2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛八年级决赛试题（含答案）

2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛

（初二组）决赛试题

（考试时间：120分钟满分：140分）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.若实数"，力满足=1一力，则（）

A.a,方都是有理数B.a的结果必定为无理数

C.。，“都是无理数D.a的结果可能为有理数

2.小霞同学定义了两种新运算：O（x）=x+1,R（x）=x-2（工为实数），例如：D（2|=2+l=3,

/?(3)=3-2=l.若。为实数,则下列运算正确的是()

A2D(a)=R(2a)B.2/?(D(a))=/?(D(2a))

C./?(2D|a))=2D(/?|a))D.R(D[2a]]D(R\2a])

XyyzZX

3.已知等式]——7；----；——1——；+：-------n-----r=1成立，则x,y,z中可能为0的数有几个

(z+jr)(z+/)(1+川工+z)Iv+x)(y+z|

?()

A.0,1B.0,1,2C.1D.0

4.柯桥区某学校开设了5个课程，分别为LS.S,,L55,有小B、C、。、E共5人一起

去报名STE.4M课程，每人至少报一个课程.已知4、C、D、E分别报名了4、3、3、2个课程，而

$，S2,S3,§4四个课程中在这5人中分别有1、2、2、3人报名，则这5人中报名参加&课程人数有

（）

A.5人B.4人C.3人D.6人

5.如图，.46C为等腰直角三角形，£ACB=90c.若N/08=J5°,则0.4、OB、OC之间满足（

）

CB

第1页/共4页

A.0/+08：=0C：B.0A:i0B:=10C:

C.0A?+OB'OA，0B=20C'D.0『+0BL"0「0B:20C2

6.如图，在/BC中，N/C8二90',』C=8C,CO是IBC的角平分线.过点0的直线交线段

CB于点D,交线段CJ的延长线于点£,作OG10£,交8c的延长线于点G,交线段C4于在

满足以上条件的情况下将。£绕点。旋转，旋转过程中以下保持定值的有()个.

①C£・CG；②乙4FO+NOD8；③四边形(下。0的面积；④4，”〉-$“,，

A.B.2C.D.4

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

7.警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是8()米/分，到达11顶后再下山，下山的速度是上山速度的3

倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是

8.已知［N=x卜］(卜］表示不超过工的最大整数)，设方程'-2014."卬的两个不同实数解为

aVz\zu

XpX：,则2015?x(X［+.q)=.

9.如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数疝(cw，/),满足？(a・b)=c・d,则称这个四位数

为“倍差等和数”.例如：四位数5171,・・・7工1,2x(5・l)"+I,.・.5171是“倍差等和数”；又如:

四位数6321,・・・2x(6-3)=2+1,「.6321不是“倍差等和数”.最大的“倍差等和数”为,将

“倍差等和数”W二而"的个位数字去掉后得到•个三位数，该三位数和A/的个位数字之差能7整除，

令G(A7)=d-〃一〃'+/),若八为整数，则满足条件的数A/的最小值为

10.在.48C中，48二10,8c=6,」C=8,点。在线段8c上从点。向点8移动，同时，点£在

线段,48上由点力向点8移动，当点。与点8重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接.40,

CE,则』。♦CE的最小值为.

第2页/共4页

c

D

AEB

三、(本大题20分)

a2b'<，+8)’ab

11.由浅入深是学习数学的重要方法.已知权方和不等式为，+匚25——L,当且仅当一二一时，等号

xyx+yxy

成立.那么：若正整数Lz满足=求:+—一的最小值.

2."4二.v+2y

四、(本大题满分25分)

12.如图1,在四边形/8CO中，=0C.//DC=9O\△四C是等边三角形，点E是直线48上(异

于点入B)的动点，点£绕着点。逆时针旋转90°至点”处，连接CF.

(1)£DAB=.

(2)当点£线段,48上时，如图2,连接

①求证：/E=CF；

②在线段,48上一定存在一个定点〃，满足"：-〃>=(JT//8+4£「，请说明理由.

(3)当点£在直线,48上时，②中的结论还成立吗？说明理由.

五、

13.在R1A/8C中，，4C=8C,/.ACB=90°,以8c为斜边作RsE8C,£BEC=90°,再将AE绕

点B逆时针旋转90c得到〃；，连接EF分别交8C,,48于点G,点。.

