2026年高考考前预测卷-数学（全国一卷02）全解全析

2026年高考考前预测卷

数学•全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若复数z满足幺"=3+3则z=（）

Z

A.14-iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】A

【解析】解：由卓虫=3+3两边同乘z得2（z+i）=（3+i）z,

展开左边并整理含z的项：2z+2i=3z+iz,则=

两边同除以一l-i,得2=三三，

-2t（-l+i）2i-2i22i+22+2iY,.

Z=（_i）（_i+i）=（_］）2T2=77T=—=1+t，

故选A.

2.已知集合M={x|-|vxwi},N={x\2xeZ},则MnN=（）

A.{。1}B•{一是}C{一表19D.{-3，。彳,1}

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

由已知利用交集的定义得到结果即可.

【解答】

解：♦.♦集合M={x|-：VxW1},N={x\2xEZ},

••.MnN={W，oJ,i}

故选D.

3.已知点P在双曲线。:5一1（。>0,b>0）±,且点。到。的两条渐近线的距离之积等于?，则。的离心

率为（）

A.3B.2C.D.V-2

【答案】D

【解析】解：设点P(&,%),则y02二产厚-a\

双曲线的渐近线方程为、=±3刈^bx±ay=O,

222

I,222b(XQ^a)\

由题意得：Ibxo+ayoMo-ayol_彳。|_a^2=a2

b£+a£­c，-c"-2

所以与=可=1则

c2c22c22

•••双曲线。的离心率为e=£=<2.

故选：D.

4.将函数/■(>)=cos3X+>0)的图象向左平移9个单位长度后与函数g(x)=sin(3X)的图象重合，则3

63

的最小值为()

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【解析】解：将函数/(%)=COS(3X+?)(3>0)的图象向左平移5个单位长度后可得:

o3

r,7T巩,conn

y=cos[a)(x+-)+-]=cos(a)x+—+-)

=sin(cox+詈+看+/)=sin(a)x十詈十争，

因为y=sin(a)x+早+当与函数g(x)=sin(sr)的图象重合，

3TT127r„

•••—H-----2okn,keZ,

33

解得3=6k-2,kez,

乂3>0,.•.当k=1时，3取得最小值为4.

故选:A.

5.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且满足了(X+2)+/(%)=0.当xW[-2,0]时，/(x)=-x2-2x,则

当[4,6]时，f(x)的最大值为()

A.2B.1C.-1D.0

【答案】D

【解析】解:由题意知f(2+》)+/(%)=0,即f(2+解=一/(外,

则/Q+4)=/[(%+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

所以函数/'(%)是以4为周期的周期函数，

又当不£[-2,0]时，/(x)=-x2-2x,且f(x)是定义在R上的奇函数，

二当xG[0,2]时，/(x)=x2—2x,

二当x6[4,6]时，X-4G[0,2],

所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2-2(x-4)=x2-10x+24=(x-5)2-1.

所以当x=4或6时，函数/(%)的最大值为0.

故选：0.

6.冰球运动是•种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动.在冰球运动中冰球运动

员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小华同学在练习冰球的过程中，以力

F=(sina.cosa)，aeR,作用于冰球，使冰球从点处1,2)移动到点8(4,6),则力了对冰球所做的功的最大值

为()(动力做的功W=F•AB)

A.\T5B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】解：因为4(1,2),8(4,6),所以而=(3,4)，

又F=(sina,cosa)，

故力户对冰球所做的功为W=F-AB=3sina+4cosa=5sin(a+<p)，其中tans=%

所以，当sin(a+O)=1时，力尸对冰球所做的功的最大值为5,

故选D.

