2026年考研概率试题及答案

2026年考研概率试题及答案一、选择题（每小题5分，共30分）1.设随机事件A,B满足0<P(A)<1，0<P(B)<1，且P(A|B)+P(Ā|B̄)=1，则A与B的关系为（）A.独立B.互斥C.对立D.无法确定2.设随机变量X~E(λ)（指数分布），Y=min{X,2}，则P(Y=2)等于（）A.e^{-2λ}B.1-e^{-2λ}C.2λe^{-2λ}D.λ3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，边缘分布函数分别为F_X(x),F_Y(y)，则“X与Y独立”的充要条件是（）A.F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)对所有x,y成立B.F(x,y)=F_X(x)+F_Y(y)-1对所有x,y成立C.存在x₀,y₀使得F(x₀,y₀)=F_X(x₀)F_Y(y₀)D.对任意x,y，P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)4.设随机变量X的期望E(X)=μ，方差Var(X)=σ²>0，令Y=aX+b（a≠0），则ρ(X,Y)（相关系数）为（）A.aB.|a|C.a/|a|D.b5.设X₁,X₂,…,Xₙ为独立同分布的随机变量，E(X₁)=μ，Var(X₁)=σ²>0，当n→∞时，(∑₁ⁿXᵢ-nμ)/√(nσ²)依分布收敛于（）A.N(0,1)B.N(μ,σ²)C.χ²(n)D.t(n)6.设总体X~N(μ,σ²)，σ²未知，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，样本均值为X̄，样本方差为S²，则检验H₀:μ=μ₀时应选用的统计量为（）A.(X̄-μ₀)/(σ/√n)B.(X̄-μ₀)/(S/√n)C.(n-1)S²/σ²D.∑(Xᵢ-μ₀)²/σ²二、填空题（每小题5分，共20分）7.在区间(0,2)内随机取两个数X,Y，记事件A为“X+Y≤3”，事件B为“X²+Y²≤4”，则P(B|A)=________。8.设随机变量X的概率密度为f(x)=c/(1+x²)（x∈R），则常数c=________；P(|X|≤1)=________。9.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=6e^{-2x-3y}（x>0,y>0），则Cov(X,Y)=________。10.设总体X的概率质量函数为P(X=k)=θ(1-θ)^{k-1}（k=1,2,…），θ∈(0,1)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则θ的极大似然估计量为________。三、解答题（共100分）11.（12分）某城市有甲、乙、丙三个区域，人口占比分别为30%、50%、20%。根据统计，甲区域居民中患某种疾病的概率为0.02，乙区域为0.01，丙区域为0.03。现随机调查一名城市居民，发现其患病，求该居民来自甲区域的概率。12.（14分）设随机变量X的分布函数为：F(x)=0，x<0；F(x)=x²，0≤x<1；F(x)=1，x≥1。求：(1)X的概率密度f(x)；(2)P(0.2<X<0.8)；(3)E(X)和Var(X)。13.（16分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)=kxy，0<x<1，0<y<x；f(x,y)=0，其他。求：(1)常数k；(2)边缘概率密度f_X(x)和f_Y(y)；(3)条件概率密度f_{Y|X}(y|x)（0<x<1）；(4)判断X与Y是否独立；(5)计算Cov(X,Y)。14.（14分）某电商平台“双十一”期间有10000个独立下单用户，每个用户下单金额Xᵢ（单位：元）服从均值μ=200，方差σ²=400的分布。利用中心极限定理近似计算总下单金额超过2010000元的概率（Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，Φ(5)=1.0000）。