中点四边形（专项训练）-初中数学模型与解题方法（解析版）

专题28中点四边形

一、单选题

1.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形I）.正方形

【答案】C

【详解】解：如图，•・•四边形A8C。是菱形，

・•・AC1I3D,

•・•£F,G,〃是菱形各边的中点，

:.EF//BD,EG//AC,

:.EF上FG,

同理：FGA.HG,GH1EH,HELEF,

・•・四边形EFG”是矩形.故选：C.

2.下列命题正确的是（）

A.菱形的对角线互相垂直平分B.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是正方形

C.对角线相等的四边形是矩形D.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是正方形

【答案】A

【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，正确，本选项符合题意；

B、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误，本选项不符合题意;

C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意；

D、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，原说法错误，本选项不符合题意，故选：A.

3.依次连接任意四边形各边中点，得到一个特殊图形，这个图形一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【详解】解：根据题意画出示意图，连接AC,如图：

•If、F、G、，分别是四边形ABC。各边的中点,

・•・/£、律分别是少。。与々ABC的中位线，

AHG//AC,HG=^-AC,EF/7AC,EF=-ACt

22

:・EF=HG,且EF〃HG,

・•・四边形EFG”是平行四边形.

故选:A.

4.下列说法正确的是（）

A.对角线相等的四边形一定是矩形

B.顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

C.对角线互相平分且相等的四边形•定是菱形

D.经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

【答案】I）

【详解】解：•.・对角线相等的平行四边形才是矩形，故A错误；

•/顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，故B错误；

••・对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形，故C错误；

•••经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故D正确：

故选:D.

5.下列命题是正确的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.若顺次连接一个四边形各边中点得到的是一个正方形，则原四边形一定足正方形

C.顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是矩形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】C

【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不合题意;

B、若顺次连接一个四边形各边中点得到的是一个正方形，则原四边形的对角线垂直且相等，故原命题错误，

不合题意；

C、顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是矩形，故正确，符合题意；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题错浜，不合题意；

故选：C.

6.顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（）

A.正方形B.矩形C.对角线相等的四边形D.平行四边形

【答案】C

【详解】解：如图

D

E

连接AC、BD,

・.・E、F、G、〃分别是四边形ABC。各边中点，

.\EH\\AC,GF//AC,BPE/7=-AC,GF=-AC,

22

同理可证，EF=GH=-BD,

2

・•・当8D=AC时，EF=GH=GF=EH,即，四边形fFG”是菱形，

即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，

故选：C.

7.下列命题中，正确的是（）

A.对角线垂直的四边形是菱形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.直角三角形的斜边长等于斜边上中线长的两倍

D.若连接一个四边形四边中点所得的图形是菱形，则原四边形一定是矩形

【答案】C

【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意；

C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边长的等于斜边上中线的两倍，故原命题是

真命题，符合题意；

【）、顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是矩形，也可能是等腰梯形，故原命题是

假命题，不符合题意；故选：C.

8.如图，EEG.”分别为四边形ABCO各边的中点，顺次连接比F.G,",得到四边形）6〃，下列描述

错误的是（）.

A.四边形EFG”一定是平行四边形B.当NR4c=90。时，四边形EFG”为矩形

C.当时，四边形〃为菱形I）.当八CIE）时，四边形石尸为矩形.

【答案】B

【详解】连接AC4。,

£F,G,H分别为四边形A8CD各边的中点，

:.EF=-AC,HG=-AC,EH=-BD.FG=-BD,

2222

且EF//AC,HG//AC,EF//BD,EG//BD,

:.EF=GH,EH=FG,

且EF〃GH,EH〃FG,

故四边形笈尸GH为平行四边形，故A正确；

当/RAC=90。时，

QEF〃AC

:.NBEF=/BAC=9O。

ZF£H<90°

故平行四边形EFG”不是矩形，E错误；

当AC=8O时，则EF=GH=EH=FG,故四边形EFGH为菱形,C正确：

当AC/BD时,

EF//AC,HG//AC,EH//BD,FG//BD,

:.ACIFG,FGiHG,

故四边形为矩形，D止确；

故选：B.

