九年级上学期数学提升训练-圆 单元检测（二）含答案

圆单元检测（二）

一、单选题

1.如图，AB是。。的切线，A切点，连接OA,0B,若N8=20。，则乙408的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

2.设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8cm,以A为圆心、AD的长为半

径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（）

(4九+16)cm2C.(37t+8)cm2D.(3TC+16)cm2

3.如图，的半径为5,弦A3的长为8,点M在线段A8（包括端点A8）上移动，则OM的取值范

B.3<OM<5C.3<OM<5D.3<OM<5

4.如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中,

不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径儿何？”用现代的数学语言表述是：“8为0。的直径，

弦A4_La）,垂足为点E,CE=2寸，A4=8寸，求直径CO的长？”依题意。。的长为（）

A.6寸B.8寸C.10寸D.12寸

5.如图，已知P是。O外一点，Q是。O上的动点，线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若0O的半径

为2,0P=4,则线段0M的最小值是（)

C.2D.3

6.一条弦把圆周分成1:4两部分，则这条弦所对的圆周角为（）

A.36B.144C.150D.36或144

7.如图，AB.AC是。。的切线，B、C为切点，ZA=50°,点P是圆上异于8、C的点，则尸C的度数

C.115°或65。D.130°或65。

二、填空题

8.如图，00的半径为5,△ABC为。。的内接三角形，且AC=AC,AB=8,点P在劣弧上运动（不与

点C、8重合），连接尸8并延长，在总的延长线上取一点£使得NR4E=NC43,则SR»•的最大值是

9.如图，EB,EC是。O的两条切线，与。O相切于B,C两点，点A,D在圆上.若NE=46。，NDCF=32。,

则NA的度数是一。.

2

10.已知0O,与002的半径4、w分别是方程X-6X+8=0的两实根,若00,与OO2的圆心距d=5.则

00/与002的位置关系是.

11.如图，AB为。。的直径，AB=AC,BC交。0于点D,AC交。O于点E,ZBAC=45°,给出以下五个

结论：①NEBC=22.5。；②BD=DC；®AE=2EC：④劣弧浓是劣弧BO的2倍；@AE=BC,其中正确的序

号是_________

12.（2016广西省贺州市第25题）如图，在AABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB,ZBAC=2ZCBE,

以AB为直径作。O交AC于点D,交BE于点F.

（1）求证：BC是。O的切线；

（2）若AB=8,BC=6,求DE的长.

13.两圆内切，其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是

14.如图中（1）、（2）、…（m）分别是边长均大于2的三角形、四边形...凸〃边形.分别以它们的各

顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、〃条弧.

（1）3条弧的弧长的和为

（2）4条弧的弧长的和为

（3）求图（〃［）中〃条弧的弧长的和（用〃表示）.

15.如图，00是AABC的外接圆，FH是。0的切线，切点为F,FH〃BC,连结AF交BC于E,ZABC

的平分线BD交AF于D,连结BF.

(1)证明：AF平分NBAC；

(2)证明：BF=FD；

(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.

16.如图，四边形ABCD是00的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DODE.

(1)求证：ZA=ZAEB；

(2)连接0E,交CD于点E0E1CD,求证：ZkABE是等边三角形.

17.如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边,

求两圆相交弧间的阴影部分的面积.

18.如图，AC是。。的直径，8c是00的弦，点夕是。。外一点，连接PB,AB,/PBA=/C.

(1)求证：是。。的切线；

(2)连接OP,交AB于点Q,若0P=6,。。的半径为2,求尸8的长.

c

B

----

19.如图，已知0。的半径为1,AC是。。的直径，过点。作GO的切线AC,E是BC的中点，AB交。。

于。点.

（1）直接写出E。和比的数量关系：:

（2）OE是。。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；

（3）填空：当BC=时，四边形4OEO是平行四边形，同时以点。、D、E、C为顶点的四边

形是.

