2026年中考数学一轮复习：与圆有关的位置关系（知识梳理+专项训练）

【中考数学一轮复习】与圆有关的位置关系（知识梳理+专题训练）

专题34与圆有关的位置关系

知识梳理

1.点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为，•，点P到圆心的距离OP=d,则有：

①点P在圆外八

②点P在圆上od=r；

③点户在圆内

（2）符号读作”等价于。它表示从符号“o”的左端可以得到右端，从右端也可以得到

左端.

2.确定圆的条件

不在同一直线上的三点确定一个圆.

注意：这里的"三个点''不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上

的三个点不能画一个圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点

有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三

点能画且只能画一个圆.

3.三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

（2）外心：三角形外接［I的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

4.直线与圆的位置关系

（1）相离：一条直线和圆没有公共点.

（2）相切：一•条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，

唯一的公共点叫切点.

（3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割

线.

5.切线的性质和判定

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）切线长定理

切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切

线长。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平

分两条切线的夹角.

6.三角形的内切圆与内心

与三角形各边都相切的圆山三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，

这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

专题训练

一、选择题（共8小题）

1.如图，aABC内接于。。，BC是。O的直径，点P是病的中点，连接4P,若NBAP=30。,

BC=6,则AC的长为（）

A.4B.3C.3V3D.3.5

2.如图，AC切。。于点C,A8过点O,若NCA8=40。,则/AC8的度数是（)

A.100°B.105°C.110°D.115°

3.下列图形中，一定有外接圆的是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

4.如图，P4是。。的切线，A,3是切点，点C为。。上一点，若NAC8=7（）。，则NP

的度数为（)

A

A.70°B.50°C.40°D.20°

5.如图，A8是。。的直径，C、。是。。上的点，/CDB=25。,过点。作。。的切线交A8

的延长线于点£,则NE等于（）

A.40°B.50°C.60°D.30°

6.已知。O的半径为1,点P到圆心。的距离为d,若关于x的方程x2-2r+d=0没有实数

根，则点尸（）

A.在。O的内部B.在。O的外部

C.在。。上D.在。。上或在。。的内部

7.如图，/XABC是。。的内接三角形，A。是。。的直径，NABC=50。，则NCAD的度数为

8.若半径为6c777的。。与直线/没有公共点，则圆心0到直线/的距离可以是（）

A.7cmB.6c7〃C.5cmD.4cw

二、填空题（共8小题）

9.已知＜30的半径为6c〃z,点A到圆心。的距离为4.5cm,则点A在圆.（填“上，外

或内”）

10.如图，在△ABC中，乙4=64。，点/是内心，则N/=.

A

11.如图，点E是△ABC的内心，4E的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，与5c相交于

点G,则下列结论：®ZBAD=ZCAD,②若N54C=60。，则NBEC=120。；③BD=DE；

④若点G为BC的中点，则BG_LG。，其中一定正确的序号是.

12.在△ABC中，NABC=90。，A8=2,BC=3.点。为平面上一个动点，/AOB=45。，则

线段CO长度的最小值为.

13.如图，。。是△ABC的外接圆，ZBAO=24°f则/AC8=

14.如图，。。是△ABC的内切圆，N4=54。，则N50C=

15.如图，四边形A8CD是0。的外切四边形，且A3=9,CD=15,则四边形4BCQ的周长

为.

D

A

16.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD,C。分别与扇形8A/相切于点A,E.若A8=

15,BC=17,则AO的长为

三、解答题(共5小题)

17.如图，A5为。O的直径，点C是上一点，点。是。。外一点，/BCD=/BAC,连

接OO交BC于点£

(1)求证：CQ是。。的切线.

(2)若CE=OA,BC=4,AB=5,求0E的长度.

18.在RtZUBC中，ZACB=90°,延长C4至点。，以AO为直径的。。交的延长线于点

E,过点E作。0的切线交BC的延长线于点F.

(1)求证：BF=EF；

(2)若。A=AB=5,BE=13,求B产的长.

CB

19.如图，OO是AA6c的外接圆，且AS=AC,连接80并延长交OO于点。，这点A作A£

±BD,垂足为点E,点口在BO的延长线上，连接AR使N£4E=2NABQ.

(1)判断直线A尸与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。E=l,BC=4,求。。的半径.

20.如图，△ABC内接于。0,A8是。。的直径，C。平分NACB交。。于点。，连接8D,

过点C作。。的切线交AB的延长线于点E,

(1)求证：/ECB=/EAC；

(2)若BD=4a,BE=3,求CE的长.