9.如图，在方格纸中，顺次连接四个格点力、B、C.〃得到四边形A8CQ,再顺次连接四边形A8CO的各

边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形R.菱形C.正方形D.矩形

【答案】C

【详解】如图，连接四个格点力、B、a〃得到四边形ABC。,

设A2ACBCC。的中点分别为庆F,G,H,

则EF=-BD=GH,EH=-AC=FG,EF\\BD\\GH、EH||AC||FG,

22

•・•AC=BD,

：.EF=GH=EH=FG,

・•・四边形EFC”是菱形，

,?AC1BD,

；・EF工EH,

・•・四边形EFG”是矩形，

:.四边形EFGH是正方形，故选C.

10.若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（）

A.一般平行四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线相等的四边形D.矩形

【答案】B

【详解】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两

条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直.

故选B.

11.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是（）

A.任意一个四边形的中点四边形是菱形

B.任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形

C.对角线相等的四边形的中点四边形是矩形

D.对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形

【答案】B

【详解】选项A,由任意一个四连形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；

选项B,任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确：

选项C,由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；

选项D,由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.

故选B.

12.下列命题中，假命题是（）

A.顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形

B.顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形

C.顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

I）.顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

【答案】D

【详解】

观察图形：E,£G,H分别为AC,A8,8DC。的中点，根据中位线定理：

EF//BC,GH//BC,EF=GH=-BC

2

A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；

B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；

C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确：

D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误.

故答案选：D.

二、填空题

13.顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是.

【答案】平行四边形

【详解】解：如图所示，

四边形力比〃E,F,G,〃是四边形的中点,

AFG//AC,FG=-AC,EHI/AC,EH=-AC,

22

AFG=EH,FG//EH,

・•・四边形EFGH是平行四边形；

故答案为：平行四边形.

14.顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是.

【答案】正方形

【详解】顺次连接对角线既相等又垂直的四边形各边的中点所得的四边形是正方形.

故答案为：正方形.

15.依序连接菱形各边中点所得的四边形是（指特殊四边形）.

【答案】矩形

【详解】解：•••四边形/山⑦是菱形，E,F,G,〃是各边的中点，

:.HE〃BD〃GF,HG"AC"EF,

・•・四边形R七〃是平行四边形，

■:ACIBD,

:.EF1GF,

・••四边形周G〃是矩形，

故答案是：矩形.

C

16.如图，在四边形A8C。中，AB=AD.CB=CD,氤E,F,G,，分别是ABBC,CD,4）的中点，连

接EF,FG,GH,EH,则四边形EFG”的形状是.

【答案】矩形

【详解】解：•・•==

・•・点AC再线段3。的垂直平分线上，

・•・ACA.BD,

•・•点ETGH分别是AB^CCDA。的中点，

/.EF=-AC,EF||AC,GH=-AC、GH||AC,EH\\13D,

22

:.EF=GH,EF||GH；EF1EH,

・•・四边形瓦6〃为矩形，

故答案为：矩形.

17.如图，连接四边形力奥各边的中点，得到四边形仔1G〃，还要添加,才能保证四边形身石〃是

正方形.

【答案】ACL#,AC=HD

【详解】解：当AC1BD,心；8〃时，四边形石%〃为正方形.

•・•点£、F、G、〃分别为力?、BC、CD、加的中点，

：,EF//AQE吟AC，GH//AC,G吟AC,EH//BD,EH=/D,

：.EF//GH,E户GH,

・•・四边形日%〃为平行四边形，

当,仅_1_〃〃，4＞加时，EF1EH,EF=EH,

・•・四边形班第为正方形.

故答案为：ACA.BD,AC=BD.

18.若连接一个四边形各边的中点得到一个菱形，则原四边形需要满足的条件是.

