一线三等角相似模型（K型）-浙教版九（上）数学知识点训练（含答案）

一线三等角相似模型（K型）一浙教版数学九（上）知识点训练

阅卷人

一、选择题

得分

1.如图W6-3,点E是48的中点，AC=5,BD=2.若乙4=MED=乙B,则AB的长是

)

A.7B.>/10C.2>/10D.10

2.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课匕某位同学进行了如卜操作：第一步：将矩形纸片的一端，

利用图28-12①的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，

使点C恰好落在点F处，得到折痕MN,如图②.根据以上的操作，若48=8,40=12,则线段

BM的长是（）

图28-12

A.3B.V5C.2D.1

3.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，。是A8边上的一个动点，沿过点。的直线折叠

乙4,使点A落在BC边上的点F外，折痕交AC于点E,当B尸=1,AE=卷时，则AD的长

是（）

A

八

RC

第1页

4.如图，面积为36的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其中E,F,G分别在

AB,BC,FD上，若BF=2,则小正方形的边长为（）

E\

D4\136713D.

■

5.如图，正方形ABCD的边长为4,E是8C上一点，过点E作EF14E,交CD于点F,连

结AF,则AF的最小值是（）

RE

B.V7C.2企

阅卷人

二、填空题

得分

6.如图，已知矩形ABCD的顶点4D分别落在之轴、y辅上，00=204=6,AD：AB=

3：1,则点C的坐标是.

OAx

7.如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC是梯形，CB||04,0C=BA,04=7,BC=1,AB=

5,点P为x轴上的一个动点，点P不与点0,A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点

D.

第2页

(2)当点P在线段。4上运动时，使得乙CPD=LOAB，且BD：AD=3：2,则点P的坐标

为

8.如图，已知ABCD中，AB=3,BC=4,ZB=60°,点E是AB边上一点，过点E作EF_LDE,

交BC边于点F,且ZEFD=60°;则AE=

9.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,0),B。2),将LABO沿直线AB翻折后得到△

(x<0)的图象经过点C,则k=

G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A.若NCDG=a,则

ZAHF=;若A"=3,GC=2,则△EF”的面积为

DE±BE,ACLCD.

第3页

A

D

(1)求证：AABCFCED：

（2）添加一个条件,求证：AABCMACED.

12.如图,在等边△/IBC中，点。，E,F分别在AB,BC,AC边上，连接DE,DF,EF,且

乙DEF=60°.

（1）求证：XBDEFCEF：

（2）添加一个条件,求证：ABDE三〉CEF.

13.已知点。在4B延长线上，且Z.DAB=乙DBE.

（1）如图1,若乙求证：△04B〜△BCE.

则需的值为

（2）如图2,若CE//AD,乙C=45°,若AD=&AB,

（3）如图3,连结AE,若△ZMB〜△OBE,瑞=企,求证：AE=2BD.

阅卷人

-----------------四、实践探究题

得分

14.如图，在矩形ABCD中，4D=7MB（九＞1）,点E是AD变上一动点（点E不与A,D重合），连接

BE,以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFG〜矩形ABCD,EG交直线CD于点H.

（1）【尝试初探】

在点E的运动过程中，与△OEH始终保持相似关系，请说明理由.

第4页

(2)【深入探究】

若n=2,随着E点位置的变化，〃点的位置随之发生变化，当〃足线段CD中点时，求tan乙43E的值.

15.在△ABC中，乙BAC=90。,AB=AC,直线I经过点4,过点B,C分别作/的垂线，垂足

分别为点D,E.

(1)特例体验：如图W6-10①，若直线I||BC,AB=AC=^2,分别求出线段BD,CE和DE

的长.

(2)规律探究：

(I)如图②，若直线I从图①状态开始绕点A旋转a(0<a<45。)，请探究线段BD,CE和

DE的数量关系并说明理由；

(II)如图③，若直线1从图①状态开始绕点力顺时针旋转a(45°<a<90。)，与线段BC相交于

点H,请再探究线段BD,CE和DE的数量关系并说明理由.

(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F.若CE=3,DE=1,求S^BFC.

第5页

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：・・・NA+NACE+NAEC=180。，

ZAEC+ZCED+ZBED=180°,=MED,

AZACE=ZBED.

又4力=zB,

・•・△ACE^ABED,

/.AC：BE=AE：BD,

丁点E是A8的中点，

AAE=BE.