21.如图，点。为。。上一点，点。在直径8A的延长线上，且NCD4=NCBD

(1)判断直线CO和。。的位置关系，并说明理由.

(2)过点8作。。的切线8E交直线C。于点E,若4C=2,。。的半径是3,求8E的长.

参考答案与解析

一、选择题（共8小题）

题号12345678

答案BDACABAA

一、选择题（共8小题）

1.【答案】B

【分析】连接。4,OP,BP,依题意得08=0C=O4=0P=*8C=3，弧以=弧尸8,进而

得NPB4=N8AP=30。，再根据圆心角和圆周角定理得NAO尸=N3OP=60。，继而得NAOC

=60°,由此得△OAC是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可得出4c的长.

【解答】解：连接。4,OP,BP,如图所示：

•・・BC是。。的直径，点P是弧A8的中点，且BC=6,

OB=OC=OA=OP=3,PA=PB,

NBAP=30。,

；.NPBA=NBAP=30。,

根据圆心角和圆周角定理得：NAOP=N8OP=60。，

/.ZAOC=180°-（ZAOP+ZBOP）=60°,

又丁OC=OP,

•••△Q4C是等边三角形，

.\AC=OC=3.

故选：B.

2.【答案】D

【分析】先由切线的性质得NACO=90。，再运用直角三角形的两个锐角互余，得/COA=

50。，又因为半径相等以及三角形的外角性质，得N6CO—25。，即可作答.

【解答】解：连接C。，如图所示:

・・・NCA8=40。，

：.ZCOA=50°,

♦：CO=BO,

：.ZBCO=ZCBO,

,：ZBCO+ZCBO=ZCOA,

・・・N8CO=50°：2=25。，

即ZACB=AAC0+ZBCO=90°+25°=115°,

故选：D.

3.【答案】A

【分析】根据有四边形外接圆的性质可得：四边形必须对角互补，三角形都有外接圆，即可

得出答案.

【解答】解：根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补，

.・・只有矩形、等腰梯形有外接圆，

•・,三角形都有外接圆.

故选：A.

4.【答案】C

【分析】连接04、OB,根据圆周角定理求出NAO3,根据切线的性质得到OBA.

PB,根据四边形内角和等于360。计算，得到答案.

【解答】解：连接04、0B,

•・•Z/1CB=7O0,

・・・ZAOB=2ZACB=]40°f

VBA,P5是。。的切线,

：.OA.LPAfOBLPB,

：.N尸=360。-90°-90°-14()。=40。，

故选：C.

c

5.【答案】A

【分析】连接0C,由“为圆0的切线，利用切线的性质得到0C垂直于CE,由0A=

OC,利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出NCO石的度数，即可求出/£

的度数.

【解答】解：连接0C,

•・・CE为圆。的切线，

：.OCLCE,

：.ZCOE=90°f

•••NCD8与N8AC都对EC,且NCD8=25。，

：.ZBAC=ZCDB=25°,

'：OA=OC,

・・・NOAC=NOC4=25。，

•・・NCOE为△A。。的外角,

；・NCOE=50。,

则NE=40。.

故选：A.

【分析】利用由己知条件方程『-左+4=0没有实数根，可得出一元二次方程根的判别式,

A=〃-4碇＜0,求出1的取值范围，结合圆的半径是1,得出4与一大小关系，当d=『,

点P在。。上；当dVr,点尸在。。的内部，根据点与圆的位置关系得出〃与圆的位置关

系.

【解答】解：,・•方程1-入+3=0没有实数根，

，A=Z?2-4oc=4-4d<0,

：.d>[,

•・・。。的半径为1,

J>r；

・••点P在。。的外部，

故选：B.

7.【答案】4

【分析】根据直角所对的圆周角是直角得到/A8O的度数，则可求出NC8□的度数，据此

可得答案.

【解答】解：AABC是。。的内接三角形，AO是。。的直径，连接30,

・・・A。是。。的直径，

・・・ZABD=90°t

,/ZABC=50°y

：.NCBD=ZABD-N48c=40。，

：.ZCAD=ZCBD=40°J

故选：A.

8.【答案】A

【分析】根据直线与圆的位置关系判定求解.

【解答】解：,・•半径为6cm的。。与直线/没有公共点,

・•・圆心。到直线/的距离>6c〃z,

故选:A.

二、填空题（共8小题）

9.【答案】内.

【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到圆心O的距离与圆的半径大小即可判断.

【解答】解：・・・。0的半径为6CTT?,点A到圆心。的距离为4.5C・〃7,4.5<6,

・••点A在。。内.

