2026年九年级数学中考二轮复习 全等三角形综合解答题（提升训练）

2026年九年级数学中考二轮复习《全等三角形综合解答题》专题提升训练(附答案)

1.在中，过点A作AEIIBC,点0在直线48」二，连接C。，将线段绕点。旋转，使点

C落在点E处.请解答卜列问题：

⑴如图1,当“=时,求证：AB+AE=BCi

⑵如图2,当4E+NADC=180。时，请判断线段力E,BC,AB有怎样的数量关系，并说明

理由；

⑶在(1)(2)的条件下6。=遍，AB=巫,则8C=

2.在△ABC中，AB=BC,点、D是边AB上一点、,连接CD.

⑴如图1,若418。=40。，/.BCD=15°,求证：△40C是等腰三角形；

(2)以。。为边，在CO下方作等边三角膨ZiOEC,连接BE.

①如图2,若4C=BC,探究线段BD,BC,BE的数量关系，并说明理由;

②如图3,若448。=30、AB=6,求线段BE的取值范围.

3.如图，在AABC中，Z-CAB=45°,AC=14,AB=672.

⑴如图L求3c的长：

(2)如图2,BMA.AB,与4c交于点M,点。为4。边上一点，连接8。，E是48右侧一点，且

BD1BE,BD=BE,连接OE,AE,尸是DE的中点.探究4。，4E和之间的数量关系并

证明；

⑶如图3,动点P由点C出发以每秒1个单位的速度在射线C8上匀速运动，同时动点。也从C出

发，在射线C4上以每杪1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t杪(t>0),当点B到直线00

的距离等于6时，求t的值.

4.已知中，^ACB=90°,。4=C8,点。为直线8c上一点.

（1）如图1,若点D与点C重.合，点E为AB上一点,将线段£7）绕点。顺时针旋转90。后得到

线段。广，连接4F，直接写出力F与BE的关系：:

（2）如图2,点。在8c的延长线上，E为4ABC的角平分线上一点，将线段DE绕点。顺时针

旋转90。后得到线段。尸，连接4F,若4rII8C,求证：AF=yf2CDx

（3）如图3,点。在BC边上，点E在直线4B左侧，连接BE,乙OBE=75。，将线段DE绕点。

顺时针旋转后得到线段。户，连接4"若8月=S,CD=2.0.则线段4"的长为

（直接写出结果）.

5.在长方形4BCD中，AB=6cm,BC=10cm,点P从点8出发，以2cm/s的速度沿BC向点

C运动，如图①，设点P的运动时间为£（0VtW5）秒.

①②

⑴求ADCP的面积（用含士的代数式表示）；

（2）如图②，当点P从点8开始运动的同时，点Q从点C出发，

①若以lcm/s的速度沿G）向点。运动（Q到达。点即停）：当APJ.PQ时，求£的值：

②若以ucm/s的速度沿CD向点。运动（Q到达。点即停），是否存在这样的〃，使△力BP与P、

。、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出1/的值；若不存在，请说明理由.

6.己知△A8C为等边三角形，尸为直线8C上方一点（不与48,C三点重合），连接P4P8,

PC.

(1)当NBPC=60。，且线段C尸与48交于点。时，

①如图1,若点。为AB的中点，求证：PA=^PC；

②如图2,若点。为边AB上任意一点，作AE1CP,垂足为E,试求暧的值.

I匕

(2)如图3,当NBPC=120。时,F为边B3的中点,连接PF,

①求证：乙ACP=LPBC；

②试猜想乙1PC与4BPF之间的数量关系，并说明理由.

7.(1)用数学的眼光观察:

如图1,△48。和4ACE都是等腰直角三角形，LBAD=LCAE=90°,AB=AD,AC=AE,

连接BE、CD.

图1

则BE与CO的数量关系为，位置关系为.

(2)用数学的思维思考:

①如图2,设BE、CC相交于点F,连接力尸并延长交BC于点G,求NBFG的度数;

②如图3,若〃是8c的中点，连接A”、DE,求证：DE=2AH.

E

H

图3

8.已知△ABC中，AC=BC,过点4作直线ZIIC8,点F为直线1上任意一点.

⑴点E为线段AC上的任意一点，点?位于4点的右边，连接。尸交BE于点”.如图1,若乙ACB=

90°,BE=CF,试探究BE与CF的位置关系，并证明你的结论；

⑵若乙力CB=90。，连接FC,过点C作CDJ.C/，并使CD=CP,连接D8交射线AC于点G,

过点。作OM1AC于点M,若4c=TH,AG=n,

①如图2,点F在人点右边，求线段4尸的长度；(用m,n表示)

②若点尸在4点左边，在图3中画出图形并直接写出线段49的长度.(用m,n表示)

9.在△力BC中，AC=BC,点、D,E是边BC上的两点.