【答案】对角线相等

【详解】解：若一个四边形对角线互相垂直,则顺次连接这个四边形各边中点所得的图形为菱形.

理由如下：F,G,，分别是A8,BC,CD,D4的中点，

EH〃BD,FG〃BD,

EH〃FG,

同理，EF//HG,

二•四边形EFGH是平行四边形，

-AC=BD,

:.EF=FH、

...四边形曰PH是菱形.

故答案为：对角线相等.

19.四边形AAC。中，AC=BD,顺次连接它的各边中点所得的四边形是.

【答案】菱形

【详解】解：•••£,/分别是〃C,行的中点，

:.EQ^AC,EF//AC,

同理，G吟AC,GH//AC,G拄;BD,

:』2GH,EF〃GH,

・•・四边形雨加是平行四边形.

,:AOBD,

:,EF=GF,

，平行四边形分ZW为菱形.

故答案是：菱形.

20.如图，连接四边形A8CO各边中点，得到四边形EFGH,还要添加.条件，才能保证四边形

是矩形.

【答案】AC1BD

【详解】解：如图，•••£、F、G、〃分别是AD、AB、BC、CO的中点,

AEF//BD,GH//BD,EH〃AC,FG//AC,

/.EF//GH,EH//EG,

:.四边形EFGH是平行四边形，

若四边形EFG”是矩形，

则有NE77G=9O。，

,:GH〃BD,

・•・Z1=ZE/7G=9O°,

•・•EH//AC.

AZ2=Z1=9O°,即AC4A。，

・••还要添加AC1BD的条件，才能保证四边形EFGH是矩形,

故答案为：AC1BD.

21.如图，在四边形A8CO中，对角线垂足为。，笈F,G,〃分别为AD,AB,BC,。力的

中点，若AC=6,8。=4,则四边形EAG”的面积为.

【答案】6

【详解】解：•・•点。，E,F,G,〃分别为4),AB,BC,CD的中点，

二EF是△A8D的中位线，AG是△ABC的中位线，GH是△BCD的中位线，

:.EF=-BD=-x4=2EF〃BD,FG=-4C=-x6=3,FG//AC,GH=-BD=-x4=2,GH//BD,

22f2222

EF=GH,EF//GH,

・•・四边形EFGH是平行四边形，

•・,AC1BD,

:.EFA.FG,

・•・四边形£打汨是矩形，

**•^aEK3H=2x3=6,

故答案为:6.

22.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、”分别是各边中点，当AC,8。满足时，四边形EFGH

是菱形.

【答案】AC=BD

【详解】解：当AC=3O时，四边形瓦’G〃是菱形，

理由如下：如图，连接AC、BD,

•.•E、F、G、”分别是四边形ABC力各边中点，

:.EF//AC,EF=-ACGH/；AC,GH=-AC,EH=-BD,

2t22

:.EF〃GH,EF=GH,

二•四边形为平行四边形，

当AC=8O时，EF=EH,

・•・平行四边形EEG”为菱形，

故答案为：AC=I3D.

23.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.

【答案】AC1BD

【详解】顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直,

理由：

•・•四边形EFGH是矩形，

/.ZFEH=90°,

又•：点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，

・・・EF是三角形ABD的中位线,

・・・EF〃BD,

AZFEH=ZOMH=90°,

又：点E、H分别是AD、CD各边的中点，

・・・EH是三角形ACD的中位线,

，EH〃AC,

AZ0MH=ZC0B=90°,

则AC_LBI）,故四边形ABCI）满足的条件为对角线垂直.

故答案为AC_LBD.

24.若顺次连接四边形/腼四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线劭所满足的条件

是________.

【答案】AC=BD

【详解】如下图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

•・•点E、F是AB、BC的中点

AEF=-AC

2

同理可得：AG=EF=-/1C,GF=AE=-^D

22

•・•要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF二FG二GH

・•・只需AC二BD即可

故答案为：AC=BD

三、解答题

25.如图，四边形力时的四边中点分别为乐F、G、〃，顺次连接区F、G、H.

