湖南省湘潭市2026届高三二模数学（解析版）

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设不等式炉+3工工10的解集为M,则()

A.B.-6GMC.l/MD.

【答案】A

【解析】

【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可.

【详解】由M=1X|X2+3X<1()|={X|(X+5)(X-2)<0)={X\-5<X<2},

得也wM，-6EM,leM,瓜史M.

故选：A.

2.若直线"22工-8丁-1=0与直线〃户工+4>-7=0垂直，则〃?二()

1।

A.-2B.——C.2D.：

22

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据直线与直线的垂直列等式即可.

【详解】因为直线nrx-8y-1=0与直线tn,x+4)，-7二0垂直，

所以“2•，+(-8)x4=。，解得机=2.

故选：C.

3.现有一组数据2,4,5,2,3,6,8,4,5,则这组数据的第80百分位数与中位数分别是()

A.4,6B.5,4C.6,4D.6,5

【答案】C

【解析】

【分析】先对数据进行升序排列，再分别求出中位数和第80百分位数，进而判断选项.

【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为2,2,3,4,4,5,5,6,8,

1+9

这组数据个数〃=9,中位数位置——=5,取第5个数，即为4,

2

・.・i=〃x80%=9x80%=7.2,

---这组数据的第80百分位数取第8个数，即为6,

...这组数据的第80百分位数与中位数分别是6和4,故C正确.

故选：C.

a兀[3…

4.若tan-+—I=~,则tana=()

1125

A.3B.—C.D.

3T12

【答案】D

【解析】

【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可.

•aa7：7r\9I

【详解】因为lan；=tan—+=^-^-=7

2U44j1+35

2

2

所以lana=lan2x—|=-^-―=—

I2)]__L12

25

故选D.

5.在平行四边形A8CD中，ACBD=-4»则

而卜

A.\AB^=\ADf+2B.fW/=|4

c.|AB|2=|AD|2-2

【答案】B

【解析】

【分析】先利用平面向量加减运算法则和数量积即可求解.

【详解】在平行四边形ABC。中，因为/=丽+•万，瓦5=而一砺,

所以*•8万二―/•）看=_（4与+（A月_AS）二|必2T词2=_4,

所以丽2二防2旦

故选：B

6.在VA3c中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c.已知/+/=4,且/+6=/+9，则VA3C

面积的最大值为（）

A.近B.|C.巫D.—

2252

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.

【详解】因为/+从=^+出?，所以cosC=-+"一.二L

lab2

所以sinC=X^.因为"+从=422H?，所以。〃工2,

2

当且仅当〃=b=0时，等号成立，

则YABC的面积S=—absinC=且二正，

2442

则VA3C面积的最大值为正.

2

故选：A.

7.已知函数/（力=＞：＞；+1的值域是［4句,则力一4=（）

28

A.IB.-C.-D.2

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域.

【详解】因为l—f20,且工+2工0,所以函数八月二上二11定义域为人目-1』.

设,41,川-%218（-2・-1）,则“X）是音线A8的斜率.

点4是半圆£+丁=1（）后。）上的动点.如图,

设点户（1,0）,则%=；.

设切线伙2的方程为y+l=2（x+2）,即依一y+2攵-1=0.

4

由圆心0（0,0）到切线BQ的距离d=解得攵=0（舍去）或攵=§.

1414

由图可知,即/（X）的值域为

41

则“〃=-----=1.

33

故选:A.

8.在正四楼台ABC。—A4CQ中，AB=-AiBi=3y/2,且A4,=正，记能将正四楼台

4

ABCD-44GA罩住半球的最小半径为K,正四棱台ABCD-44GA外接球的半径为&，则K=

A考

B.IctD-7

【答案】D

【解析】

【分析】取AC,AG的中点分别为0,。1，通过计算分别求得0。1，AO］，A。通过比较可知凡==4,

设外接球的球心到平面AMGA的距离为d,通过勾股定理计算求得d、4,即可得出结果.