15.（14分）设总体X~N(μ,σ²)，σ²=9已知，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，样本均值X̄=15，n=36。(1)求μ的95%置信区间；(2)若要求置信区间长度不超过2，至少需要多大的样本量n（Z_{0.025}=1.96）。16.（16分）设总体X的概率密度为：f(x;θ)=(θ+1)x^θ，0<x<1；f(x;θ)=0，其他，其中θ>-1。X₁,X₂,…,Xₙ为样本，求：(1)θ的矩估计量；(2)θ的极大似然估计量；(3)验证极大似然估计量是否为无偏估计。17.（14分）某品牌灯泡寿命服从正态分布N(μ,σ²)，原假设H₀:μ=5000小时，备择假设H₁:μ≠5000小时。抽取25个灯泡，测得样本均值X̄=4800小时，样本标准差S=300小时，显著性水平α=0.05。(1)写出检验统计量并确定其分布；(2)计算检验统计量的观测值；(3)判断是否拒绝H₀（t_{0.025}(24)=2.0639）。答案一、选择题1.A2.A3.A4.C5.A6.B二、填空题7.(π/4)/(3/2)=π/6（解析：A对应区域面积为2×2-1×1/2=3.5？不，正确计算：X,Y∈(0,2)，X+Y≤3的区域是正方形(0,2)×(0,2)中直线x+y=3下方的部分，面积=2×2(2+2-3)²/2=40.5=3.5？实际应为：当x∈(0,1)时，y≤3-x（上限2），所以y从0到2；当x∈[1,2]时，y从0到3-x。面积=∫₀¹2dx+∫₁²(3-x)dx=2×1+[3xx²/2]₁²=2+(6-2)-(3-0.5)=2+4-2.5=3.5。B∩A是x²+y²≤4且x+y≤3，x,y∈(0,2)，该区域为1/4圆（x²+y²≤4在第一象限部分），面积=π×2²/4=π。但需确认x+y≤3是否与圆相交：x=2,y=2时x+y=4>3，圆与直线x+y=3的交点满足x²+(3-x)²=4→2x²-6x+5=0，判别式36-40=-4<0，故圆完全在x+y≤3下方（因圆心(0,0)到直线距离3/√2≈2.12>半径2，圆在直线下方）。故P(B|A)=π/(3.5)=2π/7？可能之前分析错误，正确几何区域应为：X,Y∈(0,2)，A是x+y≤3，其面积=整个正方形面积4减去x+y>3的部分（三角形，顶点(1,2),(2,1),(2,2)），面积=40.5×1×1=3.5。B是x²+y²≤4，在(0,2)×(0,2)内为1/4圆，面积=π×2²/4=π。由于x+y≤3在(0,2)×(0,2)内覆盖整个1/4圆（因x=2,y=0时x+y=2≤3，y=2,x=0时x+y=2≤3，圆上任意点x²+y²≤4，x+y≤√2(x²+y²)≤√2×2≈2.828≤3），故B⊂A，P(B|A)=P(B)/P(A)=π/4÷3.5=π/(4×3.5)=π/14？需重新计算：正确A的面积是当x∈(0,2)，y∈(0,min(2,3-x))。当x≤1时，3-x≥2，故y∈(0,2)，长度2；当x>1时，3-x<2，故y∈(0,3-x)，长度3-x。所以A的面积=∫₀¹2dx+∫₁²(3-x)dx=2×1+[3xx²/2]₁²=2+(6-2)-(3-0.5)=2+4-2.5=3.5。B的面积是x²+y²≤4在第一象限且x,y∈(0,2)的部分，即1/4圆，面积=π×2²/4=π。由于对于圆内任意点(x,y)，x+y≤√2(x²+y²)≤√2×2≈2.828<3，故B⊂A，因此P(B|A)=π/3.5=2π/7。最终答案应为2π/7）8.1/π；1/2（解析：∫_{-∞}^∞c/(1+x²)dx=cπ=1⇒c=1/π；P(|X|≤1)=∫_{-1}^11/[π(1+x²)]dx=2/π×arctan(1)=2/π×π/4=1/2）9.-1/6（解析：X~E(2)，Y~E(3)，独立，故Cov(X,Y)=0？不，联合密度f(x,y)=6e^{-2x-3y}=2e^{-2x}×3e^{-3y}，故X与Y独立，Cov(X,Y)=0。