第3页/共4页

EE

C

⑴如图1,BEC在8c右侧,NE8C=30°,』C=2,求A8FG面积；

(2)如图2,BEC在8c右侧，点。是,48中点，求证：D£=瓜E+DF；

(3)如图3,8EC在8c左侧，FE的延长线过48的中点Z),当点石在80的中垂线上时，CE交AB

s4月r//

于点〃，直接写出三一的值.

八BDF

第4页/共4页

2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛

(初二组)决赛试题

(考试时间：120分钟满分：140分)

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1.若实数"，力满足=1一力，则()

A.a,方都是有理数B.a的结果必定为无理数

C.。，“都是无理数D.a的结果可能为有理数

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键.

根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可.

【详解】解：A、当a=2时，b="百-2=-\-6。是有理数，3是无理数，故A错误；

B、当a=b=L2那么。・b=0,所以B错误；

22

C、当a=2时，=是有理数，故选项C错误；

D、当a=b=L-4那么。=所以选项正确，D正确.

22

故选:D.

2.小霞同学定义了两种新运算：D(.r)=x+1,&(x)=x-2(工为实数)，例如：D(2)=2+l=3,

/?(3)=3-2=l.若。为实数，则下列运算正确的是()

A.2D(a)=R(2a]B,2R(D[a])=R(D\2a])

C.R(2D\a]]=2D(R\a])D./?(D(2a))=D(/?(2a))

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键.按照新定义得运算方法化简各选项进行

比较即可.

第1页/共21页

【详解】解：A、2D(a)=2(j41)=2a+2t/?(2o)=2o-2,故A错误，

B、2/?(D|i/||=2^(cr+l|=2(a+l-2|=2a-2,/?(D|2a))=^(2a+l)=2o+l-2=2o-l,

故B错误，

C、/?(2D|>||=/?(2a+2)=2fl,2D(^(a))=2D(a-2)=2x(-2+1)=2a-2,

故C错误

D、R(D[2a\]=R(2a+\\=2a-\,D[R[2a]]=D\2a-2\=2a-l,

故D正确

故选：D.

xyyzzx

工已知等式问W向布二I"成立,则尤yz中可能为。的数有几个

?()

A.O,IB.0,1,2C.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】去分母可得KW"H+yz(y+z)+zx(z")=(x+y)(y+R(*x),展开可得出2p:=0即

可得出结论：

【详解】解：•・"+F,x+二，y+2均不为0,

・•*,y,z中不会有2个以上为()，

又1•原式去分母得：xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=(x+j)(y+z)(z+x)

.•」炉=0,

・・・x,y,Z中至少有一个为0,即X,y,Z中恰有一个数为0

故答案选：C

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.柯桥区某学校开设了5个STTIM课程，分别为％5:,S,,LS,,有小B、C、。、E共5人一起

去报名课程，每人至少报一个课程.已知从C、D、E分别报名了4、3、3、2个课程，而

S\，S2,S3,§4四个课程中在这5人中分别有1、2、2、3人报名，则这5人中报名参加课程人数有

()

第2页/共21页

A.5人B.4人C.3人D.6人

【答案】A

【解析】

【分析】本题考杳频数与总数，总报名人数与总课程数关系相等，掌握频数与总数，总报名人数与总课程

数关系相等是解题关键.

8、C、。、£报名课程总数12个，，、'、S』四个课程总数8个，力至少报一个课程，这5人

中报名参加S4课程的人数12+18计算即可.

【详解】解：・・・8、C、。、£分别报名了4、3、3、2个课程，

.*.4+3+3+2=12

・.・Si、S［、'、四个课程中在这5人中分别有1、2、2、3人报名，

・・.1+2,2+3=8个,

又;•每人至少报一个课程.

・•“至少报一个课程，

.\l2H-8=5,

・••这5人中报名参加S、课程的人数有5个人.

故选:A.

5.如图，ABC等腰直角三角形，N/C8=90°.若N.4O8=45°,则0.4、08、OC之间满足（

）

A.04：+08：=0C：B.0r+08'=20C’

C.0A:+OB：・0AOB=20C：D.0A:i0B:iy/10.4OB=10C:

【答案】D

【解析】

【分析】设。，4=o,OB=b.OC=c,然后将小6,c集中到一个直角三角形中，将AOC8绕点c逆时针

第3页/共21页

旋转90°得到AO'/C,连接。O',过点。作07/10.4交0.4延长线于点儿可得AOCO'是等腰直角

三角形，证明A///0'是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题.