故答案为：内.

1().【答案】122°.

【分析】先根据三角形的内角和定理求得NA3C+NAQ5=116。,再根据内心定义求得N/8C+

ZZCB=58°,然后再根据三角形的内角和定理求解即可.

【解答】解：•・•在△ABC中，NA=64。，

・・・NABC+NAC8=180°-NA=116°,

・・•点/是△ABC的内心，

:・BI、C7分别平分NA8C、ZACB,

:•乙IBC=^^ABC，

：.乙IBC+Z-ICB=1QABC+乙ACB)=58°,

.・・//=180。・(Z/BC+Z/CB)=180。-58。=122。,

故答案为：122。.

11.【答案】①②③④

【分析】利用三角形内心的性质得到则可对①进行判断；直接利用三角形

内心的性质对②进行判断；通过证明得到。对③进行判断；根据垂

径定理则可对④进行判断.

【解答】解：①•・•£是△ABC的内心，

・・・AO平分N8AC,

・・・ZBAD=ZCAD,故结论①正确；

②如图，连接BE,CE,

D

:七是△4BC的内心，

；・NEBC=gNABC,NECB=QcB,

VZB/\C=60°,

/.ZABC+ZACB=180°-/BAC=180°-60。=120°,

：.ZBEC=\S00-QEBC+/ECB)=180。—之(NABC+NAC8)=120。，故结论②正确;

③如图，连接BE,OB,OC,OD,

；・BE平分/ABC,

・・・/ABE=/CBE,

•.*/DBC=/DAC=/BAD.

：.ZDBC+ZEBC=NEBA+NEAB,

：・NDBE=NDEB,

；.DB=DE,故结论③正确；

④・：/BAD=/CAD,

：.BD=a，

:・BD=DC,OD工BC,

•・•点、G为BC的中点，

・・・G一定在。。上，

・・・NBGQ=90。，

：.BGA-GD,故结论④正确.

综上所述，一定正确的结论为①②③④，

故答案为：①②⑤④.

12.【答案】V5-V2

【分析】根据乙4。3=45。，AB=2,作的外接圆O,连接。C,当。、D、C三点共

线时，C。的值最小.将问题转化为点圆最值.可证得△AOB为等腰直角三角形，OB=OA=

虎，同样可证△O8E也为等腰直角三角形，OE=BE=1,由勾股定理可求得。。的长为代，

最后CD最小值为OC・OD=V5-V2.

【解答】解：如图所示.

•・・/AO8=45。，A8=2,作AAB。的外接圆。（因求CO最小值，故圆心。在A8的右侧）,

连接0C,

当。、D、C三点共线时，。的值最小.

ZA£)B=45°,

408=90。，

•••△AOB为等腰直角三角形，

：.AO=BO=sin45°xAB=

・・・/O8A=45。，/48C=90。，

・•・ZOBE=45°f作0E_L8C于点E,

•••△O。七为等腰直角三角形.

/.OR="/?=(n4S0・O«=1,

：.CE=BC-BE=3-1=2,

在RtZ\OEC中，

0C=y/OE2+CE2=V1T4=V5.

当0、。、c三点共线时，

CD最小为CD=OC-OD=通-几

故答案为：VS—y/2.

6¥

1/I

D

13.【答案】66.

【分析】根据等腰三角形的性质求出NA6O,根据三角形内角和定理求出NAO6,再根据圆

周角定理计算即可.

【解答】解：・.・OA=OB,NBAO=24。，

NABO=NBAO=24。，

・•・/AO8=180。-24°x2=132°,

由圆周角定理得：NACB=g/AOB=66。,

故答案为：66.

14.【答案】117.

【分析】根据。0是△A8C的内切圆，得出N08C=晨/1。8,进而得出NA8C+

/ACB=126。，即可得出答案.

【解答】解：・・・。0是△48C的内切圆，

.LOBC=聂力"，Z.OCB=^ACB,

NA=54。，

・・・ZABC+ZACB=\SO0-乙4=126。，

・•・ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=18()。-*(ZABC+ZACB)

=180"-1x126c

=117°,

故答案为：117.

15.【答案】48.

【分析】根据切线长定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,得到AD+BC=AB+CD

=24,根据四边形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：・・•四边形A8CO是。O的外切四边形，

：,AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,

：.AD+BC=AB+CD=24i

：.四边形ABCD的周长=/1Q+BCMB+CO=24+24=48,

故答案为：48.