图3

⑴如图1,若乙8=60。，点N在718边上，点尸在力C的延长线上，且BN=b,连接NF交8c于

点E,过点N作ND||4户交BC于点0,AC=4,CF=1,求CE的值；

(2)如图2,若NB=60。，点尸在4c的延长线上，连接。心力DdE,且4D=FD,Z.CAE=乙CDF,

求证：CE=CF；

(3)如图3,连接AD,AE,^ADIBC,^.BD-.CD=1:4,AE平分48AC,BD=2,△力5c的

面积为30,点M,N分别是线段48,AE上的动点，连接MN,DN,直接写出MN+ON的最

小值.

10.如图1,在平面直角坐标系xOy中，4(0,1),8(—2,0),AB=AC,Z.BAC=90°.

⑴求点C的坐标：

⑵如图2,记AC交汇轴于点。，8c交y轴于点E,连接

①求证：AD=CD；

②求证：Z.CDE=Z.ADB.

11.(1)阅读理解：如图1，在四边形力BC。中，AB||CD,点E是8。的中点，若力E是/B/1O

的平分线，试判断48,AD,CD之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长4E交DC的延长线于点心易证△4EB三△尸EC,得到=

CF,从而把A8,4D,CD转化在一个三角形中即可判断.48,4D,CD之间的等量关系为

(2)如图2,在△ABC中，48=90。，AB=1,力。是AA8C的中线，CEIBC,CE=3,

且乙4。£=90。,求AE的长.

(3)如图3,是△力EC的中线，CO是△48C的中线，且48=力。，判断线段CE与线段CO

的数量关系，并证明NBCD=48CE.

12.如图，在RIZX/13C中，^ACB=90",^ABC=30°.

⑴观察猜想：如图1,作AB边上的中线CE,得出以下结论：

①4力CE的形状是:

②CE与力8之间的数量关系为.

⑵探索发现：如图2,CE是Rt△ABC的中线，。是边C8上任意一点，连接4%作等边△ADP,

且点P在44cB的内部，连接BP.试探究线段力。与8P之间的数量关系，写出你的猜想并说

明理由.

⑶拓展应用：如图3,分别以48,8C为边作等边三角形力BP和等边三角形BC凡连接尸产交48

于点G,若BG=2,则的长为.

13.八上作业本第15页对“一线三等角”基本图形进行了探究，小数同学对其进一步思考后

提出了以下问题.请解决小数同学提出的问题.

【理解】如图1,直线，上有B,E,。三个点，满足==4ECD,且4E=ED.求

证：△ABE=△ECD.

【迁移】如图2,点E在线段BC上/ABC=Z-AED=90。,z8CD=120。,AE=若A8=3,

CD=2,求AD的长.

【创新】如图3,在等边△力台。中，AB=12,点D,E分别是边C4,用?上的动点，点。从点

。出发沿射线C4方向运动，同时点E从点4出发沿射线48方向运动，点。的运动速度是点E运

动速度的2倍，以OE为边向右侧作等边AOE凡若点G是4B的中点，连结GF,求G尸的最小

值.

14.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出："锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的

结论"的问题.首先定义了一个新的概念：如图（1）△力BC中，M是8c的中点，尸是射线

上的点，且48PC=90。，设空=匕则称人为勾股比.

A

A

图⑴图⑵

⑴如图(1),过8、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D.求证：CD=BE.

(2)①如图(2),当A=L月S8=AC时，求4。+与8C2的数量关系.

②当k=l,△ABC为锐角三角形，且48工AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出

证明过程；若不成立，也请说明理由；

③对任意锐角三角形，直接写出A82+AC2与8c2的数量关系.(用含勾股比上的表达式表

示)

15.如图1,在△48C中，AC=BC,点£在边48上，连接CE,过点8作8尸J.CE,垂足为

点F,过点4作4G_LCE,交CE的延长线于点G,BF=CG.

⑴求证：Z.ACB=90°；

⑵如图2,点。是AB的中点，点E在线段上，连接。艮

①当8E=BC时，求证：乙EDF=LBCF；

②连接4乙设4?二a，如果力F_LOF,用含a的代数式表示DF的长.

16.(1)如图1,△/和△?!£1尸都是等腰三角形，BC、EF分另IJ是△ABC和的底边，

匕BAC=Z.EAF.

①求证：BE=CF；

②如图2,若284c=90。，E、8、C三点在同一条直线上，G为8c中点，判断线段4G,CE,

CF之间的数量关系，并说明理由：

(2)如图3,在四边形/1BCO中，710||BC,对角线4C、CD交于点。,Z.BDC=90°,BF1.4C,

垂足为£交4。于点R连接OF,若4。=3,BD=CD=4&,求力0+8F+F0的侑.

.1

AAFD

E

图1图2图3

17.在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.

图1

⑴观察发现

如图1,将正方形ABCD折叠，使点4的对应点〃落在边上，折痕分别与C。交于•点E,

凡则折痕所和的数量和位置关系分别是.

(2)类比探究

在(1)的条件下，设E尸与"'交于点。，连接BD交EF于点、G,如图2.求证：0G=0E+GF；

⑶拓展应用

如图3,正方形/9CQ的边长为9,点M是4。边上的一动点，点N在边CO上，且CN=4.连

接MN,将正方形/1BCD沿MN折叠，使点4。分别落在点P,Q处，当点Q落在直线上时,

请直接写出线段AM的长.