*-*AC=5,BD=2,

・・・5：AE=AE：2,解得AE=±JT5（负值舍去），

AB=2AE=2X/TO

故答案为：c.

【分析】先利用AA证明△ACES/^BED,再列出比例式，求出AE,再求出AB.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：过M作AD的垂线，垂足为G,

设DN=x,则FN=8-x,

由折叠可知AF=AB=8,

/.DF=AD-AF=12-8=4.

VDF2+DN2=FN2,

/.42+x2=(8-x)2,解得x=3,

AFN=8-3=5.

VZGFM+ZMFN+ZNFD=180°,ZMFN=90°,

・•・ZGFM+ZNFD=90°,

VZNFD+ZFND=90°,

AZFND=ZGFM.

第6页

又/D=/MGF=90°,

.*.△DFN^AMGF,

AGM：FD=MF：FN,

A8：4=MF：5,解得MF=10,

・•・BM=BC-MC=BC-MF=12-10=2.

故答案为：C.

【分析】过M作AD的垂线，垂足为G,设DN=x,可用x表示出FN,再利用勾股定理求得x,就可求得

FN,再证明△DFNs/^MGF,列出大于MF的比例式求解，再利用BM=BC-MC=BC-MF求出BM.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•等边△ABC的边长为4,

/.ZA=ZB=ZC=60°,AB=AC=BC=4,

根据折叠的性质，得NDFE=NA=60。，

ZDFB+ZEFC=180°-60°=120°,

VZB=60°,

・•・ZDFB+ZBDF=180°-60°=120°,

.\ZEFC=ZBDF,

:,〉BDF〜△CFEf

・BD_BF

*t~CF~~CEy

yVAC=BC=4,AE=^-,BF=1,

-9•CE=AC-AE=4-^-=^CF=BC-BF=4-1=3,

BD1

・,BD=芹,

1qi□

•••40=AB-80=4-尸=全

故答案为：B.

【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得/A=/B=/C二NDFE=60。，AB=AC=BC=4,然后利用“一

线三等角“模型证出NEFC二NBDF,从而有△BDF〜△CFE,根据相似三角形的性质得罂二整，然后求出

CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD二AB-BD的值即兀.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•正方形ARCD的面积为36.

ABC=CD=6,ZB=ZC=90°,

第7页

/.ZEFB+ZBEF=90°,

VDP=2,

ACF=4,

•・•四边形EFGH是正方形，

.•・ZEFG=90°,

・•・ZEFB+ZDFC=90°,

・・・NBEF=NDFC,

・♦・△HE尸〜△CFD,

••汴一而’

,BE_2

,，T=6，

••・BE

:・EF=yjBE2+BF2=J©+22=^

・••小正方形的边长为季，

J

故答案为：A.

【分析】根据正方形的面积得BC=CD=6,根据正方形的性质得NB=NC=NEFG=90。，接下来利用“一线三等

角“模理证出/BEF二NDFC,从而得△BEF〜△CFD,根据相似三角形的性质得竽=|,从而求出BE的值，

最后利用勾股定理求出EF的值即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD的边长为4,

AAB=BC=CD=AD=4,ZB=ZC=ZD=90°,

・・・NBAE+NAEB=90。，

VEF1AE,

.•・ZAEF=90°,

.\ZAEB+ZCEF=90o,

・•・ZCEF=ZBAE,

A△CEF,

.AB_BE

，9~CE~~CF'

设BE=x,则CE=BC-BE=4-x,

.4_x

**4=x_CF>

第8页

・"F=%幻=-^7+X=-1(X-2)2+1»

，当x=2时，CF最大值为1,

・・・DF的最小值为4-1=3,

，AF的最小值为+0产="2+32=5，

故答案为：A.

【分析】根据正方形的性质、垂直的定义得AB=BOCD=AD=4,ZB=ZC=ZD=ZAEF=90°,然后利用“一

线三等角“证出NCEF-NBAE,得^BAE-△CEF,从而有空=空，设BE-x,则CE-4x,然后求出CF的

CECF

值，利用二次函数的最值知识求出CF的最大值，从而得DF的最小值，最后用勾股定理求出AF的最小值.