7.若圆。:(工-1)2+6/+3)2=1二存在两点力，B,直线，:3%-4丫+爪=0上存在点p，使得乙4户8=60。,

则实数m的取值范围为()

A.[—25,-5]B.(-8,-25]U[—5,+8)

C.[-35,5]D.(-8,-35]U[5,+oo)

【答案】A

【解析】解：圆C的圆心为C(l,一3),半径r=l,

若点P到圆心C的距熟为d,则圆C上存在两点4、8使〃PB=60。的充要条件是dW2r=2,

即直线I上存在点P满足|PC|42,等价于圆心C到直线，的距离小于等于2,

|3xl-4x(-3)+?n|_|m+15|

由点到直线的距离公式得:盛=Q32+(-4)L——5-,

由％<2得|m+15|<10,解得一25<?n<-5.

故迄A.

8.已知1+2"=3'-1=52-2,则下列不等关系一定不成立的是()

A.x>y>zy>x>zC.x>z>yD.y>z>x

【答案】C

【解析】解：由题意得，2+2*=3y=5z—l,令2+2*=3丁=52-1=3t>2,

方法一：函数/(外=2+2七9。)=3。/1。)=5X-1的图象与直线丫=£交点的横坐标分别为心y,

由图象可知，x>y>z,y>x>z,y>z>x都可能成立,

x>z>y一定不成立;

方法二：由已知可得%=log2a—2),y=log3t»z=log5(t+1),t>2,

令/(£)=x-y=log2(t-2)-log3t,

1]_tln3-(t-2)ln2_t(ln3-ln2)+2ln2

f(0=(t-2)in2tln3-t(t-2)ln21n3-C(t-2)ln21n3>0,

所以/«)在区间(2,+8)上单调递增，

令g(t)=y-z,h(t)=x-z,同理g(t),九(£)在区间(2,+8)上都单调递增,

因为9(2)=log32-logs3=log32+logs3

=log32-log333+log553-log53=log3V8-log3V9+log5V25-log5V27<0»

g(3)=1-log54>0,

所以存在06(2,3),使得g(q)=0,

则CG(2,0)时,g(t)=y-z<0,te(t1(+8)时，g(£)=y-z>0;

显然力(4)=0,则£€(2,4)时,九(£)=x-z<0,tE(4,+8)时，h(t)=x-z>0;

因为/(4)=1-log34<0,f(6)=2-log36=log39—log36>0,

所以存在立G(4,6),使得/1(J)=0，

则te(2,t2)时，f(t)=x—yV0,t€(t2+8)时,f(t)=x-y>0,

综上，tw(2,时，时，%Vy=z;t£(0,4)时,x<z<y;

t=4时，％=z<y;t£(4,今)时，z<x<y,t=匕时，z<x=y;tE(t2,+8)时，z<y<x\

所以C不可能成立.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在直三棱柱48。一4当6中，AB=AC=AAX=2,48_LAC,点尸，Q,M,N分别是8名，CC^

A.P,Q,M,N四点共面

B.线段BQ为直三楂柱ABC-外接球的直径

C.三棱锥P-&QN的体积为|

D.异面直线MN与4c所成角为g

6

【答案】BC

【解析】解：对于4、因为P，Q,NC平面BCGBi，MC平面8CGB1，

故P,Q,M,N四点不共面，A错误；

对于8、直三棱柱力8c—4BiG的外接球，相当于以4B,AC,A4为棱的长方体的外接球，

长方体的体对角线就是外接球的宜径，

所以线段BG为直三棱柱力-481cl外接球的直径，B正确；

对于C、易得儿到平面8CGBi的距离为。,

Vp-A1QN~匕1-PQN=9X3X2\/~~2X1X\Z~"2=C正确；

对于0、连接MQ,NQ,MN,则MQ〃/1C,

所以4/VMQ就是异面直线MN与力C所成的角，

MQ=2,NQ=J12+(°)2=门,MN=JM+(「了二口,

则cos乙NMQ=M"+MQ2_QN2==

«2MNMQ2X/3X232

所以异面直线MN与力。所成角不是g,D错误；

O

故选BC.