18.综合与探究

【问题情境】

在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点

重合.如图1,已知△ABC三AOEC,乙48C=乙。EC=90。连接A。，射线BE与线段4。交

于点M,并思考M是否是线段的中点.

图3备用图

【特例探究】

(1)勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A,E,。三点在同一直线上，此时点E与点M

重合，同学们发现M恰好是线段的中点，请你说明理由：

【一般探究】

(2)善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，M仍为线段4。的中点，小明写

出了他的思路：如图3,以点。为圆心，0E的长为半径作弧交射线BE于点G,则DG=DE......

请你按照小明的思路说明M是线段力。的中点；

【变式探究】

(3)智慧小组继续改变△DEC的位置进行探究，且点E始终在直线BC的上方，若乙8"=25。,

当是等腰三角形时，请直接写出乙的度数.

19.我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，"手拉手”模型就是其中之一,

面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出〃.

(1)如图1,在和△/DE中，/18=AC,AD=AE,^BAC=4。力E,求证：△480^A/ICE：

(2)如图2,在瓦4BCD中，乙40C=120。/88的平分线CE交40于点E,将点E绕点/逆时针

旋转60。，得到点尸，分别连接45，FD,BD.

①求证：AB=ED；

②试探究线段产。和线段BD的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在ANBC中，乙A=60、点0,E分另IJ在力C,ABL,且CO=BE,^CED=30%

箝BC=7,CE=5,请直接写出线段E。的长度.

20.【问题初探】

(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图1,在四边形4BCD中，z/l+/.ABC=90°,AD=10,BC=8,点尸、Q分别为48、CD的

中点，求PQ的长.

有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路：

如图2,小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、0,于是想到了老师讲过的“中位线的

构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接8D,取8。的中点/连接P”，QH,

再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决：

如图3,小亮同学思考的时候，发现题中有“乙4+乙/8。=90。〃，于是就想把这两个角合到

一起，「是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接DP并

延长DP,使PH=DP,再连接CH,再通过“倍长中线〃后的性质，将已知线段转移到同

一个三角形中把问题解决；

请你选择一名同学的解题思、路，写出证明过程.

监里修

APBAPBAP\：XB

图i图2y

H

图3

【类比分析】

（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角

的关系去理解：为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答:

如图4,在A/BC中，44。8=90。，点。为AABC内一点，连接8D,DC,延长Z）C到点E,

使CE=CD,连接力E使A£_LBD,探究AB,BD,力E之间的数量关系，并说明理由；

【学以致用】

（3）如图5,在△力中，^ACB=90°,AC=BC,点。为718中点，点石在线段8。上（点

E不与点点。重合），连接CE,过点A作力/_LCE,连接FD.若4尸=8,CF=3,请求

出尸。的长.

DEB

参考答案

1.(1)证明：由旋转的性质得。£=DC.

•••AE||BC,

:.Z.EAD=Z.DBC.

又•••Z.E=Z.ADC.DE=DC,

•••△4DE三△BCD(AAS),

•••AE=BD,AD=BC,

vAD=AB+BD=AB+AE,

•••BC=AB+AE»

故4B+4E=BC.

(2)解：线段4E,BC,48的数量关系为/IE+BC=/IB,

证明：如图2得，由旋转的性质得DE=OC.

•••AEIIBC,

•••Z.EAD=乙DBC.

vLE+Z.ADC=180。，4ADC+乙CDB=180°,

:.Z-E=乙CDB,

•••DE=DC,

.♦•△AOE三aBWAAS)

•••AE=BD,AD=BC,

vAB=BD+AD,

•••AE+BC=AB.

(3)解：当是图1的情况时，由(1)知BC=AB+AE,

又由全等知AE=BD=通,

AB=瓜,

:.BC=V3+V6.

当是图2的情况时，由(2)知力E+BC=AB,AE=BD=瓜

BC=AB-AE=遍一遍.

综上，BC=V6±y[3,

故答案为：V6±V3.

2.(1)证明：^AB=BC，

团NB4C=Z.ACB,

&BC=40°,

团乙ZL4C=/-ACB=\(180°-LABC)=70°,

配BCD=15°,

^LACD=Z.ACB-乙BCD=55°,乙ADC=乙ABC+乙BCD=55°,

0Z./1CD=/.ADC,

团ZkAOC是等腰三角形；

(2)解：①BC=BD+BE,理由如下：

0AOEC是等边三角形，

0CD=CE/DCE=60°,

^AC=BC,AB=BC,

回△ABC是等边三角形，

团AC=BC,Z,ACB=60°,

^ACD+乙BCD=乙BCE+乙BCD=60°,

0Z/1CD=Z.BCE,

(AC=BC

在△ACD和△BCE中，NACO=NBCE,

(CD=CE

^ACD8CE(SAS),

团4。=BE,

^AB=AD+BD=BE+BD,

团48=BC,

(3BC=BD+BE；

②过点C,E作CG1AB,EH1BC垂足分别为G,4,

E

0AOEC是等边三角形,

0CD=CE/DCE=60°,

EUABC=30°,zCGF=90。，

0/BCG=60°,

取DCG+乙BCD=LECH4-乙BCD=60°,

^LDCG=LECH.