【详解】如图，连接AC,4G，它们的中点分别记为。，。1,连接AQ,OQ,易知。«为此正四棱

台的高,

a

A8=1A4=3底,则A4=4后，所以AC=6,40=3,AG=8.

8-6

过点A作4G的垂线，垂足为“，则4〃=；—=1，

A4,=y/2,则OO]=AH=y/im=l,AO.=y)AO2+OO[=VlO<=4,

故能将正四棱台ABC。-AB|GA罩住的半球的最小半径4=4.

设该正四棱台外接球的球心到平面4乃CQ的距离为d，则f+42=(4+1y+32=/?；,解得4=3,

R、5

凡=5,故七一了.

~R14

故选:D

DnC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃x)=Acos(0x+e)A>0,3>0,刨v的部分图象如图所示，将/(犬)图象上所有点的

横坐标缩短到原来的3后，再将所得图象向右平移3个单位长度得到函数g(x)的图象，则()

71

A.(p--

10

B.g(x)=3cos(2犬一1)

C./(x)图象的对称轴方程为工二一2+勺(攵wZ)

D.g(x)的单调递增区间为一3谓r+E,兀1+E(Z$Z)

1V."J

【答案】ABD

【解析】

兀

【分析】根据图像求出/（%）=3cosx+—,结合余弦函数的图像与性质依次判断选项即可.

1u/

【洋解】由图可得A=3,由‘X口二4一生=兀，得©=1.

2/55

/JTjrjr

由学+0=5+2攵兀（2£Z）,得0=丁+2%兀（攵£Z）,

因为|时祗，所以8弋，A正确.

71

rtlA的分析可得/(x)=3cosH---I,

X10)

令上+：=k兀（Z£Z）,得x=+£Z）,

所以/（力图象的对称轴方程为工=-入十也（丘Z）,C错误.

71兀=3cosf2x--

g(x)=3cos2X----+--一,B正确.

4J105J

令一兀+2匕—昂«2Z兀（AwZ）,得Y^+kn<x<—■¥kn[keZ),

所以g（x）的单调递增区间为器■+E,]+E(AwZ),D正确.

故选：ABD

10.（多选题）定义：当X且/（毛）/（赴）>0时、>0恒成立,则称是同号增

%一々

函数.下列函数是同号增函数的是（）

A.jB.〃x)=tanx

-x

“CTD.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据同号增函数的定义逐一分析每个选项中的函数是否满足当％工々且/（%）/（公）>°时，

山匕9）。恒成立.

国一々

【详解】A选项，由/（x）=—!—>0得/<1,由/（1）=—!—<0得x>l,

1—A1—A

又f（x）在（-8,1）,（1,+8）上单调递增，故A正确；

B选项，/（x）=tanv>0,得布,]+E）,攵EZ,

兀77r

取占=W'w=不,则/（%）=1>°,/（工2）

满足/（%）/（与）>0,但X-玉VOJ㈤./（毛）>。，

不满足JI"'〃>0的条件,故B错误；

%一々

C选项，/（x）=£zl>（）得x>0,/（x）=£zl<（）得x<0,

因为y=e'+l在R上单调递增，且）,=^+1>0,

v

e_i2

所以f（x）=---=1--二在R上单调递增，

则.“力在（TO,0）,（0,一）上单调递增,故C正确;

D选项，/（力二怆（2'-1）>0得%>|；/（式）=怆（2'-1）<0得0cx<1,

因为y=2'1在R上单调递增，y=l或在（0,+8）上单调递增，

所以/（1）=怆（2'-1）在似+⑹上单调递增，

故/（X）在（0,1）,（1,*0）上单调递增，故D正确.

故选：ACD

11.已知Q,A是双曲线C：r-V=1上两个不同的点，。是。的左顶点，则（）

A.。的焦距为2近

B.当QRJ.X轴时，尸。与球可能垂直

C.当|P。|=归困=3时，。，R的横坐标之和的取值集合为卜+

D.当Q,R的纵坐标异号时，对任意的点Q,都存在点R,使得NPQR=120。

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,根据双曲线方程进行判断；对于B,利用向量法进行判断；对于C,得到Q,R的轨迹方

程，联立双曲线方程，求解；对于D,根据倾斜角和渐近线进行判断.

