PZ>V12+12=V2,

所以S^C=1X2V2XV2=2,故D错误.

8.（2025・喀什模拟）如图是圆台0。2，在轴截面A8CD中，AB=AD=BC=^CD=2,下列说法正确的是（）

A.线段八。二26

B.该圆台的表面积为11兀

C.该圆台的体积为7次兀

D.沿着该圆台的表面从点。到AO中点的最短距离为5

答案ABD

解析显然四边形A8CO是等腰梯形，AB=AD=BC=2,CZ>4,其高即为圆台的高介小蜉_（与守域

对于A,在等腰梯形ABCD中，AC=Jh2+（CD一=?炳,A正确；

对于B,圆台的表面积5=nXl2+7tX22+7t（l+2）X2=lIn,B正确；

对于C,圆台的体积V=^JI（12+1X2+22）X73=^,C错误；

对于D,将圆台一半侧面展开，如图中扇环A8CO所示，且E为4。中点，而圆台对应的圆锥一半侧面展

开为扇形CO。且易知OC=4,又NCOZ）=空=9,在网△COE中，CE=V42+32=5,斜边CE上的高为

42

甯=募>2,即CE与弧A8相离，所以点C到八。中点的最短距离为5,D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2023・新高考全国I）在正四棱台ABCDABC1D中,AB=2,4向=1,A4i=V2,则该棱台的体积

为______

答案乎

6

解析如图，过4作4M_LAC,垂足为M,

易知AiM为四棱台ABCOAIBICQI的高，

因为AB=2,48尸1,AA尸企，

则AiOi=|AiCi=1xV2A|Bi=y,

AO=-AC=-Xy[2AB=y/2,

22

故4M=A040产q,

贝ijA।M=yjAAl—AM2=^2—,

所以所求棱台体积为V=1X（4+1+V43TL）X

10.如图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是

一个由侧面三楂柱，它的侧楂垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点

为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3,若曲侧面三棱柱的高为10,底面任意两顶点之间

的距离为20,则其侧面积为.

答案200兀

解析由题意得底面是由三段以20为半径，;为圆心角的圆弧构成，

所以底面周长为3X1X20=2071,

又曲侧面三棱柱的高为10,

所以由侧面三棱柱的侧面积为207rx10=200兀

四、解答题（共27分）

11.（13分）如图，A8是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且A8=4P=4,点。是圆柱底面圆周上的点.

（1）求圆柱的侧面积和体积；（5分）

（2）若AO2,。是P8的中点，点E在线段AP上，求CE+OE的最小值.（8分）

解（1）由题知，底面半径为2,母线长为4,

所以圆柱的侧面积S=2兀X2X4=16兀，

圆柱的体积V=nX22X4=167i.

（2）记底面圆心为。，连接。C,因为底面半径为2,AC=2,

以AP所在直线为轴，将△APC旋转到△APC,使得△APC和轴截面PA3共面，如图,

贝ijOC'=2+2=4,OD=2,

当C,E,。三点共线时，CE+DE取得最小值V42+22=2遥.

12.(14分)如图，矩形07V9C是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中

O'A'=3,O'C=\.

(I)求平面四边形048c的面积；(4分)

(2)若四边形。力AC以A。为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.(10分)

解⑴因为S原图形=2&S直观图，

所以S平面四边形oABc=2y/2S直观图二6或.

(2)平面四边形OABC如图所示，在RlZXO。。中，有OC2=O02+CO2=(2^)2+]2=9,

所以。。=3,所以AB=3.

如图，分别过点B,。作A0及其延长线的垂线，垂足为E,F.

矩形FMC绕A。及其延