因式分解法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2降次——解一元二次方程25.2.3因式分解法新课导入1．若ab＝0，则________________；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为______________．2．分解因式：(1)2x2－2x＝___________；(2)9x2＋12x＋4＝___________．a＝0或b＝0x1＝a，x2＝b2x(x－1)(3x＋2)23．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？(1)提公因式法：am＋bm＋cm＝____________；(2)公式法：a2－b2＝______________，

a2±2ab＋b2＝__________．m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a±b)2探究新知（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：a2−b2=(a+b)(a−b)（3）十字相乘法：x2+(p+q)x2+pq=(x+p)(x+q)因式分解的方法有哪些？a2±2ab

+b2=(a±b)2（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）公式法：x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0)(x+h)2=k(k≥0)我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？

问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）约为：10x−5x2根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？物体落回地面是什么含义？你能列出方程吗？10x−5x2=010x−5x2=0如何解这个方程呢？可以用配方法或公式法解方程.配方法：10x−5x2=0解：移项，得：−5x2+10x=0.二次项系数化为1，得：x2−2x=0

.配方，得：x2

−2x+1

=1

公式法：10x−5x2=0解：方程化为−5x2+10x=0，

方程有两个不相等的实数根

10x−5x2=0你还有更简便的方法解这个方程吗？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x−5x2=0.将方程的左边分解因式，得x(10−5x)

=0.这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.如果ab=0，那么a=0，或b=0.所以x

=0，或10−5x

=0因此，方程10x−5x2=0的两个根是

解方程10x−5x2=0

时，二次方程是如何降为一次的？思考：解方程10x−5x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.解方程：①3x2＋x＝0；②4x2＝－8x.方程3x2＋x＝0中有常数项吗？方程左边可用何种方法分解因式？如何解该方程？②中方程整理后与①中方程特征相同吗？请解此方程．如何用因式分解法解一元二次方程？①3x2＋x＝0；

②4x2＝－8x.解：x(3x+1)=0x=0，或(3x+1)=0

解：4x2+8x=04x=0，或(x+2)=0

4x(x+2)=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；（2）把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；（3）把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；（4）解两个一元一次方程，求出方程的根.学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？思考：配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.解法适用的方程类型直接开平方法x2=p或(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)配方法二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程公式法所有的一元二次方程因式分解法一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程一元二次方程的解法及适用类型：知识归纳1．对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的______等于0的形式，再使这两个一次式分别等于____，从而实现______，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．乘积0降次2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为_______；②将方程左边分解成两个一次因式的_______；③令每个因式分别为_______，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．0乘积03．用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？配方法要先______，再______，进而降次；公式法直接利用__________解方程；因式分解法要先将方程一边化为___________________，另一边为_______，再分别使各一次因式等于_______．配方开方求根公式两个一次因式相乘00配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为_________，即_____，再分别解两个一次方程．一次方程降次例1例题与练习解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0；解：因式分解，得(x−2)(x+1)=0.于是

x−2=0或

x+1

=0,即x1=2，x2=−1.解：移项、合并同类项，得4x2-1=0.

因式分解，得(2x−1)(2x+1)=0.于是

2x−1=0或2x+1

=0,

例2用因式分解法解下列方程．(1)7x(3－x)＝2(x－3)；解：移项，得−7x(x－3)−2(x－3)=0.因式分解，得(x−3)(−7x−2)=0.于是

x−3

=0或−7x−2

=0,

(2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.解：变形为平方差形式：[4(x－7)]2－[3(x+2)]2=0.于是4(x－7)+3(x+2)

=0或4(x－7)－3(x+2)

=0,

由平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b)得[4(x－7)+3(x+2)]

[4(x－7)－3(x+2)]=0.例3用适当的方法解下列一元二次方程．(1)2(x＋3)2＝8;解：(1)原方程系数化为1，可得由此可得x＋3＝±2，(x＋3)2＝4x1＝－1，x2＝－5.

方程有两个不相等的实数根，

(3)(3x－4)2＝9x－12;(3)移项，得(3x－4)2－(9x－12)＝0.因式分解，得(3x－4)(3x－4－3)＝0.于是得3x－4＝0，或3x－7＝0，

(4)x2－2x－99＝0.(4)因式分解，得(x－11)(x＋9)＝0.于是得x－11＝0，或x＋9＝0.x1＝11，x2＝－9.解一元二次方程时，应当仔细观察方程的形式和系数特点,选取合适的方法解一元二次方程,有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．在用公式法求解时，需先计算b2－4ac的值，若它小于0，则此方程无实数根．一般先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，其次再考虑用公式法或配方法．

解：x(x+1)=0

x1=0，

x2=－1.

x=0或x+1=0

（3）3x2−

6x=−

3；

（4）4x2

−81

=0；解：3x2−6x+3=0(x−1)2=0

x2−2x+1=0

x1=x2=

1.解：(2x)2

−92

=0(2x+9)(2x−9)=02x+9=0或2x−9=0

（5）3x(2x+1)=4x+2；

（6）(x-

4)2=(5−2x)2.解：6x2−x−2=0解：(x−4)2−(5−2x)2=0(2x+1)(3x−2)=0

2x+1=0或3x−2=0(x−4+5−2x)[x−4−(5−2x)]=0(1−x)(3x−9)=0x1=1，

x2=

3.1−x=0或3x−9=02.如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9：4.求小圆形场地的半径.解：设小圆半径为xm，则大圆半径为(x+5)

m.

2(x+5)=3x，

2x+10=3x，x=10.

C4．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为______．55．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值．解：设

t=x2＋y2.因为平方和非负，所以t≥0.原方程变为：t(t−1)=6，t2

-t

-6=0.因式分解：(t−3)(t+