【详解】。的焦距为2后1=2及，A正确.

当QR_Lx轴时，P（-1,O）.

（方法一）户。=归用，则/QPR=90。，因为。的两条渐近线互相垂直，所以NQPRW90。，B错误.

（方法二）设。（九〃），R（肛-n）,则PQ=（/n+l,i）,加=（团+1,-〃），

则用•丽=（"2+1）2—〃2=〃/一〃2+2m+1=1+2川+1,

若PQ则闻•丽=1+2m+1=0,解得根=一1,

此时2Q,R三点重合，这与题意不符合，所以P。与依不可能垂直，B错误.

当|R2|=|PR|=3时，Q,及在以P为圆心，3为半径圆上.

该圆的方程为（％+1）2+/=9,

y"—1,、i

由t/,八得/+（1］）2=10，

Jx+ir+y=9,

整理得2/+2X—9=0,解得X=々=T〔M,

所以Q,/?的横坐标之和可能为2%，2X2,X,+X2,

故。，R的横坐标之和的取值集合为｛一1一厢,一1,一1+晒｝,C正确.

如图，设Q在第一象限，当直线P。的倾斜角为15。时，设直线0R与1轴交于点7，

若NPQR=120。，则NP7Q=180。-120。-15。=45。，则直线QR与C的一条渐近线y=一平行，从而

点R不存在,D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.|2-3i|=.

【答案】V13

【解析】

【分析】根据复数模的计算公式求解.

【详解】|2-3i|=^22+（-3）2=713.

故答案为：V13

13.若直线>=质是曲线），=ge?x的一条切线，则攵=.

【答案】e

【解析】

【分析】设切点为（,%,%）,求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.

【详解】设直线），=依与曲线y='e2"相切于点（毛,%）.

因为（ge?）=e2A，

所以k=e2to且;e""二心b，

解得厮=—,k=e.

故答案为e.

14.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入一个3x3的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第

一行数字满足<《2<43,第三行数字满足〃31<〃32<〃33,第三列数字满足《3<生3<%3，则符合要

求的填数方法共有种.（用数字作答）

42%

%〃22。23

“32。33

【答案】1080

【解析】

【分析】由计数原理分析求解即可.

【详解】从9个数中任取2个数填入和〃22的位置，有A；=72种方法.

因为《1<〃12V〃13<a23<。33，031<〃32<〃33，

所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入〃33的位置，

再从剩下的6个数字中选择4个数字填入《2,％3,。23的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺

序分别填入小，%，%，〃23的位置，

最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入内，心的位置，

故填好&，%，生，%，为3，%2共有C：C；=15种方法.

因此，按照要求填好该方格共有72x15=1080种方法.

故答案为：1080.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设等比数列｛〃“｝的公比q〈0,%+6+%=1，且4+生+4=9.

(1)求。的值；

(2)若可，%,以”2—44成等差数列，求，的值:

(3)设数列［-1的前〃项和为S“，证明：S,n>--.

-4

【答案】(1)<?=-3

(2)2=16

(3)证明见解析

【解析】

【分析】⑴由&+%+4=.2(t+%+%)计算公比;

⑵根据等差中项性质计算/；

⑶由」-I是以L为首项，L为公比的等比数列计算S”，再计算出其”的表达式，通过比较证明不等式成

IAJqq

立.

【小问1详解】

因为%+%+〃6=42(/+%+/)，所以夕2=9.

又，/<0,所以q=-3.

【小问2详解】

因为《，%，*2一切成等差数列，所以4+4+2-久=物+1，

所以(1-4)q+44=247

因为%=0,q=-3,所以1一4+9=-6,解得4=16.

【小问3详解】

因为％+。3+。4=%(l+4+q2)=7a2=1，所以。2二一，”=__L

q21

则数列H，是首项为一21,公比为—g的等比数列,

636363

---+------->-----•

44x9”4

16.如图，在四棱锥E-A8C。中,AO_L平面ABE,BC//AD,^CAE是以CE为斜边的等腰直角三角

形.

