河南省2026届高三数学上学期12月联考试题 (一)【含答案】

河南省2025-2026学年高三数学上学期12月联考试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知直线，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（

）A．的虚部为 B．对应的点在第二象限C． D．4．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．5．若，则（

）A． B． C． D．6．在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（

）A． B． C． D．7．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．设数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列 B．成等差数列，公差为C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为3210．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（

）A．B．C．顶点到渐近线的距离为D．的外接圆的面积为11．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（

）A．B．△ABD的面积的最大值为C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为D．BD的最小值为三、填空题12．函数的所有零点之和为．13．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是.14．在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是．四、解答题15．记的内角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．16．如图，在三棱柱中，.(1)证明：平面平面；(2)若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．17．已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．18．若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.(1)已知函数在上被控制，求的取值范围.(2)(i)证明：函数在上被1控制.(ii)设，证明：.19．一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.(1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；(2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求；(3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式.

参考答案1．C【详解】由，可得，解得，故，则或，又，则.故选：C.2．C【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或．将代入直线，的方程，得，，易知；将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去．综上所述，“”是“”的充要条件．故选：．3．C【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为，所以，即，其虚部为，故A错误；，其对应的点在第三象限，故B错误；，故C正确；，则，故D错误.故选：C4．C【详解】令函数，求导得，因此函数在上单调递增，则，，所以.故选：C5．A【详解】，，，，解得，，.故选：A.6．D【详解】如图，将直线分成3种情况：，均平行于上底面或下底面，有条；，均不平行于正三棱柱的某个平面；，均平行于某个侧面，有条.又直线总数为条，故所求概率为.故选：D.7．B【详解】由题意可知，，且，，所以，

因为，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故选：B.8．A【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当时，则，当且仅当时等号成立，，由累乘法可得，且，则，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．9．AC【详解】A选项，因为，，所以为首项为32，公差为的等差数列，所以，则，当时，，当时，，显然，即满足上式，从而，由于，故为等差数列，A正确；B选项，，，由于，由A选项知，的公差为，故成等差数列，公差为，B错误；C选项，，又，故当或时，取得最大值，C正确；D选项，，即，解得，又，故，n的最大值为33，D错误.故选：AC10．ABD【详解】设双曲线的半焦距为，则，由题意知，A正确.，B正确.对于C，双曲线的渐近线方程为，所以顶点到渐近线距离，C错误.对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且，所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确.故选：ABD.11．ACD【详解】对于A，已知，由正弦定理得，即，得，则有，得，又由于，所以，故，而，所以，选项A正确；对于B，在中，由余弦定理，得，所以，所以，当且仅当时取等号，由于，所以的面积的最大值为，故选项B错误；对于C，在中，由正弦定理得，，，由AC的中点为M，有，，△ABC为锐角三角形，则，得，当，有，所以，有，故，选项C正确；对于D，设，所以，在中由余弦定理，，，，故当，即时，取最小值，所以的最小值为，故D选项正确.故选：ACD12．9【详解】由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：913．【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，由，则，，故.故答案为：.14．【详解】由题可得，所以，所以，故和分别为等边三角形和等腰三角形，且，如图，分别为外接圆圆心，取中点，连接，则，，，且，故为二面角的平面角，所以，分别过作平面和平面的垂线，则球心均在两垂线上，两垂线的交点即为球心O，如图，当时，四边形为矩形,则，所以由得；若，如图，连接，则与相交于平面一点H，则所以，设三棱锥外接球半径为R，则，，，所以，所以，若，则，令，则，所以时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，综上所述，最小值为1，最大值为.所以三棱锥外接球表面积最小值为，最大值为.故答案为：15．(1)或(2)【详解】（1）由

得，而为三角形内角，故sinB>0,得，而为三角形内角，或（2）由得，又，∴，

，故，由（1）得，故，∴，而为三角形内角，∴.又即，又，而为三角形内角，故，.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：在中，，由余弦定理，得，所以，因为，所以，又，且有平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）因为平面平面，所以，又，所以二面角的平面角为，在中，，所以，则为等边三角形，且，由第（1）问可知，平面平面，且平面平面，取中点，连接，则平面，所以，平面，取中点，连接，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，可得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17．(1)(2)【详解】（1）设，由可得，，所以，所以，即，因为，解得：．（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积．18．(1)(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.【详解】（1）令，，则，当时，，所以在上单调递增，因为，所以恒成立.当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是.（2）(i)要证明函数在上被1控制，只需证明，即证.令，可得.当时，，即在区