一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2降次——解一元二次方程25.2.4一元二次方程的根与系数的关系新课导入(1)一元二次方程的一般形式：___________________________________；(2)一元二次方程的求根公式：___________________________________；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

(3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系．探究新知1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1＋x2x1x2x2＋6x－16＝0x2－2x－5＝02x2－3x＋1＝05x2＋4x－1＝0−82−6−16

2−51

−1思考：

由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？提出问题：(1)公式完全由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数__________构成，无需额外运算即可表示方程的根；a，b，c(2)“±”符号决定了方程在有实数根时，通常有两个根x1＝______________，x2＝______________；(3)通过对两个根进行代数运算，你能得到根与系数有怎样的关系吗？

整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.

上述关系还可以用如下方法得出.

因此

知识归纳

即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于___________________________________，两个根的积等于__________________________．一次项系数与二次项系数的比的相反数

常数项与二次项系数的比方程的根是由什么决定的？在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac≥0呢？为什么？例1例题与练习

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2-6x-15=0；

(2)3x2+7x-9=0；

(3)5x−1=4x2

.

解：4x2−5x+1=0

例2

当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1，

(1)x2−3x=15；

(2)3x2+2=1−4x；解：x1+x2=3解：化简得

3x2+4x+1=01.不解方程，求下列方程两个根的和与积：

x1x2=−15

(3)5x2−1=4x2−x；

(4)2x2−x+2=3x+1.解：化简得

x2+x−1=0x1+x2=−1

解：化简得

2x2−4x+1=0x1+x2=2

2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝_______．3.设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝______，(x1－2)(x2－2)＝______．

73－74．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，

(2)假使存在实数m使得x12－x22＝0，(2)是否存在m使得x12－x22＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．∴x1＋x2＝0或x1＝x2.当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，

当x1＝x2时，Δ＝0，

课堂小结一元二次方程根与系数的关系：

随堂检测

C

C

4、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则：（1）x12x2+x1x22

=

；（2）(x1−

x2)2

=

.310

解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).5、已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，得x2-8x+9.75=0