（1）证明：平面ACE_L平面ABC。.

（2）若AE=5,A8=4,且直线。E与平面住所成的角为45。，求直线30与平面COE所成角的正

弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵旭.

41

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证.

（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面COE的法向量，再利

用线面角的向量法求解.

【小问I详解】

由△C4E是以CE为斜边的等腰直角三角形，得由A/）_L平面ABE,

4Ku平面ABE,得4力_1_八五，而AOcAC=AADACu平面ABC。，

贝U4£*J_平面ABCD,又AEu平面ACE»

所以平面ACE±平面ABCD.

【小问2详解】

由（1）得AE_LA3,而AO_L平面/腔，则直线AE,AB,4。两两垂直，

以点A为原点，直线A£A8,A。分别为％y,z轴建立空间直角坐标系，

由A。_L平面ABE,得直线£>£与平面ME所成的角为NDE4,且/功4一45。，则AO-AK-5,

而则BC_LA8，8c===

E(5,0,0),B(0,4,0),0(0,0,5),C(0,4,3),而二(0,-4,5),DE=(5,0,-5),CD=(0,-4,2),

n-DE=5x-5z=0

设平面CDE的法向量为n=（x,y,z），令z=2,得方=(2,1,2),

n-CD--4y+2z=0

6_2向

设直线8。与平面COE所成的角为。，则sin。=

标x3-41

所以直线与平面CO石所成角的正弦值为名至.

41

17.某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类.现采用•台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测

误差，具体检测特性如F：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8,判定为“不合格”的概

率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1,判定为“不合格''的概率为09对同一

个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于•“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则

判定为不合格品.假设各次检测结果相互独立.已知该批零件中合格品占80%,不合格品占20%.

（I）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率.

（2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率.

（3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元.若某零件最终被判定

为合格品，则以每件12。元的价格出厂销售；否则作销毁处理.若出厂的零件实际为不合格品，则需向客

户全额退款，并赔偿客户40元.设一个零件的利润为X无，若X的均值小于25,则该工厂将停止生产该

零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由.

【答案】（1）0.028.

（2）0.7224.（3）该工厂不会停止生产该零件，理由见解析

【解析】

【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布

的概率公式，即可求解：

（2）通过由全概率公式得出即可；

（3）X的所有可能取值为-60,60,-KX）,求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.

【小问1详解】

设该零件被误判为合格品是事件A.连续检测3次该零件的结果中，

“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，

所以P（A）=C；x0.尸x0.9+0.13=0.028.

所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.

【小问2详解】

设被检测的零件为合格品是事件B,被检测的零件为不合格品是事件C,

被检测的零件最终被判定为合格品是事件D，

则P(D|8)=C；x0.82X0.2+0.83=0.896.

由(1)知P(D|C)=0.028,又因为P(B)=0.8,P(C)=0.2,

所以由全概率公式得

P(D)=P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.896x0.8+0.028x0.2=0.7224,

故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.

【小问3详解】

X的所有可能取值为-60,60,-100.

P(X=-60)=1-0.7224=0.2776,

产(X=60)=0.896x0.8=0.7168,

P(X=-100)=0.028x0.2=0.0056,

则E(X)=-60x0.2776+60x0.7168+(-100)x0.(X)56=25.792.

因为七(X)>25,所以该工厂不会停止生产该零件.

18.设抛物线G：y2=2px(〃为常数，且〃>0)的焦点为产，准线为/,点A在G上且位于第一象限，

过点A作/的垂线，垂足为〃.

(1)若点4的坐标为(1,4),求网.

(2)设过尸，4,〃三点可作椭圆G，且的两个焦点均在x轴上，记x轴正半轴上的焦点为〃，且3

在尸的左侧.

(i)证明：△4/8的周长为定直.

(ii)证明：C,的离心率大于!.

【答案】(1)4石

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求出抛物线方程，结合已知几何性质求出点H,再利用两点间距离公式计算求解；

（2）利用抛物线的焦点弦公式结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而证明△4/3的周长为定值；利用椭

圆的离心率公式结合点A在G上且位于第一象限构造不等式，进而证明结论.