（1）判断四边形"'6>〃形状，并说明理由；

（2）若AC=BD,判断四边形"切形状，并说明理由.

13

C

AHD

【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析

【详解】（1）四边形/；尸以为平行四边形，理由如下：

连接力。，如图，

在△力比'和中，

•・•〃'、6〃分别为其中位线，

・・・M〃力C且上g■力CGH〃AC且G吟AC,

：.EF=GH>EF//G11,

・•・四边形牙切为平行四边形；

（2）若力G能则四边形郎以/为菱形，

连接8〃，如图，

在△仇⑦中，

•・♦伊为其中位线，

:.GF^BD,

•・•小g力。（已证），且AC=BD,

:.EQGF,

又1•四边形班W为平行四边形（己证）,

・•・四边形切砌为菱形.

26.把顺序连结四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？

（2）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是菱形？

（3）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是矩形？

【答案】（1）平行四边形；理由见解析；（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；（3）

当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形.

【详解】（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由是：

如图1,连接BD,

图1

•・•点E、H分别为边AB、AD的中点,

.•・EH〃BD、EH=|BD,

•・•点F、G分别为BC、DC的中点，

・・・FG〃BD、FG二3BD,

・・・EH=FG、EH〃FG,

，中点四边形EFG1I是平行四边形；

（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；

证明：与（1）同理：EH=FG=yBD=yAC=EF=HG,得它的中点四边形是菱形；

（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形；

证明：与（1）同理：EH〃FG〃BD,AC〃EF〃HG,

VACIRD,

AEILFG分别与EF、HG垂直,

・•・得它的中点四边形是矩形.

27.如图1,在四边形A8CO中，如果对角线AC和8。相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角

线四边形.

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若M、N、P、。分别是等角线四边形A8CO四边AB、BC、CD、D4的中点，当对角线AC、BD还

要满足______时，四边形MNPQ是正方形.

(2)如图2,已知在aABC中，ZAfiC=90°,AB=4,BC=3,。为平面内一点.

①若四边形八8c。是等角线四边形，且人力=4D,求符合条件的等角线四边形的面积.

②设点E是“8c所在平面上的任意一点且CE=I,若四边形A5£D是等角线四边形，求出四边形A8EO面

积的最大值，并说明理由.

图1图2

【答案】(1)①矩形；②AC18D；(2)①3+2⑨；②18,理由见解析

【详解】解：(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，

•••矩形的对角线相等，

•••舒形一定是等角线四边形，

故答案为：矩形；

②当AC180时，四边形MNPQ是正方形.

理由：如图1,

•/M、N、P、Q分别是等角线四边形A8C。四边AB、BC.CD.D4的中点,

:PQ=MN=；AC,PN=QM=3BD,PQ//AC,MQ//BD,

-AC=BD,

:.MN=NP=PQ=QM,

.•・四边形MNPQ是菱形，

vZl=Z2,N2=4Zl=90°.

.-.23=90°,

四边形NMPQ是正方形.

故答案为：AC1BD,

(2)①如图2,作DfSAB于E.

D

A6=4,6c=3,

：.AC=y]32+42=5»

\'AD=BD,DE-LAB,

；.AE=BE=2,

•••四边形A8CD是等角线四边形,

:.BD=AC=AD=5,

在RtABDE中，DE=\!BD2-BE2=41\，

=

边形ABC。SMl把+S愉形0ate

=-AE-DE+-(DE+BC)BE

22

=-x2x41i+-(42\+3)x2

22

=3+2721.

•••四边形ABC。的面积为3+2向;

②如图3中，设A&与6。相交于点Q,连接CE,

BG、,BQ,

，・四边形A8ED是等角线四边形,

AE=BD，

-S^iliABEn=S^+S^=^AE.DH+^AE.BG=^AE.(GBA.DH)„^AE(BQ+QD),

.,.当G、〃重合时，即时，等号成立，

,.•AE=BD,

S|q边形的切，—AE?,

即线段4石最大时，四边形ABK。的面枳最大，

伍,AC+CE,

AE„5+1,

4M6,

的最大值为6,

・・・当A、C、E共线时，取等号，

••・四边形48E。的面积的最大值为（x6?=18.