6.【答案】(2,7)

【解析】【解答］解:过B点作BElx轴于点E,

•・•四边形ABCD是矩形，

.\ZDAB=90°,

•・•ZOAD+ZDAB+ZBAE=180°,

ZOAD+90°+ZBAE=180°,

；・ZOAD+ZBAE=90°,

VZODA+ZOAD=90°,

AZODA=ZBAE.

又NAOD=NAEB=90°,

・•・△OAD^AEBA,

AD：AB=OA：BE=OD：AE,

•：OD=2OA=6,AD：AB=3：1,

•*-3：1=3：BE=6：AE,AD=Vo/l2+OD2=3\/5-

解得BE=LAE=2,

••・AB=J/1E2+842=后

过点C作CF_Ly轴于点F,

•・•四边形ABCD是矩形，

AZADC=ZDAB=90o,CD=AD=V5.

,/ZFDC+ZCDA+ZADO=180°,

/./FDC+900+/ADO=I80°.

.\ZFDC+ZADO=90°,

第9页

VZOAD+ZADO=90°,

.,.ZPDC=ZOAD.

XZDFC=ZDOA=90°,

・•・△DFC^AAOD,

.\CF：OD=FD：OA=CD：AD,

ACF：6=FD：3=V5：3石，解得CF=2,DF=h

・・・C点的坐标为（2,7）.

故答案为：a,7）.

【分析】先利用相似三角形的判定-AA,证明△OADsaEBA,列出比例式求出AE,BE,再利用勾股定理

求出AB,AD,再证明△DFCsaAOD,列出比例式求出CF与DF,最后写出C点的坐标.

7.【答案】（1）（4,4）

（2）⑵0；或⑸0）

【解析】【解答］解：（I）过点C,B分别作x轴的垂线，垂足分别是E,F,

则/CEO=90。，ZBFA=90°,

又BC//OA,

••・ZCBF=ZAFB=90°,

・•・四边形BCEF是矩形，

ACE=BF,BC=EF,

又OOBA,

・•・△OCE^AABF（HL）,

・・・OE=AF,

又OA=7,BC=1,OA=OE+AF+EF,

・・.2OF+1=7,得OE=3.

•*-CE=y/oC2-OE2=4-

第10页

又BC=1,0E=3,

.\or=4,

・••点B的坐标为（4,4）

故答案为：（4,4）；

(2)7△OCE^AABF,

/.ZOAB=ZAOC,

•；“PD=

AZCPD=ZAOC,

,/ZOPC+ZCPD+ZAPD=180°,

ZOPC+ZAOC+ZOCP=180°,

AZAPD=ZOCP,

XZOAB=ZAOC,

・•・△OCP^AAPD,

AOP：AD=OC：PA,

XBD：AD=3：2,BD+AD=AB=5,

解得AD=2,BD=3,

AOP：2=5：PA,

又OP+PA=OA=7,

解得OP=2,或5,

••・点P的坐标为(2,0)或(5,0).

故答案为：（2,0）或＜5,0）.

【分析】（1）过点C,B分别作x轴的垂线，垂足分别是E,F,先利用HL定理证明40CE四4ABF,再求

得OE,然后利用勾股定理求得CE,再求得OF,最后写出点B的坐标；

（2）先证明△OCPs^APD,列出比例式求出OP,再写出点P的坐标.

8.【答案】1

【解析】【解答】解：设AE=x,过点F、D分别作AB的垂线，垂足分别为G,H,

第11页

H

则NH=NEGF=90。，

/.ZHED+ZEDH=90°,

•・•过点E作EF1DE,

ZDEF=90°,

ZDEF+ZHED+ZGEF=180°,

・•・ZHED+ZGEF=90°,

AZEDH=ZGEF,

・•・△HDE^AGEF,

ADH：EG=DE：EF=HE：GF,

•・•四边形ABCD是平行四边形，BC=4,ZB=60°,

AAD//BC,AD=BC=4,

.\ZDAH=ZB=60°,

AAH=1AB=2,HD=V3AH=2V3.

乙

,\HE=AH+AE=2+x,

.•.DE=7HD2+//£.2=J(2+vK+(2百『，

•:乙EFD=60°,

・・.EF=DEJ(2+X)2+(2通)1DE后

丽

后=若

A2V3：EG=V3：1=(2+x)：GF,

解得2+x

EG=2,GF=利

VGB+GE+EH=5,

，等+2+2+%=5,解得x=上.