1().已知。为坐标原点，点4(1,1)在抛物线C:%2=2py(p>0)上，过点8(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()

A.C的准线为y=-1B.直线力8与。相切

C.\0P\•\0Q\>\0A\2D.\BP\­\BQ\>\BA\2

【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查J'抛物线的方程，性质，直线与抛物线的位置关系，属较难题.

先求出抛物线的方程，然后再对选项ABCD一一进行分析判断即可得.

【解答】

解：点力(1,1)在抛物线C:/=2py(p>0)上，

即1=2p==丫，所以准线为y=-：,所以4错；

直线=2%-1代入/=y,

得：%2-2%+1=0=>(%—I)2=0=>x=1,4=0,

所以48与C相切，故B正确.

由题知直线PQ的斜率一定存在，

则可设直线PQ：y=k%-1,P(Xi，yD，。(3,丫2)，

A=k2-4>0=^k<-2或k>2,

+x=k

此时2

X1X2=1

22

+丫2=*+埠=(x,4-x2)—2%)x2=k-2

71y2=*媛=1

\OP\-\OQ\=J(诏+%2)(坟+讨)=J(%+资)(及+光)

=《(％月)2+。1乃)(%+%)+力>2

=《2+(H-2)=y/~k2>2=|0川2,故C正确;

2

\BP\•\BQ\=J1+/氏-0|7l+k\x2-0|

=(1+fc2)|%i^2l=(1+k?)>5=出川2,故D正确.

11.在△/AC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b（2cos/+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=28

B.罟a=Gb,则△ABC为直角三角形

。若为锐角三角形，漓一高的最小值为1

D.若△48C为锐角三角形，则£的取值范围为（?,守）

ClNS

【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查利用正弦定理解三角形、判断三角形形状、两角和差正弦、正切公式、对勾函数性质，属于拔高

题.

利用正弦定理、三角恒等变换公式和三角函数性质逐个判断即可.

【解答】

解:

对干ABC中，由正弦定理得sinC=2s\nBcosA+sinB,

由sinC=sin（/4+B）,

得sinAcosB-cosAsinB=sinB,

即sin（4一B）=sin/?,

由0<4,B<n,

则sinB>0,

故0V4一8<TT,

所以力-B=8或力—B+B=Jr,

即4=28或A=7r（含去），

即H=2B,A正确；

对于8,

结合4=2B和正弦定理知，-=9=，-

sinAsin2BsinB

可得cosB=g，

2

又。V4,B<n,

故A=2B=p6=p

BB确;

对于C,在锐角△48C中，0<A=2B<^,0<C=n-3B

即V，^<tan5<l.

643

111l-tan25l+tan2B、4

tanFtanAtanH2tanB2tan8

cC误;

对JD,

在锐角△ABC中，由三<8VI—<cosB<—.

6422

贝t.i.i卜C=s-in-C-=-s-in-3-B-=-si-n-2-B-c-os-B-+-c-o-s-2-9-si-n-B=2-cosrB»-----1--.

asin/1sin2Bsin2B2cosB

由函数单调性知，亨），D正确；

故选ABD.

第二部分（非选择题共92分）

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线y=kx+1与曲线/(%)=-4-1相切，则实数k的值为____

X

【答案】-

【解析】解：直线y=kx+1过定点(0,1),

ex(x-l)，设直线与曲线的切点坐标为(与芸+1)，

f(x)=

eXQ

则A=石=小。)=£^2,

xo-O4O

则々=2,

故答案为：针.

4

13.设等差数列｛册｝的前n项和为.立•4工0,％+。5=%2,则迎=____

口20

【答案】T

4

【解析】【分析】

本趣考查等差数列的通项公式和前几项和公式，解题时要认真审题，是基础题.

10X9.

利用等差数列的通项公式求出d=%,再利用等差数列的前n项即公式得且="匕±二%，代入即可得

a2o的+19d2Qd

解.