2

故答案为：18.

四、证明题

28.四边形4完〃中，点4/­；G、〃分别为月从BC、O）、W边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形

加阳称为中点四边形.

（1）我们知道：无论四边形/出。怎样变化，它的中点四边形仔浏都是平行四边形.特殊的：

①当对角线AC=8。时，四边形，以T的中点四边形为______形；

②当对角线AC/8。时，四边形ABCD的中点四边形是形.

（2）如图：四边形1应〃中，已知NB=NC=60。，且AC=A8+CQ,请利用（1）中的结论，判断四边形

/18⑦的中点四边形七％〃的形状并进行证明.

【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析

【详解】（1）解：（1）①连接〃；BD,

M

■■

•.•点尺F、G、〃分别为力员BCCD,外边的中点,

:.EH〃RD,FG//BD,

：.EH//FG,

同理哥'〃的，

・•・四边形/汉;〃都是平行四边形，

;对角线4小8〃，

:.E附EF,

・•・四边形/!a'〃的中点四边形是菱形；

②当对角线/1UL初时，EF1EH,

・•・四边形力及力的中点四边形是矩形；

故答案为：菱；矩；

(2)四边形力成〃的中点四边形部［明是菱形.理由如下：

分别延长胡、切相交于点汹，连接力GBD,

VZABC=ZBCD=60°,J历是等边三角形，:.MB=BC=CM,NM=60。,

VRC=ABACDt/.MAIAB=ABvCD=CDvDM,：.MA=CDtDM=AB,

在AABC和AOMB中，

AB=DM

,ZABC=NM,

BC=BM

:.,・•・AC=DB,

・•・四边形力时的对角线相等，中点四边形瓯W是菱形.

29.如图1,如果四边形人“CD的对角线互相垂宜，那么顺次连接其各边中点所得的四边形EFG”为矩形,

这样的四边形ABCO称为“中母矩形”.

⑴如图2,在直角坐标系中，已知A(4,0),4(1,4),C(4,6),请在格点上标出。点的位置(只标一

点即可)，使四边形ABC。是中母矩形.并写出点。的坐标为______.

⑵如图3,以AABC的边A4,AC为边,向融。外作正方形人BOE及正方形ACFG,连接CE,8G相交

于点O,求证：四边形8EGC是中母矩形.

(3)如图4,在RtZXAAC中，A3=8,BC=6,E是斜边AC的中点，尸是直角边A3的中点，尸是直角边5c

上一动点，当四边形“庄户是中母矩形时，研的长为______.

【答案】⑴图见解析，。(5,4)或(6,4)或(7,4)；⑵见解析；⑶?

【详解】(1)如图所示，点。即为所求，

图2

。（5,4）或（6,4）或（7,4）；

（2）如图3,•・•正方形A8DE及AC户G,

AZE4B=ZG4C=90°,AG=AC,AE=AB,

:.ZEAC=ZEAB+ZBAC=NGAB=/GAC+ZBAC,

：.△EAC^AGAB（SAS）,

:.ZABG=ZAEC,

・•・ZAEC+ZAHE=ZABG+ZBHO=90°,

・•・EC工BG,

・•・四边形8EGC是中母矩形；

（3）如图所示,

,••四边形I3PEF是中母矩形时，

:・FP工BE,

・•,E是斜边4C的中点，”是直隹边A8的中点,

AEF//BC

/BFP+NBPF=90。,

;./EBF+NBFP=900,

：.ZBFP=Z.EBF,

又/EFB=/FBC=90°

二.ABFESMBF,

EFBF

即Hn一=——

BFBP

VAB=8,BC=6,E是斜边AC的中点，尸是直角边的中点，

.•.B尸=4,EF=3,

/.BP=—

3

30.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

(1)如图1,四边形/)£5中，点EEG,〃分别为边/加，BUCD,血的中点.求证：中点四边形9G7

是平行四边形：

(2)如图2,点尸是四边形力比Z内一点，且满足好外，PC=PD,4APB=4CPD,点E,F,G,〃分别为边

AB,BC,CD,为的中点，猜想中点四边形乩％77的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使N月侬NO》90°,其他条件不变，直接写出中点四边形瓯汨的形状.(不