20.如图，四边形A8CO是正方形，曲线0AMGAA…是由一段段90度的弧组成的.其中：的圆心为

点A,半径为A。：A用的圆心为点半径为8A：4G在的圆心为点C,半径为CB、:CR的圆心为点。,

半径为QG；…QA，Ag，B«,G.,…的圆心依次按点A,B,C,。循环.若正方形ABC/）的边

长为1,求4Mo8202G的长.

B2

圆单元检测（二）

一、单选题

1.如图，AB是的切线，A切点，连接OA,0B,若N8=20。，则/4O8的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】

根据切线的性质可得/。3=90?,再根据三角形内角和求出

【详解】

VAB是0。的切线

/.ZOAB=90?

•・•/4=20。

，=180°-ZOAB-^B=70°

故选D.

【点睛】

本题考杳切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.

2.设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8cm,以A为圆心、AD的长为半

径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（）

B.(4n+16)cm2C.(37t+8)cm2D.(37t+16)cm2

【答案】A

【分析】

图中阴影部分的面枳可分为扇形、矩形、三角形的面枳和与差，分别进行计算后即可得出结论.

【详解】

解：矩形ABCD中，AB=2BC,AB=8cm,

，AD=BC=4cm,ZDAF=90°,

SADF=-TTAD2=4^,（cm?）,s.形ABCD=A8・AZ）=4x8=32（cm2）,

4

又AF=AD=4cm,

:.SBCF=-BF«C=-X12X4=24（cm2）,

A22

•*»S阴影=S场彬ADF+S矩形ABCD—SABCF=（4花+8）cm2.

即商标图案（阴影部分）的面积等于（471+8）5?.

故选：A.

【点睛】

本题考查了扇形面积计算、矩形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式及矩形的性质是解题的关键.

3.如图，（DO的半径为5,弦的长为8,点M在线段（包括端点AB）上移动，则0M的取值范

围是（）

0

A.3<OM<5B.3<OM<5C.3<OM<5D.3<OM<5

【答案】A

【解析】

试题分析•：仔细分析图形特征可得：当M与A或B重合时，达到最大值；当OM_LAB时，为最小.

当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5

当OMJ_AB时，为最小值=后二］=3

故0M的取值范闱是笔工蜜期<S

故选A.

考点：垂径定理，勾股定理

点评：本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为

最小值.

4.如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，

不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为。。的直径，

弦A6_LCD,垂足为点E,庄=2寸，A6=8寸，求直径8的长？”依题意8的长为（）

D

B、---

A.6寸B.8寸C.1()寸D.12寸

【答案】C

【分析】

连接A0,设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，然后利用垂径定理得出AE,最后根据勾股定理

进一步求解即可.

【详解】

如图，连接A0,设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，

〈CD为。O的直径，弦AB_LCD,垂足为E,AB=8寸，

AE=BE=yAB=4寸，

在RSAOE中，根据勾股定理可知:

X2=42+(.r-2)2,

解得：x=5.

:.2x=10,

即CD长为即寸.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

5.如图，已知P是。O外一点，Q是。O上的动点，线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若0O的半径

为2,OP=4,则线段OM的最小值是()

C.2D.3

【答案】B

【详解】

试题分析：取0P的中点N,连结MN,0Q,如图，VM为PQ的中点，・・・MN为aPOQ的中位线，，

MN=g0Q=；x2=l,・••点M在以N为圆心，1为半径的圆上，在AOMN中，1VOMV3,当点M在ON

上时，OM最小，最小值为1,J线段OM的最小值为1.故选B.

考点：1.点与圆的位置关系；2.三角形中位线定理；3.最值问题；4.轨迹.

6.一条弦把圆周分成1:4两部分，则这条弦所对的圆周角为()

A.36B.144C.150D.36或144)

【答案】D

【分析】

根据圆周角定理，可证NAO8=72。,又由圆内接四边形的对角互补知，ZE=1800-ZF=144°.

【详解】

如图，A6把圆分成1:4两部分，则N4OB=」x36(T=72。，

由圆周角定理知.ZF=1z?\0fi=36o.

由圆内接四边形的对角互补知,/斤180。・/代144。.

A

E

故选D.

【点睛】

本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理，同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半;

圆的内接四边形的对角互补.

