总体离散程度的估计课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.4

总体离散程度的估计

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1.通过真实问题情境（如射击运动员选拔），主动提出刻画数据“波动幅度”的需求，经历极差、方差与标准差等离散程度参数的生成过程，理解其统计含义.

2.掌握总体方差、总体标准差、样本方差、样本标准差的定义和计算公式，能正确计算给定数据的方差和标准差.3.能从数据波动性的角度对实际问题作出分析判断，会用样本的方差和标准差估计总体的离散程度，体会“用样本估计总体”的统计思想，发展数据分析素养.4.了解分层随机抽样下样本方差的计算方法，感受统计方法的系统性与严谨性.内容解析

核心问题：通过样本的离散程度（极差、方差、标准差）去推断总体的离散程度，这是“用样本估计总体”统计思想在“波动性”维度上的具体展开.

统计学的本质是从数据中发现规律。

集中趋势（平均数、中位数、众数）回答了“数据中心在哪里”，

离散程度（极差、方差、标准差）回答了“数据有多分散”.

——两者共同构成一组数据的完整描述。方差与标准差的根本思想是“离差平方的平均”，通过消去正负向抵消、规避绝对值运算复杂性的方式，构建了兼具数学简洁性和统计意义的波动性度量工具；标准差（方差开方后）将量度拉回与原数据相同的量纲，使其具有实际可解释性。

离散程度与集中趋势并列为描述数据分布的两大基本维度。两者结合，才能形成对数据分布的完整刻画。这种“二元互补”的思维方式超越了单个统计量的技术层面，进入统计素养的核心——学会从多个维度审视同一组数据，而不被单一统计量所遮蔽。这节课学习数据的另一大重要特征:离散程度

平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.?离散程度简单理解就是数据聚在一块还是分散开!聚在一块分散开

【环节一】情境导入——教练该如何选择？中心情景1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4

乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7

【环节一】情境导入——教练该如何选择？问题1：如果只能派一人去参赛，你作为教练会选择谁？理由是什么？问题2：除了平均数、中位数、众数，我们还需要了解数据的什么特征？问题3：如何用数学语言描述这种“波动幅度”？

计算可得：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数均为7。从集中趋势来看，两人没有差别。

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”情景1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4

乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7追问1：你能说出甲、乙两人成绩的波动范围吗？

甲极差=10−4=6，

乙极差=9−5=4

一组数据的最大值与最小值的差称为极差，它可以大致刻画数据的波动幅度。追问2：极差能完全说明问题吗？给出数据“1,2,2,5,100”，

它的极差是99，但多数数据集中在1∼5之间

——极差是否“夸大”了真实波动？极差简单直观，但只用了最大值和最小值两个数据，信息量太少，易受极端值影响追问2:观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？甲44577789910乙5667777889甲78795491074乙9578768677甲成绩比较分散乙成绩相对集中环数频率0.40.30.20.145678910O（甲）环数频率0.40.30.20.14567

8910O（乙）

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”思考:你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？波动幅度比较大大部分的射击成绩离平均成绩较远；

比较稳定大部分的射击成绩离平均成绩比较近若射击成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；若射击成绩波动幅度很大，那么大多数射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.折线图

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”问题4

为什么用“平均距离”刻画离散程度，用总距离可以吗？总距离和样本量多少有关，无法跨样本比较

例如，从一个总体中抽取两组样本，但两组的样本量不同，一个为100，另一个为1000，如果用总距离，两者之间会相差很大，但“平均距离”相差不大！总距离完全无法区分“全挤在一起”和“散得很开”两种情况。平均距离消除了样本量的影响，刻画了“典型数据点”的波动幅度，是更科学、可比较的离散程度度量，所以用“平均距离”刻画离散程度比较合理。

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”问题5：如何定义“平均距离”？

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”标准差问题6

（1）标准差的取值范围是什么？

（2）标准差为0的一组数据有什么特点？

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”[0,+∞)所有数据都相等

在刻画数据的离散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.单位一致标准差和方差一样，刻画了数据的____

__程度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；

标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．但在解决实际问题中，一般多采用离散大小标准差在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.

【环节二】探究新知——从“极差”到“方差”方差追问2:如何评价甲、乙两名运动员射击成绩？甲44577789910乙5667777889

【环节五】学以致用——典型例题与巩固练习引例

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲78795491074

乙9578768677

如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？

如果作为一次选拔性考核，我们做出的选择或决策为：如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.

如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手；如果两人都排在后面，希望比赛时超常发挥的，建议选成绩标准差大的甲.

【环节五】学以致用——典型例题与巩固练习

例1

甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为(单位：cm)：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．

【环节五】学以致用——典型例题与巩固练习本节课你学习到了什么？（知识？方法？思想？）

【环节五】总结反思——建构离散程度认知体系回顾本节课所学内容，你学到了什么？

【环节五】总结反思——建构离散程度认知体系1.三类离散程度统计量：极差、方差、标准差的公式与意义。2.统计核心思想：样本估计总体、量化刻画数据特征。3.数据分析方法：均值看水平，标准差看稳定，二者结合综合评价。

离散程度与集中趋势的“二元互补”是统计描述的核心思维方式。

仅用集中趋势描述数据是不够的，仅用离散程度描述数据同样是片面的。只有将两者结合，才能形成对数据分布的完整刻画——例如，两组学生成