必证明)

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形由W是菱形，证明见解圻；(3)四边形加加是正方形

【详解】(1)证明：如图1中,谆接物

，：点、E,〃分别为边月8,刃的中点，

C.EH//BD,E哈BD,

•・•点“G分别为边比；切的中点，

:.FG〃BD,F吟BD,

：.EH//FG,E*GF,

・•・中点四边形是平行四边形.

(2)四边形/沪。/是菱形.

证明：如图2中，连接/IC,BD.

•・•/AP即NCPD,

：.tAPI"/APIA4CP计4APD,

0叱APC/BPD,

在AAPC和ABPD中,

•・•/6/次/APC=/BPD,POPIK

工'APgXBPD(SAS),

:JCBD.

■:点、E,F,G分别为边，仍，BC,勿的中点，

:・E巴三AC,FG^BD,

•・•四边形反武是平行四边形，

・•・四边形夕石〃是菱形.

(3)四边形£7为〃是正方形.

证明：如图2中，设〃'与切交于点。AC与PD交于点、M,AC与EH交于点N.

•・•△加旅△哥。

:ZACP=/BDP,

•・•N〃给/以仍，

：.£C02/CP29y,

-：EH//BD,AC//HG,

/.ZEHG=ZENO=ZBOOZZ?^=90°,

•・•四边形夕诩是菱形，

图1图2

31.(1)任意四边形四边中点围成的四边形是；

(2)对角线相等的四边形四边中点围成的四边形是；

(3)对角线垂直的四边形四边中点围成的四边形是：并证明.

【答案】平行四边形菱形矩形

【详解】(1)如图所示，任意四边形ABCI)中，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状.

连接AC,

•・・E、F、G、H分别为各边的中点，

AUG.EF分别为AACD与AABC的中位线,

；・HG〃AC〃EF,HG=EF=!AC,

・•・四边形EFGH是平行四边形;

D

G

「

R

(2)如图所示，四边形ABCD的对角线AOBD,E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状.

连接AC、BD,

・・・E、F、G、H分别为各边的中点,

AEH.GF分别为AABD与aBCD的中位线，

・・・EH〃BD〃GF,EH=GF=-BD,

2

・•・四边形EFGH是平行四边形，

同理可得，HG=EF=1AC,

VAC=BD,

・・・EH=GF,

••・四边形EFGH是菱形;

(3)如图所示，四边形ABCD的对角线AC_LBD,E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状.

解：连接AC、BD,

•・・E、F、G、H分别为各边的中点,

/.EH,GF分别为△ABI)与△BCD的中位线，

・・・EH〃BD〃GF,EH=GF二1BD,

2

・•・四边形EFGH是平行四边形，

同理可得,HG〃AC〃EF,

VAC1BD,

.•・HG_LBD_LEH,

・・・四边形EFGH是矩形.

HP

32.定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”.如

果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.

【概念理解】：

(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是.

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【性质探究】：

(2)如图1,四边形A8CO是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形A8C£＞的对角线AC,80的关

系；

【问题解决】:

(3)如图2.以锐角小8C的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形A8DE和正方形ACFG,连接房，

EG,GC.求证：四边形3CGE是“中方四边形”；

【拓展应用】：

如图3,已知四边形A8CQ是“中方四边形”，MN分别是A3,CD的中点.

(4)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由.

(5)若AC=2,求A3+8的最小值.

【答案】(1)D；(2)AC=BD