【小问1详解】

将点4（1,4）的坐标代入），2=2外，得42=2〃1解得〃=8,

••・抛物线Ci的方程为），2=16X,故尸（4,0）,准线/的方程为mT,则〃（<4）,

\HF\=J（4+4）2+（（）-4）2=4>/5.

证明:⑴设A（%,y（））,>0f%>0,则巾=2p%,

由题意知，”（，，）'。），/已°），

•••C2经过A,”两点，旦这两个点的纵坐标相同，

由椭圆的对称性可得，G的短轴必在线段4〃的垂直平分线上，且G的中心。'的横坐标

r_p

x2_2/-p.

又・..G的焦点均在X轴上，.二。在X轴上，即Jo.

设C2的长半轴长为。,则a=\xF-xo]=^-^-^-="丁。>0.

设C?的左焦点为"，则

则““8的周长L=|AH|+|AB|+|四二|AM+（MM+|A8[）=|A"|+2a.

・・・|AM=Xo+£,且勿=里/，

J乙

...L=Xo+4+3〃;2Xo=2〃,故△加B的周长为定值.

(ii)设。2的焦距为2c,离心率为e,则c=〃e.

由(i)知，尸为的右顶点，〃为右焦点，

nil2x0-pe(3p-2x0)

则+c=%+改=一^上+4・

由B在X轴正半轴上可知工8>0，则2工0-〃+e(3p-2升))>0,

3〃-2%.

设C2的短半轴长为人，则。2=420-/),将点A(毛,%)的坐标代入。2的方程区学L+

CIa11—

并结合y：=2p/，得区学士+号%=1，

整理得=『，代入〃与化简得2除=〃(〃-2.),解得后二夕一：“。.

\-e-v7\-e22〃-2%

•••点A在第一象限且£为。2的右顶点，二^〉/，即〃>2%.

由。?”〉0知,〃-6%>0,则与<4.

p-2x。6

要证e>:，只需证仁管■>:，即证4(〃-2/)>3〃-2而，即证

c2的离心率大于;，得证.

]+X|

19.已知函数/(x)=ln----+cosx-ax2-2x,g(x)=2\nx-x+—.

1-xx

(1)证明：当x>l时，g(>)<0.

(2)若R=o是〃”的极大值点，求。的取值范围.

(3)若〃=0,且〃+cos[ln(l-8)]=/(sin。)，其中℃(),：),证明：b+2sin。v2tan0.

【答案】(1)证明见解析

(1)

(2)—

12)

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证;

2

（2）将函数/（X）求导得r（x）=y—7sinx一2曲一2，记g（幻二r（x）,再求导得

4x

-2气根据g，（o）=-i_2a,分成g'（0）=0,g'（0）＞0和g'（0）＜0三类情况

，⑴=(7)2

讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围;

(3)由(1)知，当x>l时，2\nx<x--,先后令x=&>l(k>\),令我二山>l(O<f<1),将其

x1-/

.1+z2/n1+sin。/、

化成山匚7＜E'再令』爪〜叼），可得①二^⑶血利用小）纭合条件可得

/?+cos[In(1+<2tan0+cos(sin0)-2sin9,从而要证〃+2sin6v2lan6,即证

以^口11(1+。)]>以出(5而夕)，再由余弦函数的单调性，需证sin。>In(1+6),设K(8)=sine-hi(l+。)，

利用求导判断单调性证明K（e）〉O即可.

【小问1详解】

因g(x)=2hu=x+L则g，(x)=2—]1-U-1)2

99

戈XXTr

当工＞1时，g"）vo,所以g（x）在（1,+8）上单调递减,

所以g(x)<g(l)=O,故当x>l时,g(x)<().

【小问2详解】

11ro

/(x)=In——-4-cosx-ar2-2x的定义域为,则/'(x)=一J-sinx-2or-2,

1—X1—X

4x

记g(x)=/'(x),则g'(x)=jcosx—2,则g，(o)=_]—%