故答案为：i

【分析】设AE=x,过点F、D分别作AB的垂线，垂足分别为G,H,先利用相似三角形的判定一AA,证

第12页

明△HDES/\GEF,列出比例式DH：EG=DE：EF=HE：GF,根据含有30度角的直角三角形的性质，可用

x表示出GF,EII,进而用x表示出GB,再根据GB+GE+EH=B【I,求出x即可.

9.【答案】一||

【解析】【解答】解：过点C作CD垂直于x轴于点D,连结OC,

由翻折可知：OC被AB垂直平分,

V/l(-1,0ZB3,2),

.\OA=1,OB=2,

Z.AB=V5.

VSAAOB^/10.BO=^AB-OE,

・•・；xlx2=i75.OE,解得OE=j=.

4

・・・OC嗅

v5

VAB1OE,

/.ZAOE4-ZEAO=90°,

又/OAB+/OBA=90。，

・•・ZOBA=ZEAO,

又NCDO=NAOB=90。，

.*.△CDO^AAOB,

ACD：AO=CO：AB=DO：BO,

,CD：1$：V5=DO：2,解得CD=g,DO=|.

・••点C的坐标为(卷I),

又反比例函数y/(x<0；的图象经过点C,

Jx

.k=48_32

,,k--5X5-25-

第13页

故答案为:-g.

【分析】先利用4A0B的面积的不同算法，得到关于0E的方程求解，求出0E,再利用相似三角形的判定

—AA,证明△CDOSAAOB,列出关于CD,DO的比例式求解，求出CD,DO,可得C点的坐标，求出k.

10.【答案】90°-a；3

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是矩形，

・•・ZB=ZC=ZAFH=ZFGD=90°,

VZBHG+ZHGB=90°,ZHGB+ZDGC=90°,

.\ZBHG=ZDGC,

ZCDG=a,

.\ZBHG=ZDGC=90°-a,

XVZAHF=ZBHG,

・•・ZAHF=90°-a,

设AB二x,则HB=x-3,BG=x-2,

VZBHG=ZDGC,ZB=ZC,

/.△BHG^ACGD,

.BH_BG

•飞一而

口叱一

即丁3二丁x—2’

解得：x=4或x=l（舍去），

即正方形的边长为4,

AHB=1,BG=2,

:・HG=\lBH2+BG2=瓜

:・DG=VCG24-CD2=2V5

；・EF=DG=2V5;

连接EH,如图：

VZB=ZAFH,ZAHF=ZBHG,

.*.△AFH^AGHB,

第14页

.AH_FH

••丽-丽'

喔用，

解得：尸〃=皆，

:,S&EHF=；xEF*x2遍x等=3.

故答案为：90°-a；3.

【分析】根据正方形的矩形的四个角都是直角可得NB=NC=NAFH=NFGD=90。，根据等角的余角相等可得

ZBHG=ZDGC,结合对顶角相等即可得出NAHF=9（）o-a；设AB=x,则HB=x-3,BG=x-2,根据有两个角对

应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得x=4,根据直角三角形两直角边的

平方和等于斜边的平方可求出HC,DG,EF的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相

似三角形的对应边之比相等可求得FH的值，根据三角形的面积公式即可求解.

11.【答案】（1）证明：-AB1BE,DEJ.BE,ACLCD,

乙ABC=乙CED=^ACD=90*

ABAC+Z-ACB=W^ACB+乙ECD=90°,

Z.BAC=乙ECD,

•••△ABCCED;

（2）AC=CD；

证明：由（1）得乙4BC=4CED=90°,乙BAC=^ECD,

又,.,AOCD,

.\A/1FC=ACFD（AAS）

【解析】【分析】（1）根据垂直可以得至1吐48。=乙CED=乙ACT）=90°,然后根据同角的余角相等得至UNBAC=

△ECD,即可得到三角形相似；

（2）利用AAS证明两三角形全等即可.

12•【答案】（1）证明：为等边三角形，

:.乙B=Z.C=60°,

:.乙BDE+乙BED=120°.

•••乙DEF=60°,

•••LCEF+乙BED=120°,

•••乙BDE=Z.CEF,

BDECEF;

（2）DE二FF：

证明：由（1）得48=4。=60°,LBDE=Z-CEF,

第15页

又♦:DE=EF,

△DDE=△CEF.