【详解】解：，如图，将AOCB绕点C逆时针旋转90c得到A0'.4C,连接过点。作07/10.4交

0.4延长线于点〃，

由旋转的性质得：LOCB^LO^C,

/.£CO'A=£COB，0C=OC=「0】二0八6,

v/.O'CO=90。，

.,.△O'CO是等腰直角三角形，

・•,00二百，

,"O'OC=45°，

：.LO'()A二45°・//OC=2B0C，

：.£0'0A=NCO］，

vN/O'C♦NOO'4=45。，

/.O'OAi/.00A=45°>

LO,AH=/0'0h/00'』=45。，

・•・0'H1OA，

:sAHO是等腰直角三角形，

O'H=AH=正。"二©，

22

在RSOOT/中，OH=OA^AH=a^

根据勾股定理得：07T+0/T=00”，

第4页/共21页

整理得/一，二

••也：♦0卜+"0.4•0B=20C\

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解

决本题的关键是利用旋转的性质将，构造直角三角形灵活运用勾股定理是解题的关键.

6.如图，在.48C中，£ACB=90°,AC=BC,CO是的角平分线.过点。的直线交线段

C8于点。，交线段CJ的延长线于点£,作OG1DE,交8c的延长线于点G,交线段C/于”.在

满足以上条件的情况下将。E绕点。旋转，旋转过程中以下保持定值的有（）个.

①C£・CG；②N.4FO+NOD8；③四边形CFO0的面积；④4。一_S

A.B.2C.D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角

形的判定与性质.

根据等腰直角三角形的性质和OG1OE证明AGOB丝AEOC（ASA）,得到£0=G0,ZG=ZE,从

而得到aE，。与AGCO（AAS|,可推出二CG,再根据线段的和差即可判断①；由AEJOTAGCO可

推出NGOC=NOO8,由//F0=90°・/。08,/0。8=135°・/。08,可得

/1FO+/OD8=225°・2/。08,可判断②；可证明△。尸0g48。。（ASA）,得到S“w=S,典），由

=

S四由他CFCC=S式下。+S4cOD=S/BDC+，可判断③；由A£」0段AGCO,得S40cQ,

=

根据S.OCG4Sjoe+SAFAC"S."c=4sA,or+3S.”「（，，可判断④.

第5页/共21页

【详解】解：・・・/“8=90°,"=8C,CO是ABC角平分线，

.\CO1AB,AO=COBO,2GB0=2EC0,

••YGOB=ZGOC+ZCOB=WG0C,ZEOC=ZGOC+ZGOE,且OG1OE,

/.ZEOC=90°+ZGOC,

丁•/G08=ZEOC,

-CO=BO,ZGOB=ZEOC,ZGBO;£ECO,

.,.△GO8%£OC(ASAj,

-EO=GO,ZG=NE,/£4O=/GCO,

.\AEJO^AGCO(AAS|,

/..4E=CG,

又・・・CE=CA+AE=CA*CG,

AC£-CG=C/,CA是确定的，

AC£-CG是定值，故①正确；

LENO—GCO,

；"EOhZGOC,

又・・・/£O4=ZDOB,

•••/GOC=£DOB,

=90°・/GOC=900-ZDOB,

/0。8=180°・/DOS・18=18”・/。08・45°=135°・/DOB,

；・£AFO+20DB=2250・2/DO8,

-"DOB随。E的旋转而改变，

.•./4FO+NOOB不是定值，故②错误：

•.•//CO=ZC8O,CO=BO,£COF=2B0D,

/.ACFO^A^DOIASA|,

==

••S*出M),且S四近枇QDS式F(>+SEm=S48D0+S.COD=S"OB>

是定值，

•••四边形CF。。的面积是定值，故③正确;

•••LEAO^^GCO,

第6页/共21页

,・,%q£<)-—LQaw，

4SaOC£一S&0cG=4(S4.40c+Sqo)-S»OCG4s▲.“丈+3S”

•••£（”〃随DE的旋转而改变，

•••4Sc-S“z,不是定值，故④错误：

•二保持定值的有①@.

