第26章　二次函数小结（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

小结知识结构知识回顾二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）函数解析式是整式；（2）化简整理后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不为0，即a≠0.二次函数解析式必须同时满足的三个条件：二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的特殊形式：当b=0，c=0时，y=ax2(a≠0)当c=0时，y=ax2+bx(a≠0)当b=0时，y=ax2+c(a≠0)一次项系数、常数项可以为0.y=ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性

开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方关于y轴对称，对称轴是直线x=0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.y=ax2顶点(0,0)y=ax2+k顶点(0,k)当k>0时，向上平移k个单位长度得到当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到上下平移规律：上加下减常数项.二次函数y=ax2+k的图象和性质：y=ax2+ka>0a<0图象k>0k<0开口方向向上向下y=ax2+ka>0a<0对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<0时，y随x增大而增大；当x<0时，y随x增大而减小；y轴（直线x=0）（0，k）x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k当x>0时，y随x增大而增大.当x>0时，y随x增大而减小.抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：函数解析式顶点坐标对称轴开口方向增减性y＝ax2(a≠0)(0，0)y轴当a＞0时，抛物线开口向_____；当a＜0时，抛物线开口向_____．如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而____，当x＞0时，y随x的增大而_____；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_____，当x＞0时，y随x的增大而______．y＝ax2＋k(a≠0)(0，k)上下减小增大增大减小y=ax2对称轴：y轴顶点(0,0)y=a(x-h)2对称轴：x=h顶点(h,0)当h>0时，向右平移h个单位长度得到当h<0时，向左平移∣h∣个单位长度得到左右平移规律：括号内左加右减.y=a(x-h)2a>0，h>0a>0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.向上直线x=h（h,0）x=h时，y最小值=0二次函数y＝a(x−h)2的图象和性质：y=a(x-h)2a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=h（h,0）x=h时，y最大值=0y=ax2y=a(x-h)2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度y=a(x-h)2+k向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度y=ax2+k向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.y=a(x-h)2+ka>0，h>0a>0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.向上直线x=h（h，k）x=h时，y最小值=k二次函数y＝a(x−h)2+k的图象和性质：y=a(x-h)2a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=hx=h时，y最大值=k（h，k）

二次函数y=ax2+bx+c的图象：yOx（a>0）最小值yOx（a<0）最大值①已知抛物线上的三点，通常设解析式为__________________；②已知抛物线顶点坐标(h,k)，通常设抛物线解析式为___________________；③已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)，通常设解析式为_____________________.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)设解析式方法：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系:y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0二次函数与一元二次方程的关系：已知二次函数中因变量的值，求自变量的值求相应的一元二次方程的根①根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：②确定自变量的取值范围；③根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；④根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最______(______)点，也就是说，