【解答】解：设等差数列｛册｝的公差为心

Q]H0,Q]+Cig—3。2，

•••2al+4d=3a+d),解得d=%,

10x9

则包=10%+二d=55d=11,

a20a1+l9d20d4

故答案为二.

4

14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m为前

两次取出的球上数字的平均值，九为取出的三个球上数字的平均值，则m与几差的绝对值不超过;的概率

是,

【答案】飞

【解析】【分析】

根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为a,4第三个球的号码为c,则a+b-342cWa+b+3,

就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【解答】

解：从6个不同的球中不放I可地抽取3次，共有或=120种，

设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则件竽

故12c—(Q+b)|<3,故一3<2c—(a+b)<3»

故a+b-3W2cWa+b+3,

若c=l,则a+145,则(a,b)为：(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,Ml<a+b<7,则(a,b)为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3则3=a+bW9,则(a,b)为:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种，

当c=4,则5Wa+b411,同理有16种,

当c=5,则7=a+bT13,同理有10种,

当c=6,则9Wa+bW15,同理有2种，

共m与n的差的绝对值不超过；时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为黑="

JLAD

故答案为：高

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品

的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)中机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

_n(ad-bc)2

~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PQ2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件,

因为甲的一■级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为（3分）

ZOO4

因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为黑=去（6分）

，UUD

nCad-bc)2

（2）根据2x2列联表，可得片2=（9分）

(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)

400(150X80-50X120)2.c八、

----------------«10n.256>6t.635.(]3分)

Z7UX13UXZUUXZUU

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

16.[本小题15分）设｛曲｝是首项为1的等比数列，数列｛%｝满足%=等.已知即,,9a3成等差数列.

（1）求｛%｝和｛%｝的通项公式;

（2）记％和7；分别为｛册｝和｛b｝的前几项和.证明：小吟.

【答案】解：（I）：的,3a2，9a3成等差数列，6。2=%+9a?,

•••｛Qn｝是首项为1的等比数列，设其公比为生

则6q=1+9q2,q=[,（3分）

n1

斯=a1Q-=（J"-，（5分）

二几=等=入（》）。分）

（2）证明：由（1）知册=（：尸一】，4二〃♦（*'

,S“二iX：—单力=1_、><G）n—1,（9分）

3

7；=lx（l）1+2x（1）2+-.+n-（1r，①

亭=1Xg+2X（｝3+…+n.@n+i,②

①一②得，;Tn=^l-（;）nl-n（；）n+1,

,.F=："（y—-其旷，（13分）

•.•q_m=q_：xG）n-l_}C）n_E_：xG）n7］VO,

•*Tn<（15分）

17.〔本小题15分）在三棱柱。力B-Oi&Bi中，P,Q为的三等分点，侧面。8当01为正方形，。力1OB,

BP工001.

（I）证明：平面08位011平面。441。“

（II）证明:P01平面。叫。1；

（川）正方形。8%。1边长为3,0A=C，求直线OiQ与平面0/B所成角的正弦值.

【答案】解：（I）证明：因为侧面08旦01为正方形，所以BOL。。］，

而04_L08,0A,。。1u平面。力；I［。］,OAA001=0,

因此8。平面。441。1，而80u平面08丛。1，

所以平面088］。［J_平面。4410［.（3分）

（II）证明：因为80I。。1，BPI。。】，B0、82<=平面8「。，BOCBP=B,

所以0。］1平面BP。，而POu平面BPO,因此。OiJLPO.（5分）

由（I）知：平面。叫41平面。的。1，平面。Bbl。】C平面OA4i0i=。01，

而P。（=平面。44。1，OOilP。，因此P。1平面OBBi。—（7分）

（IH）由（H）知：。。，平面。84。1，而。8、。。1u平面。8&。1，因此POJ.OB、P0100lf

而B0_L00i，所以。8、。。1、0P两两垂直.（9分）

以0为坐标原点，。8、。。1、0P所在直线分别为小y、z轴，建立空间直角坐标系，如卜.图:

