几何图形问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.3实际问题与一元二次方程第1课时几何图形问题新课导入直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式又是什么？

正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式又是什么？正方形的面积=边长×边长长方形的面积=长×宽梯形的面积公式是什么？

菱形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？①S=ah(a底，h为这条底对应的高)

S=ah(a为底边长度，h为这条底边对应的高)S=πr2

(π为圆周率，r为圆的半径)

如图，(1)一块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm，四角各截去一个边长为2cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__________，高是_________，体积是_________．24cm22cm48cm3(2)一块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm，四角各截去一个边长为xcm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是___________________，高是_________，体积是_______________________．(10－2x)(8－2x)cm2xcmx(10－2x)(8－2x)cm3探究新知例1

是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x十1，x+2，其中x为正整数.由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得x1=3，x2=−1（不符合题意，舍去）.因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.例2

用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域,则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解。解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为（20−x）m；再由矩形的面积为96m2，得解方程，得

x1=12，x2=8.x（20−x）=96.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：

（2）可设一边长为（10+x）m，那么其邻边长为（10−x）m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点。

x2

+96=20x,x2−20x+96=0,解得x1=12，x2=8.x=8时，另一边=12；x=12时，另一边=8.（2）可设一边长为（10+x）m，那么其邻边长为（10−x）m.解：(10+x)(10−x)=96

解得x1=2，x2=−2.x=2时，边长：12m、8m；x=−2时，边长：8m、12m.知识归纳1．直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式．2．对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏．例1例题与练习有一根10m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．(用一元二次方程的知识解决)解：设围成的矩形的长为xm，则宽为(5－x)m.根据题意，得x(5－x)＝6.解得x1＝2，x2＝3.此时5－x＝3或5－x＝2.答：这个矩形的长为3m，宽为2m．例2

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2?解：设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，则AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.

整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.1.如图，要为长22cm，宽29cm的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一,相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？解：设相框边的宽度为x

cm，(22+2x)(29+2x)=797.5整理，得4x2＋102x−159.5＝0.

因为x取正值，

2.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？解：设斜边长为x，则一条直角边长x−1，另一条直角边长x−8.可列方程：(x−1)2

+(x−8)2=x

2

整理，得x2−18x+65＝0.解这个方程，得x1＝5，x2＝13.当x=5时，边长不能为负数，舍去直角边：5−1=4,

5−8=−3当x=13时，直角边：13−1=12,

13−8=5由勾股定理a2+b2=c2得52

+122

=25+144=169=132

所以这样的直角三角形存在，只有1个.3.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？解:设横彩条的宽度为3xcm,则空白部分的长：30−2×2x=30−4x空白部分的宽：20−2×3x=20−6x图案总面积：30×20=600

cm2

因此可列方程：(30−4x)(20−6x)=450整理，得12x2−130x+75＝0.竖彩条的宽度为2xcm.

横彩条宽度：3x≈3×0.61≈1.8

cm竖彩条宽度：2x≈2×0.61≈1.2

cm4．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是

(

)A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0B课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．随堂检测1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解:细绳长40m，即矩形周长40m,长+宽=20m.设矩形一边长为xm，则另一边长为(20−x)m.①围成面积75m2列方程：x(20−x)=75,方程可化为：x2

−20x

+75=0.因式分解，得：(x−5)

(x−15)=75解得：x1＝5，x2＝15.所以能围成面积75m2的矩形区域，矩形两边为5m和15m

.②围成面积101m2列方程：x(20−x)=101,方程可化为：x2

−20x

+101=0.所以不能围成面积101m2的矩形区域.此时a=1，b=−20，c=101，

方程无实数根2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？解:设AE=x，则EB=4−x.在矩形ABCD

中，AD=1，CD=4，∠A=∠B=90°根据勾股定理得：DE2

=AD2

+AE2

=12+x2

=1+x2CE2

=BC2

+EB2

=12+(4−x)2

=1+(4−x)2若∠DEC=90°，则△DEC为直角三角形，且DC为