ZCGD=乙CHE=90°

在△OCG和△ECH中，LDCG=Z.ECH，

CD=CE

(?)△DCG三△ECH(AAS),

团CG=CH,

(ZUABC=30°,，CGB=90°,BC=AB=6,

配H=CG=^BC=3,

喇/=BC-CH=3,

团EH1BC,BH=CH=3,

团EH是BC的垂直平分线，

团BE=CE,

团BE=CD,

回点。与点G重合时，CD有最小值3,点。与点B重合时，。。有最大值6,

回线段BE的取值范围为3<BE<6.

3.(1)解：过B作AC的垂线，垂足为G.

团4A=45°,LBGA=90°，

^Z-GBA=90°-45°=45°.

0Z/1=Z.GBA.

WG=AG.

在Rt4864中，根据勾股定理可得

BG2+AG2=AB2,^2AG2=AB2.

团4G=BG=6.

团CG=AC-AG=14-6=8.

在内△(73G中，根据勾股定理可得

BC=>JBG2+CG2=10.

B

(2)解：AD2+AE2=4fiF2,理由如下：

^/.CAB=45°,

团4/MB=/.CAB=45°.

1aBM=BA.

0ZD5E=/.ABM=90°,

团=Z.ABE.

回80=BE,

0ABDMSAFETI(SAS).

0ZFMD=乙BAE=45°.

0ZD/IF=9OO.

1BE,BD=BE,尸是DE的中点，

□fiF1DE.

^\BD=BE,

^BDE=乙BED=45°.

^Z.BFD=90°,

0ZDFF=45°.

0Z/?DF=/.DBF.

0DF=BF.

同理BF=EF.

□DF=2BF.

在RtADBE中，BD2+BE2=DE2=4BF2.

在RtzxO/lfi1中，/ID24-/IE2=DE2.

^AD2+AE2=48尸2.

(3)ft?：过3作BQ1AC于点Q,作3EJLPD于点E,作BFIIPD,与力C交于点心则BE=6.

①当P点在线段CB上时，如图，

团CP=CD=t,

0ZCPD=乙CDP,BP=BC-CP=10-t.

^PD\\BF,

团NCDP=Z.CPD=Z.CFB=Z.CBF.

OCB=CF=10.

^AF=AC-CF=14-10=4.

^QF=AQ-AF=6-4=2.

0PF=JRQ2+QF?=2V10.

0ZFPE=乙CPD,

团N8PE=Z-BFQ.

13N8EP=Z.BQF,BE=EQ=6,

0ABPEWXBFQ8的.

©BP=BF,BP10-t=2/10.

at=10-2710.

②当P点在C8的延长线上时，如图，贝l」8P=t-10,

(3BP=BF.

0t-10=2m.

0t=10+2710.

综上所述，当点B到直线PD的距离等于6时，£=10-2同或10+2g.

4.(1)解：由旋转的性质，得EO=FO,Z,EDF=90°,

^Z.EDB+Z.ADE=/-ADB=90°,AFDA+Z.ADE=Z-EDF=90°,

团乙EDB=Z.FDA,

又£M=DB,

0ABDE三△ADF(SAS),

团AF=BE,Z,FAD=4B,

0ZF+乙BAD=180°-乙，108=90°,

0ZF/1D+/.BAD=乙BAF=90。，

团AF1BE,

故答案为：AF=BE,4F1BE；

(2)证明：如图，过点。作。M_LAF,过点E作EN18C,

^AF||BC,

^CAF=^ACB=90°,

团四边形力COM是矩形，

0ZMDC=90°,CA=DM,AM=CD,

由旋转的性质，得NEOF=90。，DE=DF,

0ZED/V+乙EDM=乙MDC=90°,zFDM+乙EDM=Z.EDF=90°,

团ZEDN=乙FDM,

又乙END=乙FMD=90°,

0AEND工△FDM(AAS),

MN=FM,DN=DM,

如图，延长NE,与AB交于点、H,过点E作EG_L4B于点G,

0C/1=CB,乙ACB=90°,

团Zi/IBC是等腰直角三角形，

&BC=45°,

又乙BNH=90°,

0ABN”是等腰直角三角形，

团乙EH8=45°,BN=HN,

又(EGH=90°,

(?)△EG”是等腰直角三角形，

13EG=HG,EH=\/EG2^HG2=五EG,

团BE是NA8C的角平分线，EGLAB,ENIBC,

回EN=EG,

团BN=HN=EN+EH=EN+V2EN=(V2+1)EN,

0EN=：^BN=(V21)BN=FM,

团BN+NC=BC,CD+NC=DN=DM=AC=BC,

©BN=CD,

^AF=AM+FM=CD+(>/2-i)CD=V2CD；

(3)解：如图，过点。作OMJ.8C于点M,过点M作的N14C于点N,连接9M,过点4

作AG1尸M于点G,

同(2)理可知，A80M和△4MN是等腰直角三角形，四边形DMNC是矩形,

团8。=MD,AN=MN=CD=2&,乙BMD=乙DBM=45°,

ISAM=y/AN2+MN2=4,

由旋转的性质，可知"EDF=90。，DE=DF,

^BDE+乙EDM=Z.BDM=90°,乙MDF+乙EDM=乙EDF=90。，

团匕BDE=乙MDF,

0ABDE=AMDF(SAS),

0FM=EB=5,(DMF=乙DBE=75°,

团NHMG=180°-乙BMD-Z,DMF=60°,

^MAG=90°-LAMG=30°,

团22

MG=-2AM=2,AG=^/AM-MG=2>/3,

0FG=FM-MG=3,

图AF=y/AG2+FG2=&I.