QAi

在三棱村。力8—。1力i当中，

因为正方形08当。1边长为3,0八=底，P、Q为44i的三等分点，

所以0(0,0,0)、8(3,0,0)、A(0,—1,1)、Q(0,1,1),01(0,3,0),

因此丽=(3,0,0)、OA=(0,-1,1)^O^Q=(0,-2,1)«

设平面OAB的法向量为五=(x,y,2),则由［史.弓二。得”

(OA•元=ov-y+z-u

取y=l得戈=0，z=1,因此尢=(0,1,1)是平面。/B的一个法向量.(12分)

设直线O1Q与平面048所成角为。

则sine=|cos<O^,n>|=|戚裔==答，

即宜线O】Q与平面0A8所成角的正弦值为票.(15分)

18/本小题17分)已知A,B分别是椭圆「：?+y2=1的左，右顶点,，动点T满足TA1TB,过T作TH1AB于H,

线段TH交椭圆「于点M,过A作AN1AT,交椭圆「于点N.

⑴设直线AN,BM的斜率分别为％,k2,求暑的值；

(2)求证：直线MN过定点；

(3)设线段MN的垂直平分线交椭圆「于P、Q两点，若MP1MQ,求MN的斜率.

【答案】解：(1)因为7\4JLTB,则|。7|=曰力引=2,

故点7的轨迹方程为/+y2=4(yH0),

设点M(2cos8,sin。),则丁(2cos6,2sin6)(0手kn,kRZ),

易知点4(-2,0),3(2,0),

因为「4178,AN1AT,所以以冰川=-1，(3分)

所脸=^=

kk2sg3sin。

ATBM

2cos6+22cos0-2

_4(1+COS0)(1-COS0)_4(1-COSZ0)_7

_2sin2Q_2sin2Q~；

所以?=拌=捍=黑=2；(5分)

由2kRMMH

(2)证明:设/V(x2,y2)>直线MN：x=my+n,

设直线8M：y=k(x-2),则为=kg-2),

直线AMy=2软为+2),则y2=2k(&+2),(7分)

易知k羊0,则2%(42+2)=—2),

由乎+另=i,得秃=_”半二1,

_x-

可得8yly2=Ci~2)(x22),

即(8+m2)yxy2+m(九一2)(y1+丫2)+("-2)2=0,①(9分)

将x=my+n代入?+y2=1,

有(爪24)y2+2mny+n2-4=0,

则比+力=一^，”2=W，

代入①式：得(8+m2)(n2—4)-2m(n-2)mn+(n-2)2(TT?2+4)=0,

解得九=2(舍去)，n=-p即直线MN过定点(一(0)；(11分)

(3)易知MN、PQ的斜率均存在，设MN中点为R(c,d),

设MN：y=t[(x-c)+d,设PQ：y=£2(%—c)+d,

将MN与椭圆方程联》：,

得(1+4仔)％2+(8(d—8tfc)x+(4tfc2-8Qcd+4d2-4)=0,

22

St,dSt^c4t?c-8t1cd+4d-4

则％+x=-XmXn=,(13分)

Ni+俏'

则|RM|•|RN|=V1+tf(xM-c),Vl+tf(c-XN)

=-（1+片）中舁

同理|RP|“RQ|=-(l+4)=*,

PQ为MN的中垂线，且PM1MQ,记PQCMN=R,

在R£"QM中，MR2=PR-QR,

MR•NR=PRQR,

•••四边形MPNQ四点共圆，且c2+4d2-4H0,

则揭=瑞，化简得许=左

又口12=-1，于是0=±1，即MN的斜率为±1.(17分)

19.(本小题17分)已知函数f(%)=xex4-asinx.

(1)当a=0时，求证：—>x+l；

(2)若/'(%)>0对xG(O,zr)恒成立，求a