7.如图，AB.AC是。。的切线，B、C为切点，NA=50。,点。是圆上异于从C的点，则/4PC的度数

是()

分

A.65°B.115°C.115°或65。D.130°或65°

【答案】C

【分析】

根据切线的性质得到0B1.AB,OC±AC,求出NBOC,分点'：P在优弧BC上、点P在劣弧BC上两种情况,

根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可.

【详解】

解：・・・/W、AC是。。的切线，

OC1.AC,

・・・NOB八=90。，ZOCA=9()°

VNA=505

/.N8OC=360。-90°-90°-50°=130°,

如图，

_B

当点尸在优弧3PC上时，NBPC=；NBOC=65。,

当点产在劣弧BC上时，ZB^C=180°-65°=115°,

故选:C.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质,掌握圆的切线垂直「经过切点的半径及圆

周角定理是解题的关键.

二、填空题

8.如图，。。的半径为5,△相€;为00的内接三角形，且AC=6C"=8,点P在劣弧8c上运动（不与

点C、8重合），连接号并延长，在04的延长线上取一点E,使得NQ4E=NC48,则与人行的最大值是

【详解】

•••ZC=ZP,ZPAE=ZCAB,：.ZE=ZABC,VAC=BC,AZCAB=ZABC,ZPAE=ZE,AP=PE,

要使VAPE1的面积最大，则正与庄边上的高最大即可，当A尸为直径时庄二AP最大，且PE边上的高最

大，最大值为A8.如图，YAP为的直径，。。的半径为5,・・・4A_LP£AP=IO,・•・

S0女最大=；A8/E=；X8XK）=40・

C

9.如图，EB,EC是。0的两条切线，与。O相切于B,C两点，点A,D在圆上.若NE=46。，ZDCF=32°,

【答案】99

【解析】

试题分析：:EB,EC是。0的两条切线,

AEB=EC,

/.ZECB=ZEBC,

AZECB=y(180°-ZE)=；x(180°-46°)=67°,

，ZBCD=180°-ZECB-ZDCF=18()°-67。-32°=810,

•・•四边形ABCD为。。的内接四边形，

/.ZA+ZBCD=i80°,

.*.ZA=180°-81°=99°.

故答案为99.

考点：切线的性质.

2

10.已知00/与OO2的半径4、々分别是方程X-6X+8=0的两实根,若00/与002的圆心距d=5.则

001与002的位置关系是.

【答案】相交

【解析】略

11.如图，AB为00的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。O于点E,ZBAC=45°,给出以下五个

结论：①NEBC=22.5。；@BD=DC；③AE=2EC；④劣弧外£是劣弧50的2倍；@AE=BC,其中正确的序

号是.

A

【答案】①②④.

【详解】

连接AD,AB是直径，则AD_LBC,又：^ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD,故②

正确：

TAD是NBAC的平分线，由圆周角定理知，NEBC=/DAC=：NBAC=22.5。，故①止确；

•・•ZABE=90°-ZEBC-ZBAD=45°=2ZCAD,故④正确；

VZEBC=22.5°,2ECWBE,AE=BE,.*.AE#2CE,③不正确；

VAE=BE,BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误.

综上所述，正确的结论是：①②④.

故答案为①②④.

【点睛】

本题考查了1.圆周角定理；2.等腰三角形的判定与性质；3.弧长的计算.

12.（2016广西省贺州市第25题）如图，在AABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB,ZBAC=2ZCBE,

以AB为直径作。O交AC于点D,交BE于点F.

（1）求证：BC是。O的切线；

（2）若AB=8,BC=6,求DE的长.

【答案】（1）、证明过程见解析：（2）、1.6

【解析】

试题分析：（1）、由AE=AB,可得NABE=90。-2/BAC,又由NBAC=2NCBE,可求得NABC=NABE+

ZCBE=90°,继而证得结论；（2）、首先连接BD,易证得△ABDs/\ACB,然后由相似三角形的对应边成比

例，求得答案.