5.(1)解：El在长方形ABC。中，AB=6cm,BC=10cm,点P从点3出发，以2cm/s的速

度沿BC向点C运动，如图①，设点P的运动时间为t(0<tW5)秒，

08P=2tcm»CD=AB=6cm,

团CP=RC-BP=(10-2t)cm,

0ADCP的面积=1CP•CD=3x(I。-2t)x6=(30-6t)cm2；

(2)解：①(3在长方形4BCO中，AB=6cm,BC=10cm,点P从点B出发，以2cm/s的速

度沿8C向点C运动，点Q以Icm/s的速度沿CD向点。运动(Q到达。点即停)，设点P的运动时

间为t(0<t<5)秒，

团CD=AB=6cm,AD=BC=10cm,=Z.C=zZ)=90°,BP=2tcm,CQ=tcm,

0CP=BC-BP=(10-2t)cm,DQ=CD-CQ=(6—t)cm,

由勾股定理可得：AP2=AB2+BP2=62+(2t)2=36+4t2,PQ2=PC2+CQ2=

(10-2t)2+t2=100-40t+4t2+t2=100-40t+5t2,

如图，连接/Q,])^]AQ2=AD2+DQ2=102+(6-t)2=1004-36-12t4-12=136-

12t+t2,

团4P1PQ,

^AP2+PQ2=AQ2,

团36+4t2+100-40t+5t2=136-12t+t2,

解得：t=0(不符合题意，舍去)或t=j

13当4PJLPQ时,七的值为1

②团在长方形4BCD中，48=6cm,BC=10cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿EC向

点C运动，点Q以vcm/s的速度沿CD向点。运动(Q到达。点即停)，设点P的运动时间为

t(0<t<5)秒，

团BP=2tcm,CQ=vtcm,

团CP=BC-BP=(10-2t)cm,DQ=CD-CQ=(6-vt)cm,

当84=CQ,PB=PC时，AABP三AQCP,

团PB=PC,

138P=PC=^BC=5cm,

02t=5,

解得：£=2.5,

此时CQ=BA=6cm,

02.5v=6,

解得：v=2.4；

当BP=CQ,AB=CP\H，AABP/PCQ,

^AB=6cm,

团PC=6cm,

团BP=10—6=4cm,

02t=4,

解得：t=2,

团CQ=BP=4cm,

02v=4,

0v=2；

综上所述，当D=2或2.4时，&ABP与>PCQ全等.

6.(1)解：①团△ABC为等边三角形，点。为A8的中点，

团

4BCD=-2LBCA=30°,CD1AB,AD=BD,

加。垂直平分

gPB=PA,

^BPC=60°,

0ZPBC=180°-乙BPC-乙PCB=90°,

团

PB=-2PC,

阴

4=-2PCi

②如图所示，在CP上截取C尸=BP,连接力几

团△RBC是等边三角形，

^ABC=^ACB=60°,AB=AC,

^ACF+乙BCP=60°,

国乙BPC+乙BCP+4ABP+Z.ABC=180°,乙BPC=60°.

团乙BCP+LABP=60°,

^ACF=乙ABP,

团△/IBP三△ACF(SAS),

^AP=AF,

囿4E1CP,

^AEP=Z.AEF=90°,

又团力E=AE,

0Rt△APEwRtATlFF(HL),

团EF=PE,

(2CP-BP=CP-CF=PF=2PE,

胆*I

(2)解：①团△/WC是等边三角形，

^ACB=60°,

0Z/1CP+乙BCP=60°,

^BPC=120°,

团NPBC+Z.BCP=180°-Z-BPC=60°,

^Z-ACP=乙PBC；

@LAPC+乙BPF=180",理由如下:

如图所示，作等边aCPG,连接力G,

0A48。和^CPG都是等边三角形，

团AC=BC,CP=CG=PG,Z.ACB=Z.PCG=乙CGP="PG=60°,

团4AC8—/.ACP=Z.PCG-"CP,

田乙BCP=Z.ACG,

0ABCP=△/ICG(SAS),

团4力GC=Z-BPC=120°,AG=BP

团/AGP=Z-AGC-乙CGP=60°=4CPG,

囱PCIIAG,

I3Z.APC+乙PAG=180°；

如图所示，延长PF至lj”,使得HF=PF,连接BH,

*

H

团点?为BC的中点，

0FF=CF,

X0ZCFP=乙BFH,

0ACFP三△BFH(SAS),

©BH=CP=PG,乙HBF=LPCF,

^LBPC=120°,

田乙BCP+Z.CBP=180°-120°=60°,

=Z.CBP+乙CBH=Z.CBP+BCP=60°,

^Z-PBH=/-AGP,

又回BP=4G,

0ABPH三AG/IPISAS),

回/BPH=4GAP,

^Z.APC+乙BPF=180°.