故选:B.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

7.警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达上顶后再下山，下山的速度是上山速度的3

倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是

【答案】120米/分

【解析】

【分析】本题考查了分式乘法的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上山的路程为S,则

上、下山的总路程为2S,可逐步求得上下山的总时间，最后利用平均速度等于上、下山的总路程除以总时

间，计算即得答案.

【详解】解：设上山的路程为，

_2S_=_2£=25X240=120

则由题意得，平均速度为s十s一不"一'不（米/分），

803x80240

故答案为：120米/分.

8.已知=主口］（卜］表示不超过x的最大整数），设方程’-2O14.T=H的两个不同实数解为

/V/\z。

xPx2,则2015?x（x+4）=.

【解析】

【分析】由题意可知｛主｝表示主的小数部分，则04根据题意可得分类讨论，将

原方程化简，求得L，4进而进行计算即可.

【详解】由题意得，04"｝<1,

I

o<—<1,-20l4x=

20052005国

第7页/共21页

・•.2014x=———{."

2005

-1<-------{x}

2005

即・1<2014K<1,

11

-<x<，

20142014

当!—<工<。时,

2014

(x|=x-(-1)=I+

原方程为1,1-2014x=x+1»

2005

即2015M=-卫纥

2005

_2004

A，~~2005x2015*

当04<x<------时,

2014

Ij|=x-|x]=x-0

...原方程为।--------2014.v=V，

2005

1

即2015工

=2005'

1

2005x2015

20041

/.2O152x(K[+x)=2015:x(-

22005x2015^2005x2015)

—春

2015x2003

2005

807209

401

807209

故答案为：---------.

401

【点睛】本题考查了新定义下的方程的计算，不等式的性质，实数的小数部分与整数部分，根据题意分析

出l<2014i<I,再分类讨论以及正确的计算是解题的关犍.

9.如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数〃仪"(cwd),满足2(。(・d,则称这个四位数

第8页/共21页

为“倍差等和数”.例如:四位数差71,・・・7工1,2x(5-l)"+l,「.5171是“倍差等和数”；又如:

四位数6321,・・・2x(6-3)=2+1,「.6321不是“倍差等和数”.最大的“倍差等和数”为,将

“倍差等和数”M=777的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和"的个位数字之差能7整除，

,,12

令G(A/)=c若GK(wM)、为整数，则满足条件的数M的最小值为.

【答案】①.9731②.5331

【解析】

【分析】本题考查因式分解的应用，整式的乘法运算，根据题意找出数量关系，当“倍差等和数”为最大

时，最高数位只能为，分析讨论即可的结论；若」.yr为整数，根据已知条件分析讨论即可.

G(.W)

【详解】解：当“倍差等和数”为最大时,

则最高位上9，

设=8则c+d=2(a-/>)=2,

舍去，

此时设6=7.则c+J=4,

则c=3，1=1时最大，

此时四位数为9731；

=1或2或或4或6或]2,

v2(a-/>)=c+J»

G[M]=c2-a-d2b=c2-d2-b)=(c+(/)(c-</)-((j-A)=(2c-2(/-l)(a-/>),

•・・2c-2d-l为奇数，

:.G(何)是偶数，排除、两种可能，

①当G(A/)=2时，a-/>=l,2c-2(/-l=2>

第9页/共21页

・・.c+d=2(d-4=2,=c=l,不合题意舍去，

②当G(A1)=4时，若。・b=2,2c-2(/-l=l,

则cid=4»c-(/=I»c=—(不合题意舍去)，

2

③G(A/)=6时，若a・b=l，2c-2d・l=3,

则c+d=2,c-J=2»

：•c=2,d=0,不合题意含去，

若。=2c-2(/-l=l.

则c+d=6,c-(/=I»

.­.c=-,不合题意舍去，

2

④当G(A/)=12时，

若a-b=2,2c-2d-1=3,

则c+d=4,c-d=2>c=3,d=1,

若a-b=6，2c-2d-l=l则c+(/=12，c-(/=I»c=—(不合题意舍去),

2

综上所述、d只有一种可能即。=3，d=1，

此时A-/>=2»

设。=3,/>=1此时obr-d=3l3・l=3l2,不能被7整除舍去，

设0=4,/)=2此时abc-d=423-1=422不能被7整除舍去，

设。=5，6=3.此时ak・d=533・1=532，

・•・532:7:76,能被7整除，

・•・〃的最小值为:5331，

故答案为：9731,5331.