试题解析：⑴、TAE=AB,「.△ABE是等腰三角形，

111

J/ABE=2(180°-ZBAC=)=90°-2ZBAC,丁ZBAC=2ZCBE,/.ZCBE=2ZBAC,

AZABC=ZABE+ZCBE=(90°-2/BAC)+2ZBAC=90°,即AB1BC,・・.BC是。O的切线;

(2)、连接BD,・.・AB是。O的直径，・・・/ADB=90。，VZABC=90°,AZADB=ZABC,

ADAB

AC=VAB2+BC2=10,

VZA=ZA,/.△ABD^AACB,AAB=AC,RIAABC41,AB=8,BC=6,

AD=6.4,VAE=AB=8,DE=AE-AD=8-6.4=1.6.

考点：切线的判定

13.两圆内切，其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是

【答案】3或7

【解析】

试题分析：当半径为5的圆是大圆时，此时小圆半径为「=5-2=3,当半径为5的圆是小圆时，此时大圆

半径为r=5+2=7

考点：两圆内切的掌握

点评：题目难度不大，考查学生对于两圆内切时的认识和掌握，两元内切时，圆心距等于大圆半径与小圆

半径之差，做此题时，学生要注意，题忖中没有说明哪个是大圆哪个是小圆，所以需要分类讨论

14.如图中（1）、（2）、…（/«）分别是边长均大于2的三角形、四边形....凸〃边形.分别以它们的各

顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、〃条弧.

（1）3条弧的弧长的和为

（2）4条弧的弧长的和为

（3）求图中〃条弧的弧长的和（用〃表示）.

【解析】

【分斤】

（1）（2）利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算;

（3）利用多边形的内角和公式和弧长公式计算.

【详解】

解：(1)Vni+/i2+n3=180°

・•・利用瓠长公式可得:鬻+需+需"

（2）•••因为四边形的内角和为360度;

.•・四边形：上空+马里+%出+X=2乃

180180180180

/C、々rd•乃・1•乃・1n»7T*\"‘wJ(〃-2)・乃・1(个

(3)n条弧=」——+二——+-——+———+・・・+----------------=(〃-2)不

180180180180180

故答案为：兀；2兀；(〃-2)冗.

【点睛】

本题综合考查了多边形的内角和和弧长公式的应用.关键是掌握多边形的内角和公式和弧长计算公式.

三、解答题

15.如图，。。是AABC的外接圆，FH是。0的切线，切点为F,FH〃BC,连结AF交BC于E,ZABC

的'F分线BD交AF『D,连结BF.

(1)证明：AF平分NBAC；

(2)证明：BF=FD；

(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.

21

【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶工

【详解】

证明(1)连结OF

H

•・・FH是。0的切线

A0F1FH

VFH/7BC,

，0F垂直平分BC

・•・BF=FC

AZ1=Z2,

，AF平分NBAC

(2)证明：・・・NABC的平分线BD交AF于D,

:.Z4=Z3,

Z1=Z2,

••・N1+N4=N2+N3

VZ5=Z2

・・・N1+N4=N5+N3

AZFDB=ZFBD

/.BF=FD

⑶解：在ZkBFE和ZkAFB中

VZ5=Z2=Z1,ZAFB=ZEFB

.,.△BFE^AAFB

.BF_AF

••诟一犷

工BF2=FEFA

・•・叫空

FE

VBF=DF=EF+DE=7

.办7249

44

4921

.•・AD=——7=f

44

16.如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.

（2）连接OE,交CD于点EOE_LCD,求证：2\ABE是等边三角形.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得乙^+々800=180。，根据邻补角互补可得

Z.DCE+^CD=W0°,进而得到4/1=/DCE,然后利用等边对等角可得乙以手二4力ER进而可得

Z./1=LAEB.*

（2）首先证明△OCE是等边三角形，进而可得乙4E8=60。，再根据乙/1=乙4四，可得^ABE是等腰三角

形，进而可得AABE是等边三角形.

试题解析：（1）•・•四边形ABCD是。。的内接四边形,

.•.//1+々BCD=180°,

+=180°,

/.Z-A=乙DCE,

VDC=DE,

;,LDCE=Z.AER,

.•.乙4=LAEB.