【分析】连接BE,作。”_L8C于点”，则N8〃O=NC”O=90。，AQ,CO分别与扇形84户

切于点4,E,A8=15,8C=17,得A8=E8=15,ADA-AB,CD1EB,AD=ED,求得CE=

\IBC2—EB2=8,再证明四力形A8HO是矩形，则8”=AO,DH=AB=\5,由勾股定得理

152+(17-AD)2=(8+A0)2,求得4。=9,于是得到问题的答案.

【解答】解：连接BE,作OH_L3C于点"，则NB"D=NC"D=90。，

由条件可知A8=E8=15,ADLAB,CD上EB,AD=ED,

:・/BAD=/BEC=90。,

：.CE=y/BC2-EB2=V172-152=8,

*：AD//BC,

：./ADH=/CHD=90。,

ZBAD=ZADH=N8〃O=90。，

・•・四边形A3”。是矩形，

；・BH=AD,DH=AB=15,

：.CH=BC-BH=]1-AD,

由条件可得I52+（17-AD）2=（8+AD）2,

解得：AD=9,

故答案为：9.

三、解答题（共5小题）

17,【答案】（1）见解析；

⑵场

2

【分析】（1）连接OC,证明OCJ_CQ即可；

（2）过点。作0HJ_8C于点H,根据圆周角定理得到NACB=90。，根据勾股定理得到4C=

JAB?一Be?=懵』=3,根据垂径定理得到CH=BH=2,求得。4=。8=\AB=今根据勾

股定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接。C,

•・工8是直径，

・・・NAC8=90。，

・•・NA+N3=90。，

*.•OC=OB,

：・/OCB=/OBC,

•；/BCD=/BAC,

；・NOCB+NDCB=90。,

：.OC1CD,

・・•。。为。0的半径，

・・・CO是。。的切线；

（2）解：过点O作OH_LBC于点

•••A"为◎。的直径，

ZACB=90°,

VBC=4,AB=5,

：.AC=7AB2-BJ=V52-42=3,

VOHLBC.OC=OB,

:・CH=BH=2,

'：OA=OB=^AB=^

：.CE=OA=^,

：.OH=^AC=l，

：.EH=CE-CH=L

18.【答案】（1）证明见解析:

【分析】（1）连接0E,根据等腰三角形的性质得到NOAE=NOEA,得到N8AC=NOE4,

根据切线的性质得到OE_LER得至“NFEB=NB,根据等腰三角形的判定得到

（2）连接OE,根据勾股定理求出。£证明根据相似三角形的性质列出

比例式，把己知数据代入计算即可.

【解答】（1）证明：如图，连接OE,

'：OA=OEf

：.ZOAE=ZOEAf

9：ZBAC=ZOAE,

：.ZBAC=ZOEA,

'：NAC8=90。，

.*.ZBAC+ZB=90°,

•；E/是。。的切线，

・•・OEA.EF,

：.ZOEA+ZFEB=90°,

；・NFEB=NB,

：.BF=EF；

（2）解:如图,连接Of,

・；AB=5,BE=13,

：.AE=BE-AB=\3-5=8,

,••4。为。。的直径，

ZAED=90°f

：.DE=y/AD2-AE2=V102-82=6,

VOE1EF,ZAED=90°,

：・/OED=/FEB,

•・・OE=OD,FE=FB,

:•△OEDSAFEB,

.ODDE56

••—9bJ-，

FBBEDF13

解得：BF=^.

19.【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用圆周角定理，直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；

（2）延长AE交。O于点H,连接BH,利用垂径定理的推理得到BD为AH的垂直平分线，

利用等弦对等弧的性质得到AH=BC=4；设。。的半径为广，则。七=。。-力E=-1,利

用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：（1）直线A/与。0相切，理由：

/FAE=2NABD,//。4=2/480,

：.ZFAE=ZFOA1

9

：AE±BDf

：.NAEO=90。，

・•・/尸OA+NE4O=90。，

：.ZFAE+ZEAO=90°.

即/初0=90。，

：.0A.LFA.

・・・。4为G）O的半径，

・•・直线AR与。O相切；

（2）延长AE交。。于点儿连接如图，

・・・B力为。。的直径，AE1BD,

・・・8。平分4”,

即8。为A”的垂直平分线，

9：AB=AC,

：.BH=AC,

：.BH=AC,

：.AH=BCf

：.AH=BC=4.

：.AE=^AH=2.

设。O的半径为r,则OE=OD-DE=r-1,

在心△。4万中，

9222

：AE+OE=OAf

.\22+(r-1)2=4,

解得：r=2.5.

・・・。。的半径为2.5.

20.【答案】