7.(1)解：BE=CD.BELCD,

理由如下：

0AABD^WL4CE都为等腰直角三角形，4BAD=^CAE=90°,

AD=AB,AE=AC,乙DAB+Z.BAC=Z.EAC+Z.BAC,

^^DAC=4BAE,

在△ZMC和△/ME中，

AD=AB

Z.DAC=Z.BAE,

AC=AE

，△/Z4c三ZkB/lElSAS),

BE=CD,Z.ADC=Z.ABE,

设BE、CD相交于点立

图1

0Z1=Z2,Z.ADC+Z14-/.DAB=匕ABE+42+乙BFD=180°,

^Z.BFA=乙DAB=90°,

即BE1CD；

(2)①过点A作AM16E,4N1CD,

0ADAC三△84E(SAS),

团4M=AN,

即F4是4"E的平分线,

团NBFC=乙DFE,

回尸G是NBFC的平分线，

由(1)知由后_LCD,

团NBFC=90°,

0/8尸G=45°.

②证明：延长力”到P,使HP=H4连接3P,如图3,

图3

团点H是BC的中点，

:.BH=CH,

在ABMP和△CH力中，

(BH=CH

\z-BHP=乙CHA,

(HP=HA

BHPC”4(SAS),

:.ZP=Z.CAH,BP=AC,

:.BPWAC,

Z-ABP+Z.BAC=180°,

(3Zi4B。为等腰直角三角形，

.­.^BAD=90°,AB=AD,

回△?!(?£•为等腰直角三角形，

AC=AE,^CAE=90°,

:.^BAD+/.CAE=180°,

:./.DAE+Z.BAC=360°-180°=180°,

•••Z.ABP=Z.DAE,

-BP=AC,AC=AE,

团8P=AE,

在△力5P和△£)?1£中

AB=AD

Z.ABP=Z.DAE,

BP=AE

ABP三△DAE(SAS),

•••AP=DE,

yAP=2AH,

:.DE=2AH.

8.(1)解：8E1CF,证明：

团NACB=90°,IIICB,

0ZC/1F=90°,

在Rt△力CF和RtaCBE中，

(CF=BE

UC=BC'

0Rt△ACF三RtACBE(HL),

团乙CBE=Z.ACF,

又团乙4。尸+Z,FCB=90°,

⑦乙CBE+(FCB=90°,

^Z.CHB=180°-QCBE+Z-FCB)=90°,

(3BE1CF；

(2)@^ACB=90°,/IICB,

^LCAF=90°,

BCD1CF,DMLAC,

0ZDMC=乙DCF=90。，

^Z.DCA+Z.ACF=90°,

^/.ACB=90°

0ZFCB4-^ACF=90°,

^LFCB=乙DCM,

鼠IICB,

^FCB=乙AFC,

团乙OCM=Z/1FC,

在40cM和^&4尸中,

Z-DMC=Z-CAF=90°

ZDCM=Z.AFC,

DC=CF

0ADMCSAC/1F(AAS),

0DM=AC,AF=MC,

团4c=CB,

团DM=CB,

在aOMG和ZkBCG中，

NOGM=Z-CGB

"MG=Z-GCB=90°,

DM=CB

0ADMG^AFCG(AAS),

团MG=CG,

团力C=m,AG=n.

团MG=CG=AC-AG=m—n,

^AF=MC=2CG=2(m-n)=2m—2n；

^LCAF=90°,

团CO1CF,DMLAC,

0ZDMC=乙DCF=90°,

0ZDCM+Z.ACF=90°,LDCM+“DM=90°,

团4/CF=乙CDM,

在ADCM和A4C/中，

乙DMC=Z.CAF=90°

乙CDM=乙ACF,

DC=CF

(?1ADMGCi4F(AAS).

WM=AC,AF=MC,

胤4c=CB,

团DM=CB,

在AOMG和A8CG中，

LDGM=乙CGB

乙DMG=乙GCB=90。，

DM=CB

(3ADMG三△BCG(AAS),

团MG=CG,

0i4C=m,AG=n,

国MG=CG=AG—AC=n—m,

团AF=MC=2CG=2(n-m)=2n—2m.