(2)VZJ4=£AEBt

•••△ABE是等腰三角形,

VEO±CD,

.\CF=DF,

・•・E0是CD的垂直平分线,

AED=EC,

VDC=DE,

ADC=DE=EC,

•••△DCE是等边三角形，

/.LA=Z.AEBf

/.△ABE是等边三角形.

考点：（1）圆内接四边形的性质；（2）等边三角形的判定与性质；（3）圆周角定理.

17.如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边,

求两圆相交弧间的阴影部分的面积.

【答案】4200兀-3600-3600

【解析】

试题分析：

如图，连接OQz,OIA,OIB,O2A,O2B,则可得OQ2垂直平分AB,由题意可得AC=BC=60,ZAOiB=60°,

ZAO2B=90°,由此可得AAOIB是等边三角形，AAChB是等腰直角三角形，再由S削尸S5mAOIB+S卓形

AO2B-SAAO1B-SAAO2B，即可求得所求面积.

试题解析：

如图，连接OQ2，O1A,O1B?O2A,O2B；

则O1O2垂直平分AB,

VAB=120,

AAC=BC=60：

由题意得：ZAOiB=360xl=60\ZAO2B=90°,

又：OiA=OiB,O2A=O2B,

/.△OiAB,AO2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，

AOiA=AB=120,O2C=AC=60,O2A=V202C=6OV2

_60^-xl202„_90乃x(60拒了皿”、

••b肩杉AOIB=-------------------=2400乃,S用形AO2B=-----------------------------=18(X)4,

360360

SAAOIB=-X!20X120xsin60°=36006,SAAO2B=-X120X60=3600,

2~2

•*«S阴影=S扇形AO1B+S端陀AO2B-SAAO1B-SAAO2B

=24004+18(X)乃-360()73-3600

=42004-3600-3600拒(cm2).

点睛：本题的解题要点是：SW影二S岛形AOIB+S塌形AO2B-SAAO1B-SAACQB，然后根据已知条件围绕这四个图形的面

积进行计算即可.

18.如图，AC是。。的直径，8c是。。的弦，点P是。。外一点，连接P8,AB,ZPBA=/C.

(1)求证：是。O的切线；

(2)连接OP,交A8于点Q,若OP=6,。。的半径为2,求户8的长.

【分析】

(1)连接OB,由圆周角定理得出/A8C=90。，得出NC+/84C=90。，再由OA=OB,得出NBAC=NO84,

证出NP8A+NO8A=90。，即可得出结论：

(2)由勾股定理即可求P8的长.

【详解】

(1)证明：连接。8,如图所示:

•・YC是。。的直径，

・•・NABC=90。，

，NC+/8AC=90。，

'：OA=OB,

，N84C=N08A,

VZP^=ZC,

•••NPBA+NOBA=90。，

即PBLOB,

・・・尸8是。。的切线；

(2)解：・・・。0的半径为2,

二.OB=2,

・・・NOBP=90。，

，：OP=6,

：・PB=do产一OB?=V62-22=4>/2•

【点睛】

本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的证明方

法是解答本题的关键.

19.如图，已知。。的半径为1,AC是。。的直径，过点。作C。的切线8C,E是BC的中点，AB交。。

于D点.

A

D

CEB

（1）直接写出E。和无的数量关系：:

（2）DE是。。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；

（3）填空：当BC=时，四边形AOEO是平行四边形，同时以点。、。、E、C为顶点的四边

形是.

【答案】（1）ED=EC；（2）是，理由见解析；（3）2,正方形

【分析】

（1）如图，连接8,由圆周角定理得到“2=90。，然后根据直角三角形斜边上的中线更线得到

DE=CE=BE；

（2）如图，连接OO,利用切线性质得N2+N4=90。，再利用等腰三角形的性质得Nl=N2,Z3=Z4,所

以Nl+N3=N2+N4=90。，根据切线的判定定理知。E是的切线；

（3）要判断四边形AOEO是平行四边形，DE=OA=1,BC