10.在qBC中，AB=10,BC=6,」C=8,点。在线段8c上从点。向点8移动，同时，点七在

线段,48上由点力向点B移动，当点。与点4重合时运动停止，已知它们运动速度相同，连接,40，

CE,则』。♦C£的最小值为.

第10页/共21页

c

D

326

【答案】

-5-

【解析】

【分析】由题意可知，.48C为直角三角形，则/“8=90°，作CF_L.48交,48于尸，作

2BCH=28.4C,并使得C"=.4C«8,过点A作4G1HC交HC延长线于点G,连接/〃，利用互余可

证得/8CH=ZBAC-BCF,£ACF=Z.4CG,进而证明A，C"AIAASI,得CG=CF,

.46=AF,利用S/=；4C8C=J，4B・“，可得CT=CG==,由勾股定理可得4G="=条

可知G//=CG+C77=],即可求得="=+G』=9叵,由题意可知CO=4£,进而可证

55

A.iCE^ACHD.SAS.,得C£=DH,由40+CE=40+0，24H=1^,当点。在上时，

5

取等号，即可求解.

【详解】解：•・•・•=10,5C=6,AC=8,则18：=8C'+.”：，

・•・48C为直角三角形，则/〃8:90,,

作CF1AB文.ABTF，作N8C”=ZB.4C,并使得CH=4C=8,过点A作4G1HC交〃C延长线丁点

G,连接[〃，则ZG=Z"C=90。，£BAC*/.ACF=90c,

VZ.4CF+2BCF=90°,

；・2BCH=ZBJC=ABCF,

又,：ZACB=90°,

AZJCG+2BCH=90°，

：-LACF=NJCG，

VJC=AC，

第11页/共21页

.・.△"F,A"G|A'

：.CG=CF,.46=AF,

又•:Sm=C尸，

---------?22464

则4G=/f=>7t/。・-/尸・=—,G//=CG+C//=—+8=—

555

:"H=>IAG2+GH2=，

5

•・•点。，点E运动速度相同,

"。二』E，

乂〈ZBCH=Z8/C,CH=AC

：.ACHO'SASi,

・・・C£=DH，

・J0+CE=40+。，2.4,=仝二，当点。在力〃上时，取等号，

5

•RO.CE的最小值为：32—.

5

【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，添

加辅助线构造AdCE丝ACHD，得C£=0H，将,40♦C£转化为2是解决问题的关键.

三、（本大题20分）

11.由浅入深是学习数学的重要方法.已知权方和不等式为《+生+,当且仅当凹=2时，等号

xyx+yxy

成立.那么：若正整数、，F，z满足I+3Y+2:=1，求x+2>+」_的最小值.

2y+4zx+2y

【答案】7

【解析】

12r4-2v4

【分析】根据题意得出当且仅当一：—=—^―时，J+—^―取最小值

2y+41x+2y2y+4zx+2y

-------+---------根据一!—二」一得出4「+8:=X+2―根据1+3『+2:=1得出

（2”甸（工+2»+工+2P2y+4zx+2y

第12页/共21页

2：=l-i-3v,将其分别代入"+8:="2「和2.14:,即可进行解答.

..1+2,,4(x+2y)2.22

【详解】解:

2y+4二x+2y(2y+4z)(x+2y)x+2y

.x+2y4、(,r+2y+2)*

»•*-2

2y+4zx+2y(2y+4z((x+2v)+x+2y

t+2y2,r+2v4

当且仅当c「J)1二F一时，等号成立，;一"L+-「取最小值;

(2y+4z)(.r+2.F)x+2y2y+4z.v+2y

I2

即:;-----=—「时，等号成立;

2y+4zx+2y

.0.4j+8:=ii2y@，

•・」+3<v+2:=1,

A2:=I-x-3r0,

把②代入①得：4y+4(l-x-3j)=x+2.),

整理得：5x+10r=4,则工+2「二一；

.5

42

把②代入1+4:得：2y+4z=2y+2(l-x-3y)=-2(K+2F)+2=-2x—+2=一,

55

・(工+2y+2『、.+2)

(2^+4z)(x+2y)+x+2y2^44

555

r+2V4

即；一~h+——的最小值为7.