9.(1)解：^AC=BC,£8=60。，

即\48。是等边三角形，

团BC=AC=4,Z,ACB=60°,

WD||AF,

^DNE=ZF,乙NDB=LACB=60°,

=60°,

0ABNO是等边三角形，

团80=ND=BN,

0CF=1,BN=CF,

团BD=ND=CF=1,

0DC=BC-BD=3,

在△NED和△FEC中，

cDNE=乙F

乙DEN=Z-CEF,

DN=CF

0ANED三△FEC(AAS),

0CF=DF=-CD=-x3=-；

222

(2)证明：0i4C=BC,LB=60°,

是等边三角形，

团A8=AC=BC,^ACB=Z.BAC=zfi=60°,

^BAD+Z.DAC=乙CDF+zF=60°,

凤4。=FD,

^Z.DAC=乙F,

^Z.BAD=乙CDF,

0ZC/IE=乙CDF,

^Z-BAD=Z.CAE,

在△48D和△力CE中，

乙B=Z-ACE

AB=AC,

△BAD=Z.CAE

团△力80三△ACE(ASA),

团80=CE,AD=AE：

IL4E=OF,

如图，过点E作EGII48,交AC于点G,

团/GEC=Z-B=60°»

又回匕ACB=60°,

0AGEC是等边三角形，

0CG=EG=CE,

^AC-CG=BC-BD,

即AG=CD,

在ADCF和A4GE中，

(DC=AG

</.CDF=4GAE,

(FD=EA

团△力GE三△OCF(SAS),

0CF=EG,

团CE=CF：

(3)^BD-.CD=1:4,BD=2,

0CD=8,

又AC=BC,

团4c=BC=BD+CD=10；

如图，在AC上截取4”=,4M,连接”N,DH,

团/MAN=乙HAN,

又RL4M=4H,AN=AN,

^AMN三△4”N(SAS),

13MN=HN,

国MN+DN=HN+DN,

团当0、N、H三点共线，且OHJ.4c时，HN+ON有最小值，即此时MN+DN有最小值，最

小值为。〃的长，

0A的面积为30,且/1O1BC,

^AD-BC=30,

吗X10/1D=30,

国AD=6,

用SMCD=•DH=^AD•CD,

屋X10DH=-x6x8

22

WH=

国MN+ON的最小值为处.

o

10.(1)解：如图，过点。作CNly轴于N,

^Z.OAB+Z.OBA=90°,

团N048+AOAC=Z-BAC=90°,

团4OBA=Z.OAC,

在△力。8和aCNH中，

(Z.AOB=Z.ANC

\z-OBA=Z.OAC，

IAB=AC

^AOB=△CNA(AAS),

WA=NC,OB=NA,

耽0,1),5(-2,0),

回NC=OA=1,NA=OB=2,

回ON=NA-OA=1,

配1(1,-1)；

(2)证明：①过点C作CT_L%轴于T,如图:

则4力00=Z.CTD=90°,

071(0,1),C(l,-1),

^AO=CT=1,

在△AOM"CFO中,

/.ADO=乙CDT

^AOD=乙CTD,

AO=CT

团△4。。三△CTD(AAS),

胤4D=CD；

②如图，过点A作AH1BC于H,交x轴于S,

Z.BAC=90S

回乙ABC=Z.C=45°,

团A8=AC,AH1BC,

04H平分心B4C,

^Z-BAH=Z.CAH=Z.C=45。,

在△力85和4G4E中，

乙BAH=Z-C

AB=CA,

/.ABO=Z-CAO

回△力8SME(ASA),

回?IS-CE,

在△7105和4COE中，

(AS=CE

\ADAS=乙DCE,

(AD=CD

[3Zi4DS三△CDE(SAS),

0ZCDE=Z.ADB.

11.(1)解：AD=CD+AB

延长力E交DC的延长线于点心

图1vAB||CD,

•••Z-BAE=Z-CFE,Z-B=LECF,

•.•点E是BC的中点，

•••BE=CE,

:.XAEB/FEC(AAS),

AB=CF,

•••/IE是NBA。的平分线，

Z.BAE=Z.DAE,

Z.DAE=LCFE,

AD=DF=CD+CF=CD+AB.

(2)解：如图2,延长ED,AB交于点F,

图2...EC1BC,

:.Z.ECD=90°,

:./.ABD=/.DBF=乙ECD=90°,

•.•/io是中线，

:.BD=CD,

•••Z.BDF=Z.CDE,

BDF三匕CDE(ASA),

BF=CE=3,ED=Dr,

•••AF—AB+BF=1+3=4,

v44DE=90°,DF=ED,

••.AO是EF的垂直平分线，

AE=AF=4.

(3)CE=2CD.

证明：如图3,延长CD至点F,使DF=C。，连接BF,

c

同理可得4ADC^DF(SAS)

0FF=AC,/-VBA=Z.A,

-AC=AB,

•••BF=48,Z.ACB=Z.A8C,

•・•点B为4E的中点,

:.BE=/IF»

ABE=BF,

,:Z.CBE=Z.ACB+Z/l,LCBF=Z.CBA+乙ABF,

•••Z-CBE=乙CBF,

又•：CB=CB,

:・>CBE"CBF(SAS),

CE—CF―2CD,乙BCD—Z.BCE.

12.(1)解：①•••=90。，48二30。，

•••乙4=60°,

•••CE为48边上的中线，

AC==AE=EB,

2

.•.△ACE是等边三角形；

②是等边三角形，

EC=HE.