【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得到N8=NC=60。，然后根据三角形的内角和和平角的定义得

至=乙CEF,即可得至IJ结论；

(2)利用AAS证明两三角形全等即可.

13.【答案】(1)证明：VZA=ZDBE,ZA=ZC,

AZA=ZDBE=ZC,

ZADB+ZDBA+ZA=180°,ZDBA+ZDBE+ZEBC=180°,

AZADB=ZEBC,

△DAB~△BCE；

(2)平

4

(3)证明：如图，延长AB到点F,连接EF,使得NF=NDAB,

图3

VZDAB=ZDBE,

AZDAB=ZDBE=ZF,

由（1）同理可证△D4Bs/kBFE,

.AD_BD_AB

••丽=现=而'

'：2DABs〉DBE,器=企，

-AD_BD_>[2

FF=T

•AD_AB_J2

,,饼二百二丁

设AD=m,贝ijAB=V2m,BF=V2m,

AEF=2m,

：-AF=AB+BF=2\[2m^

-EF_AF

••而=而=，'

VZF=ZDAB,

/•ADAR~AEFA.

.BDAD1

，，AE=EF=2t

第16页

・・・AE=2BD.

【解析】【解答］解：（2）如图，过点E作EP_LEC交AC于点F,

・•・ZFEC=90°,

ZC=45°,

••・ZBFE=ZC+ZFEC=45°+90°=135°,ZCFE=45°,

.\ZCFE=ZC,

AEF=EC,

VCE^AD,

.\ZDAB+ZC=18O0,

.*.ZDAB=180o-45°=135°,

.\ZDAB=ZBFE,

VZDAB=ZDBE,

・•・ZDAB=ZBFE=ZDBE,

由（1）同理可证AD/IBSABFE,

.AD_BF

••亚F'

又®AB，

,,亚一丽-"2，

设EF=EC=x,

••CF=>/2x>—=V2»

X

:,BF=g,

:・BC=BF+CF=2ax，

.CE_x_42

,,阮=语=彳'

故答案为：

4

【分析】（1）易证NA二NDBE二NC,然后利用”一线三等角“证出NADB二NEBC,即可证得△ZZ4B

BCE；

（2）过点E作EF_LEC交AC十点F,得NFEC=90。，从而求出NBFE=135。，/CFE=45°=NC,进而得

EF=EC,然后根据平行线的性质得NDAB=135o=/BFE=NDBE,由（1）同理证出△/MB根据相

第17页

似三角形的性质得第=震=鱼，设EF=EC=x,然后求CF、BF的值，从而得BC的值，最后进行化简即

ABEF

可；

(3)延长AB到点F,连接EF,使得NF=NDAB,得/DAB=/DBE=NF,由(1)同理证出

BFE,接下来根据相似三角形的性质得饯=第=黑，综=铝=噂，从而有第二第=噂，设AD=m,

oroccrAbBELbrErZ

接下来求出AB、BF的值，得EF、AF的值，然后求出得=笨=2,进而判定△04BER4,得器=

第=/即可得证AE=2BD.

14.【答案】(1)解：•••四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，

:.Z.A—乙BEG-Z-D—90°,

AZ-ABE+Z.AEB=乙AEB+乙DEH=90°,

:.乙ABE=乙DEH,4BE〜△DEH,

••・在点E的运动过程中，△48£与^DE"始终保持相似关系

(2)解：设AB=1,AE=x,贝ljAD=2AB=2,DE=2-x,

••・四边形ABCD是矩形，

CD=AB=1,乙4=90°,

••・H是线段CD中点，

DH=\CD

ABE~△DEH,

±®务

D-=

E

2+%2区

解得_

X1-2不-2

,,_AE_2+y/2^2-n

:.t3nZ-ABDEC==—2—或—2—

【解析】【分析】⑴利用矩形的性质证得，〃=40,再通过余角的性质得到〃8E=40EH,进而判定4

ABE〜△DEH.

(2)：设AB=1,AE=x,贝ijAD=2AB=2,DE=2-x,利用相似三角形的性质求得x的值，进而计算出takABE

的值.

15.【答案】(1)解：在△ABC中，乙&4c=90°,

AB=AC,

:*/-ABC=Z-ACB=45°.

VIIIBC,^DAB=乙ABC=45°,

第18页