第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.1

基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征【课标要求】1.了解空间几何体的分类及其相关概念.2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面体、正棱锥、正棱台的结构特征.基础落实•必备知识全过关知识点一

空间几何体的定义、分类与相关概念

1.空间几何体:如果只考虑物体的

和

,而不考虑其他因素,那么由这些

物体抽象出来的

就叫做空间几何体.

2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类.形状

大小

空间图形

类别多面体旋转体定义一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体

④一条__________(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的_________叫做旋转面.

⑤________的旋转面围成的几何体叫做旋转体

相关概念①面:围成多面体的各个______

叫做多面体的面;②棱:两个面的

叫做多面体的棱;

③顶点:棱与棱的__________

叫做多面体的顶点

⑥轴:形成旋转面所绕的________叫做旋转体的轴

多面体至少由四个面围成

多面体有几个面一般称为几面体

多边形

公共边

公共点

平面曲线

曲面

封闭

定直线

3.多面体和旋转体

类别多面体旋转体图形

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)长方体是多面体.(

)(2)圆柱、球是旋转体.(

)(3)长方体有6个面,8个顶点,12条棱.(

)√√√2.观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?提示

②④.提示

①③⑤.

提示

⑥.

知识点二

棱柱的结构特征1.棱柱棱柱图形及表示定义一般地,有两个面

,其余各面都是

,并且相邻两个四边形的公共边都

,由这些面所围成的多面体叫做棱柱

用表示底面各顶点的字母表示.

如图棱柱可记作:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'相关概念底面:两个互相

的面叫做棱柱的底面,它们是全等的多边形;

侧面:

叫做棱柱的侧面;

侧棱:相邻侧面的

叫做棱柱的侧棱,它们都是平行四边形;

顶点:

的公共顶点叫做棱柱的顶点

互相平行

四边形

互相平行

平行

其余各面

公共边

侧面与底面

3.常见的几种四棱柱之间的转化关系

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

长方体

正四棱柱

正方体.名师点睛棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱柱的底面互相平行.(

)(2)棱柱的各个侧面是平行四边形.(

)(3)平行六面体是四棱柱.(

)√

√

√

2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形,这样的几何体一定是棱柱吗?举例说明.提示

不一定.如图的几何体符合要求但不是棱柱.知识点三

棱锥的结构特征

1.棱锥

棱锥图形及表示定义一般地,有一个面是

,其余各面都是

的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥

用表示顶点和底面各顶点的字母表示.

如图棱锥可记作:棱锥S-ABCD相关概念底面:

面叫做棱锥的底面;

侧面:有

的各个三角形面叫做棱锥的侧面;

侧棱:相邻侧面的

叫做棱锥的侧棱;

顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点分类①依据:底面多边形的边数;②举例:

(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……

多边形

有一个公共顶点

多边形

公共顶点

公共边

三棱锥

2.正棱锥:底面是

,并且顶点与底面中心的连线

于底面的棱锥叫做正棱锥.正多边形

垂直

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)三棱锥由四个面围成,又叫四面体.(

)(2)棱锥的侧面都是三角形.(

)(3)正棱锥顶点与底面中心的连线垂直于底面.(

)√√√2.有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?提示

不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.知识点四

棱台的结构特征

棱台图形及表示定义用一个

棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台

用表示底面各顶点的字母表示.

如图棱台可记作:棱台ABCD-A'B'C'D'相关概念上底面:原棱锥的截面叫做棱台的上底面;下底面:原棱锥的底面叫做棱台的下底面;侧面:其余各面叫做棱台的侧面;侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点分类①依据:由几棱锥截得;②举例:三棱台(由三棱锥所截得)、______

(由四棱锥所截得)……

平行于

四棱台

名师点睛1.棱台的上、下底面互相平行,且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方.2.棱台的侧面均为梯形.3.棱台各侧棱延长线交于一点,棱台问题可还原为棱锥问题解决.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.(

)(2)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.(

)(3)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.(

)××√2.下列几何体中,

是棱柱,

是棱锥,

是棱台.(填序号)①③④

⑥

⑤

解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.重难探究·能力素养速提升探究点一棱柱、棱锥、棱台的结构特征角度1.棱柱的结构特征【例1】

下列关于棱柱的说法:①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;③两底面平行,并且各侧棱也平行.其中正确说法的序号是

.

③

解析

①错误,底面可以是其他多边形而不光是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义可知.规律方法

关于棱柱的辨析(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.①两个底面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.变式训练1关于棱柱,下列说法正确的有

.(填序号)

①被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.

①②

解析

①正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形;③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.角度2.棱锥、棱台的结构特征【例2】

(1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么?解

(1)该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面都是有一个公共顶点的三角形,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥.(2)判断如图所示的多面体是不是棱台?解

(2)根据棱台的定义,可得判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下底面要平行,二者缺一不可.据此,图①中多面体的侧棱的延长线不相交于同一点,故不是棱台;图②中多面体的侧棱的延长线也不相交于同一点,故不是棱台;图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.规律方法

棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法类别棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即底面两个互相平行的面,即上、下底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点变式训练2(多选题)下列说法正确的是(

)A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥B.棱锥的侧面一定都是三角形C.棱台各侧棱所在直线必交于一点D.有两个面为矩形且相互平行,其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台

ABC解析

对于A,有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥,符合四棱锥的定义,故A正确;对于B,棱锥的侧面一定都是三角形,故B正确;对于C,棱台是由棱锥截成的,故各个侧棱一定相交于一点,故C正确;对于D,如图,该几何体的上下底面是两个全等的矩形,两矩形平行,且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行,则四个侧面均为等腰梯形,但四条侧棱并不交于同一点,故不是四棱台,故D错误.探究点二空间几何体的平面展开图【例3】

(1)请画出如图所示的正方体的平面展开图.

解

(1)展开图如图所示.(答案不唯一)(2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?①

②

(2)根据平面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台.①

②

(3)如图,已知三棱柱ABC-A'B'C',底面是边长为1的正三角形,侧面为全等的矩形且高为3,求自一点A出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点A'的最短路线长.

规律方法

1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.3.求从几何体的表面上一点,沿几何体表面运动到另一点所走过的最短距离,常将几何体沿某些棱剪开,使两点展在同一个平面上,转化为求平面上两点间的最短距离问题.变式训练3(1)(多选题)下列图形中,是三棱柱的展开图的是(

)ABCDABD解析

根据三棱柱的展开图的特点可知选项C不符合题意,选项A,B,D都符合.(2)如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A