2y+4zx+2y

【点睛】本题主要考查了整式混合运算，以及分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，理解题中权

方和不等式成立的条件.

四、（本大题满分25分）

12.如图1,在四边形48CO中，。4=0。.//。。=90'/^四。是等边三角形，点£是直线48上（异

于点人B）的动点，点E绕着点。逆时针旋转90°至点”处，连接CF.

第13页/共21页

图1图2备用图

（1）2DAB=.

（2）当点E在线段48上时，如图2,连接』F.

①求证：』£=CF；

②在线段,48上一定存在一个定点〃，满足』尸-〃>JT//8+,请说明理由.

（3）当点£在直线,48上时，②中的结论还成立吗？说明理由.

【答案】（1）1出

（2）①见解析；②见解析

（3）不一定成立，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据等腰直角三角形与等边三角形的性质即可求解；

（2）①由旋转的性质得到。£=DF.//D£=/CDF,结合D4=DC,证明A/EOqACFO（SAS|,

即可得出结论：②延长代交于点儿由三角形全等的性质及等腰三角形、等边三角形的性质得到

All=IIB,利用勾股定理即可证明；

（3）分当点E在射线,48上时，点E在射线84上，点尸在48C内部时，点后在射线8』上，点尸在

外部时，三种情况，依照（2）中②的证明过程证明即可.

【小问1详解】

解：•・・。力=。仁/C=90V\48C是等边三角形，

/.JLDAC=ZDCA=-(180°-Z^DC)=45°,£ABC=N8C4=ZC4fi=60。,

：.LbAB=ND"+/门8=105°,

故答案为：105；

【小问2详解】

①证明：由旋转的性质得到DE=DF,

第14页/共21页

-LADE+ZCDE=ZCDF♦ZCD£=90°,

MADE=ZCDF,

在△AED与△CFD中，

DA=DC

ZADE=NCDF,

DE=DF

.\AJ£D^ACFD(SAS|,

•,•4£=CF；

②解：如图1,延长尺,交AB于点H,

图1

vtDAE星&DCF,

ZDCF"DAE=105°,

vZ.4DC=9”./H=DC,

：.ZDC.4=45°,

；.ZFC^=150°,

ZACH=30°,

•••/8C是等边三角形，

ZCAB=60°,

：.IAHC=90。，

/.AH;HB,

在RtZkCHB中，CH=JT//6,

在R44//F中，〃：-」//：=FH'，

AF2-HB2=(FC+CH)2=(后总+4£)1

【小问3详解】

第15页/共21页

解：不一定成立，理由如下:

如图2,当点正在射线,48上时，

同理得：AF:-HB:=iAE\\

如图3,点£在射线8/f上，点「在.48C内部时,

同理得：4户-TE『；

如图4,点石在射线84上，点尸在.48C外部时,

同理得：AF:-HB:-[AE-.

【点睛】本题考查了三角形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的

性质，勾股定理，旋转的性质，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键.

第16页/共21页

五、

13.在RtA/8C中，』C=BC,£ACB=90°,以8c为斜边作RhEBC,ZBEC=90°,再将〃「绕

点B逆时针旋转90。得到/声，连接EF分别交8C,,48于点G,点。.

(1)如图1,8EC在8c右侧，/£8c=30°,.4c=2,求ABFG的面积；

(2)如图2,8EC在8c右侧，点。是,48的中点，求证：DE=®E+DF；

(3)如图3,8EC在8C左侧.FE的延长线过.48的中点。，当点2在8。的中垂线上时，CE交AB

于点从直接写出差工的值.

9-3x/3

【答案】(1)—广一

4

(2)见解析(3)4-271

【解析】

【分析】(1)根据题意求出C£、8E的长度，证明A8EF是等腰直角三角形，求出AEBF的面积，证明

S>13

ACEGS/FG,从而有肾@=.,根据比例即可求出ABFG的面积；

,ABFG，

(2)在OE上截取DM=DF,连接,CM,先证明△ADM空△8DF,再证明ACJMtAC8£,

通过证明△MCE是等腰直角三角形，得到=J=CE,从而证明题目结论；

(3)在DE上截取DM=DF,连接AM,CM,先证明ACEN是等腰直角三角形，再证明

Rls/CNtR【A8CE,从而有ADN噤BDF,得