之前错误，正确应为0）10.1/X̄（解析：似然函数L(θ)=∏θ(1-θ)^{xᵢ-1}=θⁿ(1-θ)^{∑xᵢ-n}，取对数lnL=nlnθ+(∑xᵢ-n)ln(1-θ)，求导得n/θ(∑xᵢ-n)/(1-θ)=0，解得θ=n/∑xᵢ=1/X̄）三、解答题11.设A=“居民来自甲区域”，B=“居民来自乙区域”，C=“居民来自丙区域”，D=“患病”。P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(C)=0.2；P(D|A)=0.02，P(D|B)=0.01，P(D|C)=0.03。由全概率公式，P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。由贝叶斯公式，P(A|D)=P(A)P(D|A)/P(D)=0.006/0.017≈0.3529。12.(1)f(x)=F’(x)=2x（0≤x<1），其他为0；(2)P(0.2<X<0.8)=F(0.8)-F(0.2)=0.8²-0.2²=0.64-0.04=0.6；(3)E(X)=∫₀¹x×2xdx=2∫₀¹x²dx=2×(1/3)=2/3；E(X²)=∫₀¹x²×2xdx=2∫₀¹x³dx=2×(1/4)=1/2；Var(X)=E(X²)-[E(X)]²=1/2-(4/9)=1/18。13.(1)∫₀¹∫₀^xkxydydx=1⇒k∫₀¹x×(x²/2)dx=k/2∫₀¹x³dx=k/2×(1/4)=k/8=1⇒k=8；(2)f_X(x)=∫₀^x8xydy=8x×(x²/2)=4x³（0<x<1）；f_Y(y)=∫_y^18xydx=8y×(1²-y²)/2=4y(1-y²)（0<y<1）；(3)f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=8xy/(4x³)=2y/x²（0<y<x）；(4)f(x,y)=8xy≠f_X(x)f_Y(y)=4x³×4y(1-y²)=16x³y(1-y²)，故不独立；(5)E(XY)=∫₀¹∫₀^xxy×8xydydx=8∫₀¹x²∫₀^xy²dydx=8∫₀¹x²×(x³/3)dx=8/3∫₀¹x⁵dx=8/3×(1/6)=4/9；E(X)=∫₀¹x×4x³dx=4∫₀¹x⁴dx=4×(1/5)=4/5；E(Y)=∫₀¹y×4y(1-y²)dy=4∫₀¹(y²-y⁴)dy=4×(1/3-1/5)=4×(2/15)=8/15；Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4/9(4/5)(8/15)=4/932/75=(100-96)/225=4/225。14.总金额T=∑Xᵢ，E(T)=10000×200=2,000,000，Var(T)=10000×400=4,000,000，σ_T=2000。由中心极限定理，T近似~N(2,000,000,2000²)。P(T>2,010,000)=1-P(T≤2,010,000)=1-Φ((2,010,000-2,000,000)/2000)=1-Φ(5)=1-1=0。15.(1)置信区间为X̄±Z_{α/2}×σ/√n=15±1.96×3/6=15±0.98，即(14.02,15.98)；(2)长度=2×1.96×3/√n≤2⇒√n≥2×1.96×3/2=5.88⇒n≥5.88²≈34.57，故n=35。16.(1)E(X)=∫₀¹x×(θ+1)x^θdx=(θ+1)∫₀¹x^{θ+1}dx=(θ+1)/(θ+2)。令X̄=E(X)，解得θ=(2X̄-1)/(1-X̄)；(2)似然函数L(θ)=∏(θ+1)xᵢ^θ=(θ+1)ⁿ(∏xᵢ)^θ，lnL=nln(θ+1)+θ∑lnxᵢ。求导得n/(θ+1)+∑lnxᵢ=0，解得θ̂=-1n/∑lnxᵢ；(3)设Y=-lnX，X~(θ+1)x^θ（0<x<1），则Y的分布函数F_Y(y)=P(-lnX≤y)=P(X≥e^{-y})=∫_{e^{-y}}^1(θ+1)x^θdx=1(e^{-y})