-AE=EB,

:.CE=-AB；

2

故答案为：等边三角形，CE=^AB,

(2)解：AP=BP,埋由如下:

连接PE,如图,

P

30°,

ALBAC=60°,AC=\AB,

2

又CE是Rt△4BC的中线

：AEBEAB

.==\2,

AC=AE,

又•••△ADP是等边三角形

:.AD=AP,/,DAP=Z.CAB=60°,

:.Z.CAD=LEAP,

•••△CAD£△Ei4P(SAS),

:./.AEP=乙ACB=90°,

XvAE=BE,

・•.PE是4B的垂直平分线

AP=BP；

(3)解：在RtzxABC中，Z,ABC=30°；

0ABCF是等边三角形，

⑦乙CBF=60°.

0Z4FF=Z.ABC+£.CBF=30°+60°=90°,

(3BF1AB,

过点。作的中线PE,如图，

F

团a/lBP是等边三角形，且点E是4B的中点,

(3NPE8=90°,PE是上EPB的角平分线，

回㈤=30°,

团PE

在RtA/BC中，^ABC=30°,

圆BC=/48,

0ABCF是等边三角形,

回BF=BC,

团PE=BF.

X0ZPEG=乙FBG=90°,Z.PGE=乙FGB,

0APEG工△尸BG(AAS),

回EG=BG=2,

团E是AB的中点，

回EB=EG+GB=2+2=4.

团A8=2EB=8,

故答案为：8.

13.解：［理解］证明：0Z/1EC=Z-ABE+^A=^AED+LDEC,Z-ABE^AED

0Z71=乙DEC

又因乙4BE=/ECD,AE=ED

^ABEECD(AAS)

［迁移］解：如图，过点、D作DFA.BC于点、F,

0Zi4EC=Z-AED+乙DEF=NB+Z.BAE,乙ABC=Z.AED=90°

0ZDFF=乙BAE

WF1BC

=々B=90°

乂囿4E=DE

团△4BEEFD(AAS)

团BE=DF

团乙BCD=120°

0ZDCF=60°

在RtZkCOF中，Z.CDF=90°-Z.DCF=30°

^CF=-CD=1

2

0DF=VCD2-CF2=V3

0FF=DF=y[3

在RtUBE中，AB=3,BE

^AE=7AB2+BE?=2V3

在Rt△//)£■中，HE=DE=2代，AD=y/AE2+DE2=y[2AE2V6

[创新]解：团。运动速度始终是点£运动速度的2倍,

团设力E=X,贝IJCD=2x,AD=AC-CD=12-2x,

如图，在48上截取A，=.4。，连接OH,F〃，作射线8F,

则AH=力。=12—2x,BH=AB-AH=12-(12-2x)=

•••△4BC为等边三角形，

:.Z.A=60°,

•••AD=AH,

为等边三角形，

.-.AD=DH,Z-ADH=60°,

•••△O£T为等边三角形，

/.DE=DF,4EDF=60S

•••Z.ADE+乙EDH=60°.乙EDH+乙HDF=60°,

，Z.ADE=乙HDF,

(AD=DH

在△ACE和△HDF中，乙4DE=NHDF,

(DE=DF

••.△ADE三△HDF(SAS),

HF=AE=x,乙DHF=Zzl=60°,

二乙FHB=180°-乙DHE-乙DHF=180°-60°-60°=60°,

在△HF8中，BH=2x,FH=x,Z-FHB=60°,

取的中点M,连接/M,

则HM=BM=涉=/2%=x,

•••HM=HF=x,

••・△，尸M为等边三角形，

FM=BM=HM=x,LFMH=60%

乙MFB=乙MBF,

•••(MFB+乙MBF=乙FMH=60°,

:.乙MBF=乙MFB=30°,

BF是匕ABC的角平分线,

即：尸点在/ABC的角平分线上运动，

如图所示，作GF'IBF于尸，此时，G"最小，

••・G是A8的中点，

：♦GB=AG=-AB=-X12=6,

22

在△Gr'B中，Z-BF'G=90°,Z-GBF,=30°,

•••GF1=-GB=-x6=3.

22

故G尸的最小值为3.

14.(1)证明：是BC的中点，

ACM=BM,

•••COJ.4M于点D,BEJ.4M交4M的延长线于点E,

Z.CDM=zF=90°,

在ACDM和ZiBEM中,

(Z-CDM=Z-E

\z-CMD=乙BME,

(CM=BM

CDM^△5EM(AAS),

•••CD=BE.

(2)解：①•.•48=4C,M是8C的中点，

:.AM1BC,BM=CM,

AZ-AMB=90°,4M垂直平分BC,

团PB=PC,

•••LBPC=90°,

0ABPC是等腰直角三角形，

^PBC=45°,

0A8Mp是等腰直角三角形，

13PM=BM=CM=-2BC,

AP,r

v—=k=1,

PM

AP=PM=-AM,

2

.'.-AM=-BC,

22

AM=BC,

在Rt△48M中，由勾股定理得AB?=AM2+8M2,

^AB2=BC2+©")2=:BC2,

22222

AAB+AC=2AB=2X-BC=-BC.

42

②结论